1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Это решение представляется в видеθj (x) = (x − aj )Wj θj (x),где θ j (x) — матрица, регулярная в точке x = aj и равная единичной матрице вэтой точке. Мы покажем сейчас, что в этом каноническом решении матрицаWj должна совпадать с матрицей Uj .Заметим прежде всего, что все матрицы, которые мы выше строили, представляются степенными рядами от матриц Us , если эти последние матрицыдостаточно близки к нулю. При этом матрица Wj так же, как и Wj , не должна содержать свободного члена в своем разложении, т. е. мы должны иметьразложение видаWj =∞1,..., mUj1 . . .
Ujν Jj (aj1 , . . . , ajν ).(350)ν=1 j1 , ..., jνДифференцируя по x формулуθ j (x) = (x − aj )−Wj θj (x),мы, как и в предыдущем пункте, получим следующую систему уравнений дляэлементов матрицы θ j (x):mWj θ j (x)dθ j (x)Us= θj (x)−.dxx−ax − ajss=1(351)Если все Us равны нулю, то θ j (x) должна обращаться в постоянную матрицу, причем в силу условия в точке x = aj это должна быть единичная матрица,т. е. мы должны иметь разложение видаθ j (x) = I +∞1,..., mUj1 . . .
Ujν (aj1 . . . ajν ; x).(352)ν=1 j1 , ..., jνВ этом разложении все коэффициенты должны быть регулярными в точке aj и должны обращаться в нуль в этой точке, поскольку вся сумма рядадолжна при любых Us обращаться в точке x = aj в единичную матрицу. Подставляя разложения (350) и (352) в уравнение (351), мы, как и выше, придемк следующему равенству:Гл. V.
Линейные дифференциальные уравнения564x Nj (aj1 , . . . , ajν ; x) =Nj (aj1 , . . . , ajν−1 ; x)x − ajνaj−−ν1Jj (aj1 , . . . , ajk )Nj (ajk+1 . . . ajν ; x) dx,x − aj k=1и, в частности,x Nj (aj1 ; x) =aj[126(353)Jj (aj1 )1dx.−x − aj1x − aj1Последнее равенство в силу регулярности левой части показывает, что1 при j1 = j,Jj (aj1 ) =(354)0 при j1 = j.Напишем равенство (353) при ν = 2:Nj (aj1 , aj2 ; x) =x Nj (aj1 ; x)1−[Jj (aj1 )N (aj2 ; x) + Jj (aj1 , aj2 )] dx.=x − aj2x − ajajПо условию мы должны иметь Nj (ajs ; aj ) = 0, и, следовательно, первоеслагаемое под знаком интеграла не имеет полярности в точке x = aj . Отсюдавытекает, что и второе слагаемое не должно иметь полярности в этой точке и изэтого обстоятельства непосредственно следует, что квадратная скобка должнаобращаться в нуль при x = aj , и, следовательно, все коэффициенты Jj (aj1 , aj2 )должны быть равны нулю.
Совершенно так же, написав равенство (313) приν = 3, мы убедимся, что все коэффициенты Jj (aj1 , aj2 , aj3 ) должны быть равны нулю и т. д. Так что действительно разложение (350) в силу (354) приводится к простому равенству Wj = Uj , и мы имеем следующее представлениедля решения, канонического в точке x = aj :θj (x) = (x − aj )Uj θ j (x).(355)Формула (353) дает возможность последовательного определения коэффициентов в разложении (352). Принимая во внимание, что1 при j1 = j,Jj (aj1 ) =0 при j1 = j;Jj (aj1 , .
. . , ajν ) = 0приν 2,получимx Nj (aj1 ; x) =ajδj1 j1dx,−x − aj1x − aj127]Связь с регулярными решениями типа Фуксаx Nj (aj1 . . . ajν ; x) =ajNj (aj1 . . . ajν−1 ; x)x − ajν−565δj1 j Nj (aj2 . . . ajν ; x)dxx − ajгде δpq = 1 при p = q и δpq = 0 при p = q.При обходе вокруг точки aj решение (355) приобретает слева множительe2πiUj . Всякое другое решение, как мы знаем, будет иметь интегральную матрицу, подобную e2πiUj , т. е. при обходе вокруг особой точки aj любое решение системы приобретает слева множитель, который представляет собойматрицу, подобную матрице e2πiUj .Вернемся к формуле (355).
Второй множитель, как мы указали, регуляренв точке x = aj . Обратная матрицаθ j (x)−1будет также, очевидно, регулярной в точке x = aj , так как определитель матрицы θ j (x) равен единице в точке x = aj . Вообще, если некоторое решение Y (x)может быть представлено в окрестности точки aj в видеY (x) = (x − aj )Wj Y (x),где матрица Y (x) регулярна в точке aj , и ее определитель отличен там от нуля,то матрица Wj называется показательной матрицей взятого решения. Можнодоказать, что такая матрица определяется по заданному решению единственным образом, если Us близки к нулю. В частности, для канонического в точкеaj решения это будет сама матрица Uj , и вообще для всякого решения она будетподобна матрице Uj .З а м е ч а н и е.
Во всех предыдущих рассуждениях мы пользовались по существу тем, что представление некоторой функции от матриц в виде степенного ряда этих матриц единственно. Эта теорема единственности лежит в основеметода сравнения коэффициентов, который мы применяли, подставляя ряд снеизвестными коэффициентами в обе части уравнения и сравнивая коэффициенты при одинаковых членах.
На той же теореме единственности основано,например, утверждение, что если сумма степенного ряда от матриц Us естьоднозначная функция от x вблизи x = aj , то и все коэффициенты этого рядадолжны быть однозначны.Как мы упоминали раньше [97], теорема единственности верна, если суммыстепенных рядов совпадают для матриц любого порядка.
Во всех наших рассуждениях порядок матриц не играл никакой роли, а потому, согласно толькочто сказанному, мы и имели право пользоваться теоремой единственности.127. Связь с регулярными решениями типа Фукса. Вернемся к рассмотрению канонического решения в особой точке x = aj :θj (x) = (x − aj )Uj θ j (x).Для отчетливости будем считать, что порядок матриц n = 2, т.
е. что имеется система двух уравнений с двумя искомыми функциями. Пусть Sj — матрица,приводящая Uj к диагональной форме:Sj Uj Sj−1 = [ρ1 , ρ2 ].Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения566[127Рассмотрим интегральную матрицу−1Sj Uj SjZj (x) = Sj θj (x) = (x − aj )илиSj θj (x)Zj (x) = (x − aj )[ρ1 , ρ2 ] Z j (x),(j)где Z j (x) = Sj θ j (x) регулярна в точке x = aj . Обозначим Z pq (x) элементыэтой последней матрицы:##(j)## (j)# Z (x) Z 12 (x)#Z j (x) = # 11#,(j)(j)# Z (x) Z (x)#2122(j)где Z pq (x) — функции, регулярные при x = aj . Принимая во внимание, что#### (x − aj )ρ10#,(x − aj )[ρ1 ,ρ2 ] = #ρ#20(x − aj ) #мы будем иметь## ##(j)(j)## ## (x − aj )ρ10# Z 11 (x) Z 12 (x)##Zj (x) = #·#=##0(x − aj )ρ2 # # Z (j) (x) Z (j) (x)#2122##(j)(j)### (x − aj )ρ1 Z 11 (x) (x − aj )ρ1 Z 12 (x)#=##.# (x − aj )ρ2 Z (j) (x) (x − aj )ρ2 Z (j) (x)#2122Каждая строка этой матрицы содержит решение написанной системы [122].Мы имеем, таким образом, два решения системы, имеющих такой же вид, каки решения одного регулярного уравнения в теореме Фукса [101]:(j)Y12 (x) = (x − aj )ρ1 Z 12 (x);(j)Y22 (x) = (x − aj )ρ2 Z 22 (x).Y11 (x) = (x − aj )ρ1 Z 11 (x);Y21 (x) = (x − aj )ρ2 Z 21 (x);(j)(j)В этих формулах первый значок Y (x) дает номер решения, а второй — номер функции.
Заметим еще, что из определения Z j (x) и θj (aj ) = 1 следует,что##(j)## (j)# Z 11 (aj ) Z 12 (aj )#Z j (aj ) = # (j)# = Sj ,(j)# Z (aj ) Z (aj )#2122(j)где Sj есть матрица с определителем, отличным от нуля. Число Z pq (aj ) есть,(j)очевидно, свободный член в разложении Z pq (x) в ряд Тейлора по степеням(x − aj ).Числа ρ1 и ρ2 , которые в [101] являлись корнями определяющего уравнения, в настоящем случае определяются из характеристического уравненияматрицы Uj . В работах И. А.
Лаппо-Данилевского интегральная матрица θj (x)называется не канонической, а метаканонической в особой точке x = aj . При такой терминологии матрицу Zj (x) можно назвать канонической в точке x = aj .128]Случай любых Us567128. Случай любых Us . Формула (337) из [125] дает нам представлениепоказательной подстановки Wj интегральной матрицы Y (b; x) в виде степенного ряда по Us , сходящегося лишь в том случае, когда Us близки к нулевойматрице. Точно так же формула (352) из [126] дает аналогичное представление для регулярного множителя канонической матрицы θj (x).
Мы переходимтеперь к вопросу о представлении этих матриц при любых Us .По определению для Us , близких к нулевой матрице, мы имеем [125]Wj =∞11 (−1)ν−1ln Vj =(Vj − 1)ν .2πi2πi ν=1νОбозначим через ρ1 , ρ2 , . . . , ρn характеристические числа матрицы Uj .Как мы видели [126], матрица Vj подобна матрице e2πiUj , и, следовательно,характеристические числа матрицы Vj будутη1 = e2πiρ1 ,η2 = e2πiρ2 ,...,ηn = e2πiρn .Считая ηk различными и пользуясь формулой Сильвестра, можем написатьn1 (Vj − η1 ) . . . (Vj − ηk−1 )(Vj − ηk+1 ) . . . (Vj − ηn )ln ηk .Wj = −2πi k=1 (ηk − η1 ) .
. . (ηk − ηk−1 )(ηk − ηk+1 ) . . . (ηk − ηn )В дальнейшем для отчетливости ограничимся случаем n = 2. Подставляявыражение ηk через ρk получимWj =Vj − e2πiρ2Vj − e2πiρ1ρ1 + 2πiρρ2 ,2 − e2πiρ1e2πiρ1 − e2πiρ2eилиe2πiρ2 ρ1 − e2πiρ1 ρ2ρ2 − ρ1+ 2πiρVj .(356)2 − e2πiρ1e2πiρ2 − e2πiρ1eЕсли ρ1 = ρ2 , то эта формула превращается в следующую:11+Wj = ρ1 −Vj .(357)2πi2πie2πiρ1Выше мы имели представление Vj в виде степенного ряда по Us для любыхUs . Тем самым предыдущая формула (356) дает нам выражение для Wj прилюбых Us .
Эта формула теряет смысл, если ρ1 и ρ2 отличаются на целое число,отличное от нуля, так как при этом знаменатель в правой части (356) обратится в нуль, а числители будут отличны от нуля. Таким образом, для Wj , какфункции от Us , особыми будут те матрицы Uj , характеристические числа которых отличаются на целое число, отличное от нуля. В отношении остальныхматриц Us функция Wj никаких особенностей не имеет. Наличие указанныхособенностей и является причиною того, что ряд (337) сходится лишь в томслучае, когда Us близки к нулевой матрице.Наметим, каким образом можно, используя ряд (337), получить Wj в видечастного двух степенных рядов, сходящихся для любых Us . Составим численную функцию от Uj , т. е. такую функцию, которая при заданном Uj имеетопределенное численное значение:Wj =Δ(Uj ) = e−πi(ρ1 +ρ2 )sin π(ρ1 − ρ2 )e2πiρ1 − e2πiρ2=.2πi(ρ1 − ρ2 )π(ρ1 − ρ2 )(358)Гл.
V. Линейные дифференциальные уравнения568[128Мы можем представить ее в виде степенного ряда, сходящегося при любыхρ1 и ρ2 :∞(−1)νπ 2ν (ρ1 − ρ2 )2ν .(359)Δ(Uj ) =(2ν+ 1)!ν=0Обозначая через {Uj }pq элементы матрицы Uj , мы можем написать токвадратное уравнение, которому удовлетворяют ρ1 и ρ2 :{Uj }11 − ρ {Uj }12 = 0. {Uj }21{Uj }22 − ρДалее мы имеем(ρ1 − ρ2 )2 = (ρ1 + ρ2 )2 − 4ρ1 ρ2и, принимая во внимание свойство суммы и произведения корней квадратногоуравнения, получим выражение (ρ1 − ρ2 )2 через элементы матрицы Uj .(ρ1 − ρ2 )2 = ({Uj }11 + {Uj }22 )2 − 4({Uj }11 {Uj }22 − {Uj }12 {Uj }21 ).Подставляя это в (359), получим выражение Δ(Uj ) через элементы матрицы Uj :Δ(Uj ) =∞ν=0(−1)νπ 2ν [({Uj }11 +{Uj }22 )2 −4({Uj }11 {Uj }22 −{Uj }12 {Uj }21 )]ν ,(2ν + 1)!причем этот ряд сходится при любом выборе Uj , т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
