1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Сферические функции и функции Лежандра589получим непосредственно из предыдущей формулыPn (1) = 1.(26)Мы переходим сейчас к особому методу — методу производящейфункции — для изучения дальнейших свойств полиномов Лежандра. В дальнейшем мы будем пользоваться этим методом и при изучении других специальных функций.Поместим в северном полюсе N единичной сферы положительный заряд (+1), и пусть M — переменная точка, имеющая сферические координаты r, θ и ϕ. Кулоново поле упомянутого заряда будетиметь в точке M следующий потенциал:11= √,d1 − 2r cos θ + r2(27)где d есть расстояние от заряда до переменной точки M .Функция (27) будет регулярной функцией переменной r в точкеr = 0, и мы можем разложить ее по целым положительным степеням r:1= a0 (θ) + a1 (θ)r + a2 (θ)r2 + . .
. ,(28)dпричем коэффициенты разложения будут полиномами от cos θ. Мымогли бы точно подсчитать эти коэффициенты, применяя к функции11= [1 + (r2 − 2r cos θ)]− 2dформулу бинома Ньютона и собирая затем члены, содержащие одинаковые степени r. Мы будем поступать несколько иначе.Функцию (27) мы можем выразить через декартовы координаты11= [1 + (x2 + y 2 + z 2 − 2z)]− 2 .d(29)Мы получим ряд (28), если применим к функции (29) формулуНьютона и затем в полученном бесконечном ряде соберем членыодинакового измерения относительно x, y и z, т. е. члены ряда (28)суть однородные полиномы относительно x, y и z. Как известно,сама функция 1/d является решением уравнения Лапласа [II, 119],590Гл. VI.
Специальные функции[133и, следовательно, то же самое можно утверждать и относительноотдельных слагаемых ряда (28), т. е. члены этого ряда должны бытьобъемными сферическими функциями. Но они не зависят от угла ϕ,и, следовательно, каждый член этого ряда должен представлятьсяв виде произведения cn Pn (cos θ), где cn есть некоторая постоянная,которую нам и надо определить. Имеем, таким образом,1√= c0 + c1 P1 (cos θ)r + c2 P2 (cos θ)r2 + .
. .1 − 2r cos θ + r2Полагая θ = 0, получим в силу Pn (1) = 11= c0 + c1 r + c2 r2 + . . . ,1−rоткуда непосредственно следует, что cn = 1 при любом значке n, и,таким образом, мы получаем следующее окончательное разложениенашего элементарного потенциала по степеням r:1√= 1 + P1 (cos θ)r + P2 (cos θ)r2 + . . .1 − 2r cos θ + r2(30)Заменяя cos θ на x и r на z, можем написать∞1√=Pn (x)z n .1 − 2xz + z 2 n=0(31)Эта формула может служить определением полиномов Лежандра, а именно: можно сказать, что полином Лежандра Pn (x) является коэффициентом при z n в разложении функции√11 − 2xz + z 2(32)по целым положительным степеням z.
Иначе говорят, что функция (32) является производящей функцией полиномов Лежандра.Определим радиус сходимости степенного ряда (31). Особымиточками функции (32) будут те значения z, при которых подрадикальное выражение обращается в нуль. Решая соответствующееквадратное уравнение, получаем следующие его корни:z = x ± x2 − 1 = x ± 1 − x2 i.(33)133]§ 1. Сферические функции и функции Лежандра591Поскольку x = cos θ, мы будем считать, что x является вещественным и находится в промежутке −1 < x < 1. При этом корни(33) будут мнимыми сопряженными, и квадрат модуля каждого изних будет равенx2 + ( 1 − x2 )2 = 1.При x = ±1 корни (33) совпадают и равны оба ±1.
Таким образом, при условии −1 x 1 особые точки функции (32) будутотстоять от начала координат на расстоянии единица, и, следовательно, ряд (31) будет сходящимся при |z| < 1. В частности, разложение (30) будет справедливо при r < 1, т. е. для всех точек,находящихся внутри единичной сферы. Для точек вне единичнойсферы мы получим уже другое разложение. Действительно, функцию (27) можно переписать при r > 1 следующим образом:111√= 2 .2r1 − 2r cos θ + r1 − 2 1 cos θ + 1rrПри этом 1r < 1, так что можно применить уже предыдущее разложение, и мы получим окончательно следующее представление потенциала (27) вне единичной сферы:∞1Pn (cos θ)√.=2n+11 − 2r cos θ + rn=0(34)Каждое из слагаемых этой суммы не имеет вне сферы никакихособенностей и обращается в нуль на бесконечности.До сих пор мы рассматривали сферу единичного радиуса.
Длясферы любого радиуса R будем иметь, вынося R2 или r2 из-подзнака радикала:∞1rn√=Pn (cos θ) n+1RR2 − 2rR cos θ + r2n=0∞1Rn√=Pn (cos θ) n+1rR2 − 2rR cos θ + r2n=0(r < R),(35)(r > R).(36)Гл. VI. Специальные функции592[133Из формулы (31) легко вывести основные свойства полиномовЛежандра. Дифференцируя эту формулу по z и умножая затем на(1 − 2xz + z 2 ), получим√∞x−z= (1 − 2xz + z 2 )nPn (x)z n−11 − 2xz + z 2n=0или(x − z)∞Pn (x)z n = (1 − 2xz + z 2 )n=0∞nPn (x)z n−1 .n=1Отсюда, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z,будем иметь соотношение между последовательными полиномамиЛежандра:(n + 1)Pn+1 (x) − (2n + 1)xPn (x) + nPn−1 (x) = 0(n = 1, 2, 3, . . .),(37)P1 (x) − xP0 (x) = 0.Точно так же дифференцируя формулу (31) по x и умножаязатем на (1 − 2xz + z 2 ), будем иметьPn (x) =dPn (x)dPn+1 (x) dPn−1 (x)+− 2xdxdxdx(38)или, подставляя Pn+1 (x) из (37),xdPn (x) dPn−1 (x)−= nPn (x).dxdx(39)n (x)получимИсключая из (38) и (39) x dPdxdPn+1 (x) dPn−1 (x)−= (2n + 1)Pn (x).dxdx(40)Эта формула остается справедливой и при n = 0, если положитьP−1 (x) = 0.
Полагая в формуле (40) значок n равным 0, 1, . . . , n искладывая, получаем новое соотношениеP0 (x) + 3P1 (x) + . . . + (2n + 1)Pn (x) =dPn+1 (x) dPn (x)+.dxdx(41)133]§ 1. Сферические функции и функции Лежандра593Напишем формулу (40), заменяя n на n − 2k + 1:dPn−2k+2 (x) dPn−2k (x)−= (2n − 4k + 3)Pn−2k+1 (x).dxdxСуммируя по k от k = 1 до k = N , где N = 12 n при n — четном иN = 12 (n + 1) при n — нечетном, получаем формулуdPn (x) =(2n − 4k + 3)Pn−2k+1 (x).dxN(42)k=1Из определения (11) непосредственно вытекает, что Pn (x) содержиттолько четные степени x, если n — четное число, и только нечетныестепени x, если n — нечетное число.
Точно так же из этой же формулы непосредственно вытекаетP2n (0) = (−1)n1 · 3 . . . (2n − 1), P2n+1 (0) = 0,2 · 4 . . . 2nPn (−1) = (−1)n .(43)Применяя формулу бинома Ньютона, можем написать111√= √·√=2iθ1 − 2r cos θ + r1−e r1 − e−iθ r ∞ ∞ 1 · 3 . . . (2n − 1) 1 · 3 . . . (2m − 1)einθ rne−imθ rm ,=2·4...2n2·4...2mn=0m=0где при n = 0 и m = 0 члены ряда надо считать равными единице.Перемножая ряды и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях r, получим следующее выражение для полиномов Лежандра:Pn (cos θ) = a0 an cos nθ + a1 an−1 cos(n − 2)θ + .
. . + an a0 cos nθ, (44)где все коэффициенты ak положительны и определяются формулами1 · 3 . . . (2k − 1)a0 = 1, ak =(k = 1, 2, . . .).(45)2 · 4 . . . 2k594Гл. VI. Специальные функции[134Отсюда, между прочим, непосредственно следует|Pn (cos θ)| a0 an + a1 an−1 + . . . + an a0 = Pn (1) = 1.(46)Формулы (37) дают возможность последовательно определятьполиномы Лежандра. Выпишем первые пять полиномов:⎫1⎪⎬P0 (x) = 1, P1 (x) = x, P2 (x) = (3x2 − 1),2(47)11⎪P3 (x) = (5x3 − 3x),P4 (x) = (35x4 − 30x2 + 3).⎭28Если f (x) есть некоторая функция, определенная в промежутке (−1, 1), то возникает вопрос о представлении ее в виде ряда,расположенного по полиномам Лежандра:f (x) = a0 + a1 P1 (x) + a2 P2 (x) + . .
.(48)Пользуясь ортогональностью Pn (x) и формулой (19), мы, как и втеории тригонометрических рядов, убеждаемся, что коэффициентыan должны определяться по формулам2n + 1an =21f (x)Pn (x) dx.(49)−1Можно показать, что при таком выборе коэффициентов ряд (48)сходится в промежутке (−1, 1), и его сумма равна f (x), если толькоэта последняя функция удовлетворяет некоторым, весьма общимусловиям.134. Разложение по сферическим функциям.
Всякаяфункция, определенная на поверхности сферы любого радиуса, является функцией географических координат θ и ϕ на этой сфере,так что мы можем ее обозначить в виде f (θ, ϕ). Положим, что онаразлагается по сферическим функциям, т. е. может быть представлена на сфере в виде ряда, аналогичного ряду Фурье:134]§ 1. Сферические функции и функции Лежандра(0)f (θ, ϕ) = a0 +595∞ (n)a0 Pn (cos θ)+n=1n+(n)(n)(amcos mϕ + bmsin mϕ)Pn,m (cos θ) . (50)m=1Пользуясь ортогональностью сферических функций, а такжеформулами (25), мы, как и в ряде Фурье, получим следующие выражения для коэффициентов ряда:⎫(2n + 1)(n − m)!⎪(n)⎪am=f (θ, ϕ)Pn,m (cos θ) cos mϕ dσ,⎪⎪2δm π(n + m)!⎪⎪⎪s⎬(2n+1)(n−m)!(n)=f (θ, ϕ)Pn,m (cos θ) sin mϕ dσbm⎪⎪⎪2δm π(n + m)!⎪⎪s⎪⎪⎭(δm = 2 при m = 0 и δm = 1 при m > 0; Pn,0 (x) = Pn (x)).(51)Строго говоря, такое рассуждение является только некоторымпредварительным соображением при определении коэффициентовряда (50).
Мы должны затем подставить значения коэффициентов, полученные по формулам (51), в ряд (50) и доказать, что принекоторых предположениях относительно функции f (θ, ϕ) этот рядбудет сходящимся, и его сумма будет равна f (θ, ϕ). В следующемпараграфе мы проведем такое доказательство.Выясним предварительно некоторые соотношения интегрального вида, которым должны удовлетворять сферические функции.Пусть SR — поверхность сферы радиуса R и Yn (θ, ϕ) — некотораясферическая функция порядка n. ФункцияUn (M ) = rn Yn (θ, ϕ)будет гармонической, и мы можем применить к ней известную формулу Грина [II, 193]: ∂1∂Un 11− Un d ds,(52)Un (M ) =4π∂ν d∂νSRГл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
