1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 95
Текст из файла (страница 95)
VI. Специальные функции596[134где d — расстояние переменной точки M сферы SR до точки M ,находящейся внутри сферы, ds — элемент площади поверхности иν — направление внешней нормали к сфере SR , так что в данном∂∂случае ∂ν= ∂R. Мы имеем, очевидно,11= 2dR − 2Rr cos γ + r2и, далее, в силу (36)∞1 rk=Pk (cos γ) k+1dR(r < R),k=0так что∂∂ν ∞1∂ 1rk==−(k + 1)Pk (cos γ) k+2d∂R dRk=0и∂Un= nRn−1 Yn (θ, ϕ).∂νВ этих формулах γ есть угол, образованный радиусами-векторами OM и OM . Подставляя все это в формулу (52), получим,считая радиус R равным единице:rn Yn (θ, ϕ) =14π ∞nYn (θ , ϕ )Pk (cos γ)rk +k=0s+ Yn (θ , ϕ )∞(k + 1)Pk (cos γ)r dσ,kk=0где через θ и ϕ мы обозначили географические координаты переменной точки M единичной сферы. Написанные ряды сходятся равномерно относительно θ и ϕ , так как r < 1 и полиномыЛежандра удовлетворяют неравенству (46).
Производя почленноеинтегрирование рядов, будем иметь∞rkrn Yn (θ, ϕ) =(k + n + 1)Yn (θ , ϕ )Pk (cos γ)dσ.4πk=0s134]§ 1. Сферические функции и функции Лежандра597Из этой формулы непосредственно вытекает, что все слагаемыесуммы должны обратиться в нуль, кроме слагаемого, соответствующего k = n, что и дает нам следующие интегральные формулы,имеющие важное применение в приложениях сферических функций:Yn (θ , ϕ )Pm (cos γ)dσ = 0 при m = n,(53)sYn (θ , ϕ )Pn (cos γ)dσ =4πYn (θ, ϕ).2n + 1(54)sВыведем теперь формулу, выражающую cos γ через тригонометрические функции θ, ϕ, θ и ϕ .
Проведем для этого два радиусаOM и OM единичной сферы, концы которых имеют географические координаты (θ, ϕ) и (θ , ϕ ). Проекции этих радиусов на координатные оси будут, очевидно,sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ и sin θ cos ϕ , sin θ sin ϕ , cos θ ,и косинус угла, образованного этими двумя радиусами будет выражаться суммой произведений этих проекций, т. е. получаем для γследующую формулу:cos γ = sin θ sin θ cos(ϕ − ϕ ) + cos θ cos θ .(55)Вернемся вновь к ряду (50). Если этот ряд равномерно сходитсяи его сумма равна f (θ, ϕ), то для его коэффициентов мы получаемформулы (51) так же, как и в теории тригонометрических рядов.Объединим теперь в сумме (50) в одно слагаемое те члены ряда,которые представляют собою сферическую функцию заданного порядка n, т.
е. положимf (θ, ϕ) =∞Yn (θ, ϕ).(56)n=0Заменяя в этом разложении θ и ϕ на θ и ϕ , умножая наPn (cos γ) и интегрируя по переменным θ и ϕ , будем иметь, со-Гл. VI. Специальные функции598[134гласно (53) и (54), следующую формулу для членов ряда (56):2n + 1f (θ , ϕ )Pn (cos γ)dσ.(57)Yn (θ, ϕ) =4πsЭта формула дает сумму тех членов ряда (50), которые стоят под знаком суммирования по n и относятся к заданному значению n.Подставляя значения коэффициентов (51) в отдельное слагаемое суммы(50), получимYn (θ, ϕ) ==n(n − m)! 2n + 1cos mϕf (θ , ϕ ) cos mϕ Pn,m (cos θ )dσ+(n + m)! 2δm πm=0s+ sin mϕf (θ , ϕ ) sin mϕ Pn,m (cos θ ) dσ Pn,m (cos θ),sилиYn (θ, ϕ) =n(n − m)! (2n + 1)Pn,m (cos θ )Pn,m (cos θ) cos m(ϕ − ϕ)dσ.f (θ , ϕ )=(n+m)!(2δπ)mm=0s(58)Сравнение формул (57) и (58) дает намf (θ , ϕ ) Pn (cos γ)−s−nm=0(n − m)!2Pn,m (cos θ )Pn,m (cos θ) cos m(ϕ − ϕ) dσ = 0.(n + m)!δm(59)Строго говоря, мы вывели эту формулу лишь в предположении, что f (θ, ϕ)есть сумма равномерно сходящегося ряда (50).
В частности, она будет наверносправедливой, если ряд (50) приведется к конечной сумме. Заметим, что уголγ есть одна из географических координат (широта), если за полюс взять точку с географическими координатами θ и ϕ. Таким образом, r n Pn (cos γ) естьоднородный гармонический полином степени n, и, следовательно, Pn (cos γ) является некоторой сферической функцией порядка n переменных θ и ϕ .
Мывидим, что квадратная скобка в формуле (59) есть конечная сумма сферических функций, и, следовательно, можно в частности считать, что f (θ , ϕ ) равна135]§ 1. Сферические функции и функции Лежандра599этой конечной сумме сферических функций. Таким образом, получаем при таком выборе функции, что интеграл от квадрата упомянутой выше квадратнойскобки равен нулю, а потому и все выражение, стоящее в квадратных скобках,должно равняться нулю:Pn (cos γ) =nm=0(n − m)!2Pn,m (cos θ )Pn,m (cos θ) cos m(ϕ − ϕ).(n + m)!δm(60)Эта формула называется обычно теоремой сложения для полиномов Лежандра.135. Доказательство сходимости. Докажем теперь, что произвольнаяфункция f (θ, ϕ), заданная на поверхности сферы и удовлетворяющая там некоторым условиям, разлагается в ряд (56) по сферическим функциям.Принимая во внимание формулу (57), получим следующее выражение длясуммы первых (n + 1) слагаемых ряда (56):n1Sn =f (θ , ϕ )(2k + 1)Pk (cos γ)dσ.4πk=0sВведем новые географические координаты γ и β, помещая северный полюсв точку, которая раньше имела географические координаты θ и ϕ.
При этомфункция f (θ , ϕ ) будет в новой системе координат некоторой функцией F (γ, β)новых координат, и мы будем иметьSn =14ππ 2πnF (γ, β)(2k + 1)Pk (cos γ) sin γ dγ dβ.0(61)k=00Введем новую функцию Φ(γ), которая представляет собою среднее значение функции F (γ, β) на различных параллелях в новой системе координат:Φ(γ) =12π2πF (γ, β)dβ.(62)0Введем новую переменную x = cos γ и положимΦ(γ) = Ψ(x).(63)Интегрируя в формуле (61) по переменной β, мы можем переписать ее ввидеπn1Φ(γ)(2k + 1)Pk (cos γ) sin γ dγSn =2k=00илиSn =121Ψ(x)−1n(2k + 1)Pk (x)dx,k=0Гл. VI.
Специальные функции600[135т. е. в силу (41)Sn =121−1dPn (x)dPn+1 (x)+dx.Ψ(x)dxdxБудем считать, что функция f (θ, ϕ) такова, что Ψ(x) имеет непрерывнуюпроизводную в промежутке (−1, 1). Интегрируя при этом по частям, получимSn =11[Ψ(x)(Pn+1 (x) + Pn (x))]x=1x=−1 −221[Pn+1 (x) + Pn (x)]Ψ (x) dx−1или, принимая во вниманиеPn (1) = Pn+1 (1) = 1, Pn (−1) = −Pn+1 (−1) = (−1)n ,будем иметьSn = Ψ(1) −121[Pn+1 (x) + Pn (x)]Ψ (x)dx.(64)−1Выясним теперь значение первого слагаемого Ψ(1) справа. В силу (62) и(63) мы имеем2π1F (0, β) dβ.(65)Ψ(1) =2π0Но точка при γ = 0 при произвольном β представляет собой северныйполюс сферы или, что то же, прежнюю точку с географическими координатамиθ и ϕ.
Иначе говоря, F (0, β) = f (θ, ϕ) не зависит от β и формула (65) даетΨ(1) = f (θ, ϕ).Таким образом, мы можем переписать формулу (61) в видеSn = f (θ, ϕ) −121[Pn+1 (x) + Pn (x)]Ψ (x) dx.(66)−1Нам надо доказать, чтоlim Sn = f (θ, ϕ),n→∞т. е. нам надо доказать, что интеграл, стоящий в формуле (66), стремится кнулю при беспредельном возрастании n. Пусть M — наибольшая величина абсолютного значения непрерывной функции Ψ (x) в промежутке (−1, 1). Упомянутый интеграл по абсолютному значению будет меньше следующего выражения:11MM|Pn+1 (x)|dx +|Pn (x)|dx.22−1−1136]§ 1. Сферические функции и функции ЛежандраНам остается, следовательно, только показать, что интеграл1|Pn (x)| dx601(67)−1стремится к нулю при возрастании n.
Применяя неравенство Буняковского[III1 , 29] получим 12111|Pn (x)|dxPn2 (x)dx12 dx = 2Pn2 (x)dx−1−1−1−1или в силу (19)1|Pn (x)|dx √−12,2n + 1откуда и вытекает непосредственно, что интеграл (67) стремится к нулю приn → ∞.Указанный прием доказательства теоремы разложения по сферическим функциям взят нами из книги Вебстер-Ceгe «Дифференциальные уравнения в частных производных математической физики». Тот факт, что произвольная функция, удовлетворяющая указанным выше условиям общего характера [Ψ(x) имеет непрерывнуюпроизводную], разлагается по сферическим функциям, указываетна то, что сферические функции образуют замкнутую систему [II,155] на поверхности единичной сферы.
Впервые эта замкнутостьсистемы сферических функций была доказана А. М. Ляпуновым(1899).136. Связь сферических функций с предельными задачами. Сейчас мы укажем на связь теории сферических функций снекоторыми предельными задачами для дифференциальных уравнений. Напишем уравнение Лапласа в сферических координатах [II,119]:∂∂U1 ∂∂U1 ∂2Ur2+sin θ+= 0.(68)∂r∂rsin θ ∂θ∂θsin2 θ ∂ϕ2Будем искать его решение, имеющее вид произведения функциитолько от r на функцию только от θ и ϕ:U = f (r)Y (θ, ϕ).Гл. VI.
Специальные функции602[136Подставим в уравнение (68)Y (θ, ϕ)∂Y (θ, ϕ)1 ∂d 2 [r f (r)] + f (r)sin θ+drsin θ ∂θ∂θ1 ∂ 2 Y (θ, ϕ)= 0;+∂ϕ2sin2 θэто можно переписать, разделяя переменные, в виде!"2(θ, ϕ)1 ∂d2 sin θ ∂Y ∂θ+ sin12 θ ∂∂ϕY2[rf(r)]sinθ∂θdr=−.f (r)YЛевая часть содержит только r, а правая только θ и ϕ, и обечасти должны равняться одной и той же постоянной. Обозначаяэту постоянную через λ, будем иметь два уравнения:r2 f (r) + 2rf (r) − λf (r) = 0(69)Δ1 Y + λY = 0,(70)игде мы для сокращения обозначили ∂∂Y1 ∂ 2Y1sin θ+.Δ1 Y =sin θ ∂θ∂θsin θ ∂ϕ2(71)Множитель f (r) мы уже знаем, а именно в силу (5) он долженравняться rn , и, таким образом, наше внимание должно сосредоточиться на уравнении (70). Функция Y (θ, ϕ), как мы видели, естьтригонометрический полином, и, следовательно, во всяком случаеона должна быть конечной и непрерывной на всей единичной сфере, т.
е. при любом выборе углов θ и ϕ, и, в частности, при θ = 0и θ = π, когда sin θ обращается в нуль. Приходим таким образом кследующей предельной задаче: найти такие значения параметраλ, при которых уравнение (70) имеет решения, непрерывные навсей единичной сфере, и построить эти решения. Первая частьзадачи не представляет никакого труда, ибо мы знаем, что f (r)136]§ 1.
Сферические функции и функции Лежандра603должно равняться rn , и, подставляя это в уравнение (69), получимбесчисленное множество значений параметра λ, а именно:λn = n(n + 1) (n = 0, 1, 2, . . .).(72)При этом уравнениеr2 fn (r) + 2rfn (r) − n(n + 1)fn (r) = 0(73)будет иметь одно решение fn (r) = rn и второе решение fn (r) =r−n−1 . Подставляя λ = n(n + 1) в уравнение (70), получим уравнение для сферических функций 1∂∂Yn1 ∂ 2 Ynsin θ++ n(n + 1)Yn = 0.(74)sin θ ∂θ∂θsin θ ∂ϕ2В данном случае собственному значению λn = n(n+1) соответствует (2n + 1) собственных функций. Это будут сферические функциипорядка n. Поскольку сферические функции образуют замкнутуюсистему на единичной сфере, ими исчерпываются все собственныефункции уравнения (70).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
