1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Обозначая, как и выше, через ν определенное направление, а именнонаправление радиуса OM0 , и принимая во внимание, что в интеграле (93) только множитель 1/d зависит от координат точки M ,получим ∂U (M )∂ 1=ds.(104)ρ(M )∂ν∂ν dSRНо мы имеем∂∂ν 11= − 2 cos ω,ddгде ω есть угол между радиусом-вектором M M и направлениемν. Определим значение интеграла (104), предполагая, что точка Mнаходится на самой сфере и именно в точке M0 .
При этом мы будемиметь d = 2R cos ω и, следовательно, ∂ 11=−.∂ν d2RdДля интеграла (104) получим следующее значение:111−U (M0 ).ρ(M ) ds = −2Rd2RSR(M0 )Обозначим эту величину через ∂U∂ν. При этом формулу (103)можно переписать в следующем виде:∂U (M0 )∂U (M0 )∂U (M0 ).+=2∂ν∂ν∂νei140]§ 1. Сферические функции и функции Лежандра613Отсюда вытекают, между прочим, следующие выражения дляпределов нормальной производной потенциала простого слоя:⎫∂U (M0 )∂U (M0 )+ 2πρ(M0 ),⎪⎪=⎬∂ν∂νi(105)⎪∂U (M0 )∂U (M0 )⎪⎭− 2πρ(M0 ).=∂ν∂νeЭти формулы оказываются также справедливыми не только длясферы.140.
Электрон в центральном поле. При рассмотрении электрона в поле, образованном некоторым положительным ядром, мы имеем, согласно теории Шредингера, следующее уравнение:h2 ∂ 2 ψ∂2ψ∂ψ−− eV (r)ψ = Eψ,(106)++2μ ∂x2∂y 2∂z 2где h — постоянная Планка, μ — масса электрона, e — его заряд, V (r) — заданная функция, зависящая только от расстояния r от начала и определяющаяпотенциал поля, ψ (x, y, z) — волновая функция и, наконец, E — постоянноечисло, определяющее уровень энергии рассматриваемой физической системы.Уравнение (106) должно иметь решение, определенное во всем бесконечномпространстве и остающееся ограниченным на бесконечности. Будем искать решения уравнения (106) в виде произведения функции только от r на функциютолько от θ и ϕ.
Выражая операторы Лапласа Δψ в сферических координатах,можем написать∂2ψ12 ∂ψΔψ =+ 2 Δ1 ψ,+∂r 2r ∂rrгде, как и выше [136],∂ψ1 ∂2ψ1 ∂sin θ+Δ1 ψ =.sin θ ∂θ∂θsin2 θ ∂ϕ2Уравнение (106) перепишется в виде12 ∂ψh2 ∂ 2 ψ++Δψ+ eV (r)ψ + Eψ = 0.12μ ∂r 2r ∂rr2Подставляя выражение ψ = f (r)Y (θ, ϕ) и разделяя переменные, мы будемиметь ,h2− 2μf (r) + 2r f (r) − eV (r)f (r) − Ef (r)Δ1 Y=.h2Y2 f (r)2μrОбе части написанного равенства должны равняться одной и той же постоянной, которую мы обозначим через λ.
Это даст нам два уравнения:Δ1 Y − λY = 0,(107)Гл. VI. Специальные функции614−h22λf (r) + f (r) + 2 f (r) − eV (r)f (r) − Ef (r) = 0.2μrr[140(108)Уравнение (107) должно иметь решение, непрерывное на всей поверхностисферы. Мы уже знаем, что при этом параметр λ должен принимать значение —−l(l + 1), и в качестве решения будем иметь сферические функции Yl (θ, ϕ).Подставляя указанное значение λ в уравнение (108), будем иметь уравнениедля определения множителя, зависящего от r, который мы обозначим теперьчерез fl (r):h2 h2 h2 l(l + 1)fl (r) = 0.fl (r) +fl (r) + E + eV (r) −(109)22μμr2μrЗначения параметра E определятся из условия, что уравнение (109) должноиметь решение, ограниченное как при r = 0, так и при стремлении r к +∞.Вообще говоря, мы получим бесчисленное множество таких значений E.
Ониобычно нумеруются, начиная с целого числа (l + 1), т. е. они нумеруются попорядку следующими целыми числами:n = l + 1,l + 2,l + 3,...Таким образом, значение E будет зависеть от двух значков, а именно —от значения целого числа l и номера n. Число l называется азимутальнымквантовым числом и число n называется главным квантовым числом. Призаданных l и n мы имеем, вообще говоря, определенную функцию fnl (r), удовлетворяющую уравнению (109) и указанным выше предельным условиям приr = 0 и r = +∞.
Что же касается функций Yl (θ, ϕ), то их будет всего (2l + 1):(m)Yl(θ, ϕ)(m = −l, −l + 1, . . . , l − 1, l),и для полной характеристики волновой функции мы должны указать значениеи для третьего значка m. Это значение называется обычно магнитным квантовым числом. Оно играет существенную роль при рассмотрении возмущениярассматриваемой физической системы, вызываемого включением магнитногополя, направленного по оси Z.Рассмотрим теперь тот частный случай, когда потенциал является кулоновским потенциаломkeV (r) =,rгде k — некоторое целое число, равное, например, для случая атома водорода, единице.
Подставляя выражение потенциала в уравнение (109), придем куравнению следующего вида (k = 1):h2 h2 l(l + 1)h2 e2fl (r) = 0.fl (r) +fl (r) + E +−(110)22μμrr2μrВведем вместо r новую переменную z:z=μe2 r,h2140]§ 1. Сферические функции и функции Лежандра615и положимEh2и s = 2l + 1.μe4Кроме того, вместо fl (r) введем новую искомую функцию y:ε=(111)1fl (r) = √ y.zПодставляя все это в (110), придем к уравнению2s21 dyd2 yy = 0,+2ε+−+dz 2z dzz4z 2которое мы рассматривали в [115].Остановимся на рассмотрении отрицательных значений параметра E.
Приэтом, как мы видели выше, получим бесчисленное множество дискретных значений для постоянной E, а именно, обозначая1λ= √,−2εмы имели следующие значения для параметра λ:λp =s+1+p2(p = 0, 1, 2, . . .),откуда1=−2εps+1+p22иεp = − 1s+12+p2 = −1,2(p + l + 1)2и, следовательно, в силу (111) для параметра E мы имеем следующие значения:Enl = −2h2 (pμe4μe4= − 2 2,2+ l + 1)2h n(112)где n — главное квантовое число, равное (p + l + 1).Мы видим отсюда, что для случая поля Кулона значения параметра Eне зависят от азимутального квантового числа l. Если фиксировать n и темсамым значение параметра E, то, поскольку n = p + l + 1, можно придавать lследующие значения:l = n − 1, n − 2, .
. . , 0.Каждому такому значению l соответствует (2l + 1) собственных функцийψ. Таким образом, для значения (112) параметра E будем иметь следующееобщее число собственных функций:1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 .Если вместо уравнения Шредингера мы взяли бы для случая одного электрона уравнение Дирака, то пришли бы к функциям, аналогичным шаровымГл. VI.
Специальные функции616[141функциям. Эти «шаровые функции со спином» рассмотрены, например, в книге: Фок В. А. Начала квантовой механики1 .141. Шаровые функции и линейные представления группы вращения. Как мы уже упоминали раньше, однородные полиномы переменных(x, y, z), удовлетворяющие уравнению Лапласа, дают некоторое линейное представление группы R вращения пространства вокруг начала.Мы видим, таким образом, что совокупность сферических функций порядка l дает линейное представление группы R, и это представление будет представлением порядка (2l + 1). Рассмотрим этот вопрос несколько подробнее.Возьмем сферические функции порядка l в том виде, в каком они указаныформулами (18), и введем для них специальные обозначения:(m)Ql(ϕ, θ) = eimϕ Pl,m (cos θ)(m = −l, −l + 1, .
. . , l − 1, l),(113)гдеPl,−m (cos θ) = Pl, m (cos θ).Пусть {α, β, γ} — некоторое вращение из группы R с углами Эйлера α, β иγ. В результате этого вращения точка сферы с координатами (ϕ, θ) перейдет(m)в новое положение (ϕ , θ ), и функции Ql (ϕ , θ ) будут линейно выражаться(m)через функции Ql (ϕ, θ). Матрица этого линейного преобразования и будетсоответствовать вращению {α, β, γ} в том линейном представлении группы R,которое определяется функциями (113). Простая зависимость этих функцийот угла ϕ показывает, что вращению вокруг оси Z на угол α, т.
е. вращению{α, 0, 0}, соответствует при этом диагональная матрица# −ilα##e0,0... 0 ###−i(l−1)α#00... 0 #e##−i(l−2)α#0(114)... 0 #0e##.# . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .####000. . . eilα #Обозначим вообще через {Dl (R0 )}ik элементы матрицы, соответствующейопределенному вращению R0 , причем значки i и k пробегают ряд значений −l,−l + 1, . . . , l.Возьмем за R0 вращение вокруг оси Y на угол β, в результате котороготочки сферы с координатами ϕ = 0 и θ перейдут в точки ϕ = 0 и θ+β.
Принимаяво внимание вид функций (113), можно утверждать, что при сделанном выбореR0 матрица Dl (R0 ) преобразует функции Pl,m (cos θ) в функции Pl,m [cos(θ+β)],т. е.Pl,m [cos(θ + β)] =l{Dl (R0 )}ms Pl,s (cos θ)(m = −l, −l + 1, . . . l).s=−l1 Эта книга переиздавалась в издательстве «Наука» в 1976 г.
и издательскойгруппой URSS в 2008 г.141]§ 1. Сферические функции и функции Лежандра617Обращаясь к формулам (12), мы видим, что Pl,s (cos θ) обращаются в нульпри θ = 0, если s = 0. Полагая в предыдущих формулах θ = 0, будем иметь,таким образом,Pl,m (cos β) = {Dl (R0 )}m0 Pl (1) = {Dl (R0 )}m0 .Отсюда видно, что элементы столбца матрицы Dl (R0 ) с номером k = 0,вообще говоря, все отличны от нуля, т. е. среди них есть равные нулю толькопри исключительных значениях β.Итак, среди матриц Dl (R) есть диагональные матрицы (114) с различными элементами и есть матрицы, у которых элементы некоторого столбца всеотличны от нуля.
Как мы видели в [III1 , 69], при этом матрицы дают неприводимое представление группы R, и можно поэтому утверждать неприводимостьпредставления, доставляемого матрицами Dl (R). Функции (113) попарно ортогональны, но не нормированы к единице для интегралов от квадрата модуля.Приписывая к функциям подходящим образом выбранные постоянные множители, можно построить и нормированные функции:(m)Cl(m)Ql(ϕ, θ).(115)Они дадут уже унитарное неприводимое представление Dl (R) [III1 , 63], эквивалентное Dl (R), причем в этом новом представлении вращению {α, 0, 0}будет соответствовать прежняя матрица (114), так как постоянные множители, приписанные нами, не изменят характера зависимости функций (113)от ϕ.Умножая функции (115) на любые множители, по модулю равные единице, мы получаем также унитарные представления с тою же матрицей (114),соответствующей вращению {α, 0, 0}.
Одно из этих представлений в точностисовпадает с тем, которые мы построили другим путем в [III1 , 62].Собственные функции уравнения Шредингера, рассмотренные ранее, распадаются на группы в соответствии со значением числа l, причем в такую группу входит (2l + 1) собственных функций (l — азимутальное квантовое число).Нумерация функций, входящих в такую группу, производится числом m (m —магнитное квантовое число), принимающим значения m = −l, −l + 1, . . .
, l. Извида функций (113) непосредственно следует, что1 ∂ (m)(m)Q(ϕ, θ) = mQl (ϕ, θ),i ∂ϕ lт. е. m-я функция нашей группы является собственной функцией оператораLz =1 ∂,i ∂ϕ(116)и число m есть соответствующее собственное значение. Кроме того, каждая изфункций (113), как мы знаем, удовлетворяет уравнению(m)−Δ1 Ql(m)(ϕ, θ) = l(l + 1)Ql(ϕ, θ),Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения618[142т. е.
каждая из функций, входящих в упомянутую группу (2l + 1) функций,является собственной функцией оператора ∂1 ∂21∂L2 = −Δ1 = −,(117)sin θ+2sin θ ∂θ∂θsin θ ∂ϕи соответствующее собственное значение равно l(l + 1). Оператор Lz лишь множителем h отличается от оператора составляющей количества движения на осьZ. Точно так же оператор (117) лишь множителем h2 отличается от оператораквадрата момента количества движения.142.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
