1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Она определена в плоскости с разрезом от x = −∞ доx = 1. Если n — целое отрицательное число, то, полагая n = −m−1,где m — целое положительное число или нуль, мы видим, что уравнение (118) переходит в уравнение(1 − x2 )d2 udu+ m(m + 1)u = 0,− 2x2dxdxи в качестве решений уравнения (118) можно взять Pm (x) и Qm (x).Для функций Qn (x) легко проверяются формулы (37), (39) и (40)из [133].626Гл. VI.
Специальные функции[144§ 2. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ144. Определение функций Бесселя. Мы впервые встретились с функциями Бесселя при решении задачи о колебании круглой мембраны [II, 178]. Формулируем те результаты, которые былитам получены, устанавливая связь между волновым уравнением ифункциями Бесселя.Волновое уравнение в плоском случае имеет вид 2∂2U∂2U2 ∂ U.(1)=a+∂t2∂x2∂y 2Разбирая колебание круглой мембраны, мы ввели полярные координаты на плоскостиx = r cos ϕ,y = r sin ϕ,и нашли те решения уравнения (1), которые представляются в виде произведения трех функций, из которых одна зависит от t, другая — от r и третья — от ϕ. Такие решения имеют следующую форму:(α cos ωt + β sin ωt)(C cos pϕ + D sin pϕ)Zp (kr),(2)где α, β, C и D — произвольные постоянные, а постоянные ω, k и aдолжны быть связаны соотношениемω 2 = k 2 a2 .(3)Через Zp (z) в предыдущей формуле мы обозначаем любое решение уравнения Бесселя1p2Zp (z) + Zp (z) + 1 − 2 Zp (z) = 0.(4)zzЗаметим еще, что постоянная p в выражении (2) может такжеиметь любое значение.
Мы ее брали равной целому числу, поскольку хотели получить решение, обладающее периодом 2π по отношению к переменной ϕ. Кроме того, желая получить решение, которое остается конечным при r = 0, мы брали за Zp (z) то решение144]§ 2. Функции Бесселя627уравнения (4), которое остается конечным при z = 0, т. е. решениеJp (z) (p 0), которое представляет собою функцию Бесселя. Значение постоянной k, а вместе с тем в силу (3) и постоянной ω, определялось из предельного условия. В дальнейшем будем иметь ещеприменение функций Бесселя. В настоящее время займемся изучением свойств функций, определяемых уравнением (4), и начнем сизучения функции Бесселя, о которой говорилось выше.Функция Бесселя с точностью до постоянного множителя определяется разложением вида [II, 48]Jp (z) = Czpz4z2+− ... .1−2(2p + 2) 2 · 4 · (2p + 2)(2p + 4)(5)Если p = n есть целое положительное число или нуль, то мы выбирали постоянный множитель C равным 2n1n! , причем как всегда0! = 1.
Таким образом, для функции Бесселя с целым положительным значком мы имели выражение видаJn (z) =∞k=0 n+2k(−1)kz.k!(n + k)! 2(6)Если p не есть целое число, то в формуле (5) принимаем постоянный множитель C равнымC=12p Γ(p+ 1)и, таким образом, придем к следующему выражению для функцииБесселя: 2 41zzzp11−Jp (z) = p+−. .
.2 Γ(p + 1)1!(p + 1) 22!(p + 1)(p + 2) 2или в силу основного свойства функции Γ(z)Jp (z) =∞k=0 p+2k(−1)kz.k!Γ(p + k + 1) 2(7)628Гл. VI. Специальные функции[145Можно показать, что функция Бесселя с целым отрицательным значком (−n) лишь постоянным множителем (−1)n отличается от функции Бесселя с таким же целым, но положительным значком.Если p отлично от целого числа, то функции Jp (z) и J−p (z) дают,очевидно, два линейно независимых решения уравнения Бесселя[II, 48]. Ряд (7) сходится, как мы это видели, при всех конечныхзначениях z.145. Соотношения между функциями Бесселя.
Выведемтеперь некоторые основные соотношения, которыми связаны функции Бесселя с различными значками. Производя дифференцирование степенного ряда (7), получим∞∞d Jp (z)(−1)k(−1)k · 2k z 2k−1z 2kd ==dz z pdzk!Γ(p + k + 1) 2p+2kk!Γ(p + k + 1) 2p+2kk=0k=1(8)или, заменяя переменную суммирования k на k + 1 и начиная суммировать с k = 0,∞d Jp (z) (−1)k+1 2(k + 1)z 2k+1·=dz z p(k + 1)!Γ(k + p + 2) 2p+2k+2k=0или p+1+2k∞d Jp (z)(−1)kz1 =−.ppdz zzk!Γ(p + 1 + k + 1) 2k=0Мы получаем, таким образом, сравнивая с (7), следующую формулу:d Jp (z)Jp+1 (z)=−.(9)dz z pzpПроизводя дифференцирование дроби, можно переписать этуформулу в таком виде:Jp (z) = −Jp+1 (z) +pJp (z)z(J0 (z) = −J1 (z)).(10)145]§ 2. Функции Бесселя629Разделим обе части формулы (9) на z:1 d Jp (z)Jp+1 (z)= − p+1 .pz dz zzНаписанное соотношение можно формулировать словами слеJ (z)дующим образом: дифференцирование дроби pzp с последующимделением на z равносильно увеличению p на единицу и изменениюзнака у упомянутой дроби.Применяя это правило несколько раз, получаем следующуюформулу, справедливую при любом целом положительном m:dm Jp (z)Jp+m (z)= (−1)m p+m .(z dz)m z pz(11)Формулу эту можно еще переписать следующим образом:Jp+m (z)dm Jp (z)= (−1)m m p+m .d(z 2 )m z p2 z(12)Продифференцируем теперь произведение z p Jp (z) по z:∞ (−1)k 2(p + k) z 2p+2k−1d pz Jp (z) =,dzk!Γ(p + k + 1) 2p+2kk=0или, принимая во внимание, что Γ(p + k + 1) = (p + k)Γ(p + k),получим p−1+2k∞d p(−1)kzpz Jp (z) = z,dzk!Γ(p − 1 + k + 1) 2k=0т.
е. в силу (7) приходим к формуле, аналогичной формуле (9):d pz Jp (z) = z p Jp−1 (z).dz(13)Дифференцируя произведение, можем переписать эту формулуследующим образом:Jp (z) = Jp−1 (z) −pJp (z).z(14)Гл. VI. Специальные функции630[145Разделим обе части формулы (13) на z:d pz Jp (z) = z p−1 Jp−1 (z).z dzПрименяя несколько раз эту формулу, приходим к формуле,аналогичной (11):илиdmz p Jp (z) = z p−m Jp−m (z)(z dz)m(15)z p−m Jp−m (z)dmpzJ(z)=.p(dz 2 )m2m(16)В формулах (11) и (15) мы пользовались следующим обозначением:dmdd d...f (z),f (z) =(z dz)mz dz z dzz dzгде число дифференцирований по z с последующим делением на zравно m.Сопоставляя формулы (10) и (14), получаем соотношение междутремя последовательными функциями БесселяpJp (z)pJp (z)− Jp+1 (z) = Jp−1 (z) −zzили2pJp (z)= Jp−1 (z) + Jp+1 (z).z(17)Пользуясь предыдущими формулами, покажем теперь, чтофункции Бесселя, значок которых равен половине целого нечетного числа, т.
е. имеет вид ± 2m+12 , где m — целое число, выражаютсячерез элементарные функции. Применим для этого формулу (7) кслучаю p = 1/2: 12 +2k(−1)kzJ 12 (z) =.32k!Γ k + 2k=0∞146]§ 2. Функции Бесселя631Применяя несколько раз основное свойство функций Γ(z), будемиметь 311111Γ k+= k+Γ k+= k+k−Γ k−=222222 111(2k + 1)(2k − 1) . . . 3 · 1 √1k−... Γ=π= k+22222k+1и, таким образом, получимJ 12 (z) =∞k=01(−1)kz 2 +2k√=k!2k · 1 · 3 . .
. (2k + 1) π 2− 12∞2 (−1)k z 2k+1,πz(2k + 1)!k=0т. е.2sin z.(18)πzПрименяя теперь формулу (11), будем иметь при любом целомположительном m2 2m+1 dmsin zm2J 2m+1 (z) = (−1)z.(19)2π(z dz)mzJ 12 (z) =Аналогичные результаты получаются и для отрицательныхзначков. Формула (7) при p = − 21 дает2cos z,(20)J− 12 (z) =πzи, применяя затем формулу (15), получим при любом целом положительном m2 2m+1 dmcos zJ− 2m+1 (z) =.(21)z 22π(z dz)mzМы выписали выше [II, 48] в раскрытом виде выражение бесселевых функций для значков p = ± 23 и p = ± 52 .146. Ортогональность функций Бесселя и их корни.
Какмы уже говорили, функции Бесселя применялись нами раньше при632Гл. VI. Специальные функции[146рассмотрении колебаний круглой мембраны. При этом мы использовали обычный метод Фурье, и, для того чтобы удовлетворитьначальным условиям задачи, нам пришлось разлагать заданнуюфункцию в ряд по бесселевым функциям.
Мы получили такимобразом ряды, аналогичные рядам Фурье, причем оказалось, чтофункции Бесселя, в известном смысле, обладают свойством ортогональности [II, 178]. Сейчас мы рассмотрим этот вопрос с болееобщей точки зрения и выясним некоторые дополнительные обстоятельства.Как известно, функция Jp (kz) удовлетворяет уравнению [II, 48]d2 Jp (kz) 1 dJp (kz)p22+ k − 2 Jp (kz) = 0,+dz 2z dzzили, умножая на z, можем написать уравнение в виде ddJp (kz)p22z+ k z−Jp (kz) = 0.dzdzzМы будем в дальнейшем считать, что значок p — вещественныйи, кроме того, p 0.Возьмем два различных значения числа k и напишем соответствующие дифференциальные уравнения: ddJp (k1 z)p22z+ k1 z −Jp (k1 z) = 0,dzdzz ddJp (k2 z)p2z+ k22 z −Jp (k2 z) = 0.dzdzzУмножим первое уравнение на Jp (k2 z), второе — на Jp (k1 z),вычтем и проинтегрируем по некоторому конечному промежутку(0, l):l dJp (k1 z)dJp (k2 z)ddz− Jp (k1 z)zdz+Jp (k2 z)dzdzdzdz0+ (k12 − k22 )lzJp (k1 z)Jp (k2 z)dz = 0.0146]§ 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
