1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Сначала рассмотрим тот случай, когда значок p отличен от целого числа. В этом случае, как мы знаем, уравнение (48) имеет два линейно независимых решения Jp (z) и J−p (z).Второе из этих решений должно выражаться линейно через решения Jp (z) и Np (z), которые, как было выше указано, тоже являютсялинейно-независимыми решениями, т. е.
мы должны иметь формулу видаJ−p (z) = C1 Jp (z) + C2 Np (z),(57)где C1 и C2 — постоянные коэффициенты, которые мы сейчас иопределим. Принимая во внимание асимптотические выражения(55) и (56), можно написатьpπ ππpπcos z +−= C1 cos z −−+2424pπ π+ C2 sin z −−+ C1 O(z −1 ) + C2 O(z −1 ).24Заметим, что произведение постоянной или вообще ограниченной функции на величину O(z −1 ) порядка 1/z — дает также величину O(z −1 ) порядка 1/z.
Мы получаем, таким образом,pπ π−=cos z +24πpπpπ π= C1 cos z −−+ C2 sin z −−+ O(z −1 ). (58)2424Отсюда можно вывести значение постоянных, сравнивая главные члены в написанных разложениях. Действительно, положимC1 = cos pπ − A1 ,C2 = − sin pπ − A2 ,Гл. VI. Специальные функции648[149где A1 и A2 — новые искомые постоянные. Подставляя в формулу(58), получимpπ ππpπ πpπ−= cos z +−− A1 cos z −−−cos z +242424pππ+ O(z −1 )− A2 sin z −−24илиπpπ πpπ−+ A2 sin z −−= O(z −1 ),A1 cos z −2424т. е. левая часть написанного равенства, являющаяся периодической функцией с периодом 2π, должна стремиться к нулю приz → +∞. Отсюда непосредственно следует, что мы должны иметьA1 = A2 = 0, т. е.C1 = cos pπ,C2 = − sin pπ.Подставляя эти значения постоянных в формулу (57) и решаяотносительно Np (z), придем к искомому выражению функции Неймана через функции Бесселя:Np (z) =Jp (z) cos pπ − J−p (z).sin pπ(59)Функции Неймана, как и функции Ханкеля, суть целые функции параметра p.
Формула (59) справедлива, если p отлично от целого числа. Если p равно целому числу, то знаменатель формулы(59) обращается в нуль. Но, очевидно, и числитель будет равен нулюв силу соотношения (8). Таким образом, чтобы получить значениедроби (59) при целом p, мы должны будем просто раскрыть неопределенность, заменяя числитель и знаменатель их производными попараметру p и полагая затем p равным целому числу n:Nn (z) =∂Jp (z)∂pcos pπ − πJp (z) sin pπ −π cos pπ∂J−p (z)∂p.p=n149]§ 2. Функции Бесселя649Получаем, таким образом, следующее выражение функции Неймана с целым значком:∂J−p (z)1 ∂Jp (z)Nn (z) =− (−1)n.(60)π∂p∂pp=nПодставляя выражение (59) в формулы (53), получим формулывыражающие функции Ханкеля через функции Бесселя для случаянецелого p:⎫Jp (z)e−ipπ − J−p (z) ⎪Hp(1) (z) = i,⎪⎬sin pπ(61)Jp (z)eipπ − J−p (z) ⎪⎪(2)⎭Hp (z) = −i.sin pπИз этого соотношения непосредственно вытекает следующая зависимость между функциями Ханкеля, значок которых отличаетсялишь знаком:(1)H−p (z) = eipπ Hp(1) (z);(2)H−p (z) = e−ipπ Hp(2) (z).(62)Строго говоря, эта формула доказана нами в предположении,что p отлично от целого числа.
Но левая и правая части формулы(62) суть целые функции от p, и, следовательно, формула справедлива при любом p. Если p есть целое число, то числитель изнаменатель формул (61) обращаются в нуль. Раскрывая неопределенность, как и выше, можем получить формулу и для целогоp = n.Рассмотрим, наконец, тот случай, когда значок p имеет видp = (2m + 1)/2, где m — целое положительное число или нуль. Если мы подставим такое значение p в формулы (49), определяющиефункции Ханкеля, то под знаком интеграла будем иметь функцию,регулярную на всей плоскости, включая точки τ = ±1, и, следовательно, интегралы обратятся в нуль. Но при этом множительΓ(1/2 − p) обратится в бесконечность, и формулы (49) потеряютсмысл.
Вместо этих формул обратимся к разложениям из [114]. Вообще говоря, эти разложения были расходящимися, но формальноудовлетворяли уравнениям, как это мы показали раньше. В рассматриваемом случае они не только будут сходящимися, но простоГл. VI. Специальные функции650[149превратятся в конечные суммы и дадут нам выражение функцииХанкеля в конечном виде. Рассмотрим, например, первую функциюХанкеля со значком p = (2m + 1)/2:(1)H 2m+1 (z) =2(m+1)π k∞ 2 ei(z− 2 ) miΓ(m + 1 + k)πz Γ(m + 1)k2zk=0или(1)H 2m+1 (z) =2(m+1)π k∞2 ei(z− 2 ) m(m − 1) .
. . (m − k + 1)i(m + k)!.=πzm!k!2zk=0Отсюда непосредственно видно, что все слагаемые, соответствующие k m + 1, обратятся в нуль, и мы будем иметь следующеепредставление функции Ханкеля:(1)H 2m+1 (z) =22 ei(z− 2πzm!(m+1)π k∞ )im(m + k)!.k2z(63)k=0Точно так же для второй функции Ханкеля будем иметь конечное представление в виде(2)H 2m+1 (z) =22 e−i(z−πzm!(m+1)π2∞ )mk=0kki(m + k)! −.2z(64)Формулы (59), (61) и (62) остаются справедливыми и для значков p = (2m + 1)/2. Заметим, что можно принять формулы (61) заопределение функции Ханкеля при p = (2m + 1)/2; принимая вовнимание (19) и (21), получим(1)H 2m+1 (z) =2i=sin m + 12 πcos z2 2m+1 dmm −i(m+ 12 )π sin zz 2−(−1)eπ(z dz)mzz149]§ 2.
Функции Бесселяили(1)H 2m+1 (z) = (−1) im22 2m+1 dmz 2π(z dz)m651−i sin z − cos z,zтак что окончательно можно написать iz 2 2m+1 dme(1)m+1z 2H 2m+1 (z) = (−1)iπ(z dz)m z2(65)и совершенно аналогично(2)H 2m+1 (z) = (−1) im22 2m+1 dmz 2π(z dz)me−iz.z(66)Отсюда можно получить, между прочим, и разложения (63) и(64). При p = 1/2, пользуясь (61), а также выражениями22J 12 (z) =sin z; J− 12 (z) =cos z,πzπzполучаем(1)H 1 (z) = −i22 ize ;πz(2)H 1 (z) = i22 −ize .πzДля функций Ханкеля можно легко доказать ряд соотношений,аналогичных тем, которые мы имели выше для функций Бесселя.Приведем некоторые из них:dm(z dz)mdm(z dz)m(1)Hp (z)zp(2)Hp (z)zp(1)= (−1)mHp+m (z);z p+m= (−1)mHp+m (z),z p+m2p (1)(1)(1)H (z) = Hp−1 (z) + Hp+1 (z);z p(2)2p (2)(2)(2)H (z) = Hp−1 (z) + Hp+1 (z).z pЗаметим, что из определения Jp (z) следует, что Jp (z) и Np (z)(1)(2)вещественны, а Hp (z) и Hp (z) суть мнимые сопряженные привещественных p и z.652Гл.
VI. Специальные функции[150150. Разложение функций Неймана с целым значком. При целомзначке решения Jn (z) и J−n (z) будут линейно зависимыми, и за второе линейно независимое решение мы можем взять Nn (z). Представляет интерес поэтомувывести разложение для этого решения, справедливое на всей плоскости. Согласно общей теории Фукса, это разложение должно, кроме целых степеней z,содержать еще ln z.Предварительно выясним некоторые формулы, относящиеся к функцииΓ(z).
Мы имели для этой функции следующее бесконечное произведение Вейерштрасса:∞ 1z −z1+= eCz ze k (C = 0, 57 . . .),Γ(z)kk=1где C — постоянная Эйлера. Как известно [68], мы можем написать логарифмическую производную для этого произведения по тем же правилам, что и дляконечного произведения. Отсюда∞ Γ (z)111−= +C +−;Γ(z)zz+kkk=1полагая z = n, где n — некоторое целое положительное число, получим∞ 11Γ (n)1=− −C −−=Γ(n)nz+kkk=1 1111111=− −C+−+−+−+ ...n1n+12n+23n+3илиΓ (n)11=++ . . .
+ 1 − C (n = 2, 3, . . .).Γ(n)n−1n−2Далее имеем Γ(n) = (n − 1)! и, следовательно,Γ (t)11d 11=− 2=−++ . . . + 1 − C (t = 2, 3, . . .), (67)dt Γ(t)Γ (t)(t − 1)! t − 1t−2и при t = 1 получим Γ(1) = 1 и Γ (1) = −C, а потомуd 1=Cdt Γ(t)(t = 1).(68)Займемся теперь тем случаем, когда t равно целому отрицательному числуили нулю. Мы знаем, что Γ(z) имеет в точке z = −n полюс первого порядка сnвычетом (−1), т. е. мы имеем вблизи этой точки разложениеn!Γ(z) =или(−1)n+ α0 + α1 (z + n) + . .
.n!(z + n)z+n1= (−1)n n!.Γ(z)1 + β1 (z + n) + β2 (z + n)2 . . .151]§ 2. Функции БесселяОтсюда при помощи простого дифференцирования находимd 1 = (−1)n n! (n = 0, 1, 2, . . .).dt Γ(t) t=−n653(69)Обратимся теперь к нахождению разложения решения Nn (z), определяемого формулой (60). Мы имеем ±p ∞(−1)k z 2k1zJ±p (z) =2k!2Γ(±p+k + 1)k=0и, дифференцируя по параметру p, получим p ∞z∂Jp (z)(−1)k z 2k d 1z= ln Jp (z) +,∂p22k!2dt Γ(t) t=p+k+1k=0 −p ∞z(−1)k z 2k d 1∂J−p (z)z= − ln J−p (z) −.∂p22k!2dt Γ(t) t=−p+k+1k=0Мы должны положить затем p = n, причем будем иметь n ∞z∂Jp (z) (−1)k z 2k d 1z= ln Jn (z) +∂p p=n22k!2dt Γ(t) t=n+k+1k=0и −n ∞z(−1)k z 2k d 1∂J−p (z) z= − ln J−n (z) −.∂p22k!2dt Γ(t) t=−n+k+1p=nk=0Подставляя в формулу (60) и пользуясь формулами (67) и (69), получимокончательно при n 1 −n n−1 (n − k − 1)! z 2kzzπNn (z) = 2Jn (z) ln + C −−22k!2k=1 n n 2k∞11 1(−1)kzzz−++ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
