1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Направления, при движении вдоль которых вещественная частьRef (w) уменьшается помечены стрелками.В качестве C1 и C2 (в формулах(87)) можно взять соответственно контуры, идущие вдоль вещественной оси из−∞ до точки α и далее по стационарному пути в точку +∞ + πi или −∞ − πi(рис. 76). При p → +∞ главный вкладв интегралы (87) дает интегрирование поРис. 76.окрестности точки −α.
Таким образом,асимптотические разложения первой и второй функций Ханкеля отличаются только знаком. Для получения асимптотики функции Бесселя Jp (z) (p/z =ξ > 1; p → +∞) контур C0 (в формуле (84)) можно деформировать в стационарный контур, идущий из +∞ − πi в точку α и далее в +∞ + πi (рис. 76).Главный вклад в интеграл (84) при p → +∞ дает интегрирование по окрестности точки α.Применяя основную формулу из [79], получим √√21i22(1)Hp (z) = −,(102)ez[ξ ln(ξ+ ξ −1)− ξ −1] 1 + O4πzpξ2 − 1 √√21i(2)z[ξ ln(ξ+ ξ2 −1)− ξ2 −1]Hp (z) =1+O,(103)eπz 4 ξ 2 − 1pГл. VI. Специальные функции662Jp (z) =12 √√211−z[ξ ln(ξ+ ξ2 −1)− ξ2 −1]1+Oeπz 4 ξ 2 − 1pp4ξ= ,ξ 2 − 1 > 0,ξ2 − 1 > 0 .z[153(104)Через O(1/p) в формулах (102), (103), (104) обозначены функции z и p, допускающие при ξ = p/z > 1 и p → ∞ оценку O 1 C .(105)p pТщательное проведение оценок метода скорейшего спуска показывает, что постоянную C здесь можно выбрать не зависящей ни от z, ни от p на полуосиξ 1 + ε (ε > 0 — произвольное фиксированное число).При переходе ξ с отрезка 0 ξ < 1 на полуось ξ > 1 характер асимптотикифункций Бесселя и Ханкеля существенно меняется.
При 0 ξ < 1, z → +∞ этифункции осциллируют, при ξ > 1, z → +∞ функция Бесселя экспоненциальноубывает, функции Ханкеля экспоненциально растут.3. С л у ч а й 1 − ε ξ 1 + ε.Пусть ξ, возрастая, пробегает отрезок 1 − ε ξ 1 + ε. Как следует изпредыдущего, две стационарные точки при 1 − ε ξ < 1, w = ±i arccos ξфункцииf (w) = sh w − ξwбудут при возрастании ξ двигаться к началу координат и сольются в одну точкуw = 0 при ξ = 1. Дальше при возрастании ξ седловые точки опять расходятся от начала координат,двигаясь уже и по вещественной оси влево и вправо(w = ± ln(ξ + ξ 2 − 1), ξ > 1).(1)Точка ξ = 1 — точка смены форм асимптотик.
Поведение функций Hp (z),(2)Hp (z),Jp (z) при p/z = ξ, меняющемся в окрестности точки ξ = 1, удаетсяописать с помощью функций Эйри [118], а именно: для любых целых m1 , m2 >0 имеют место формулы* 2+1 −1w1 z 3 t(ξ) mcm (ξ)1+=+O1z 2mz 2m1−iz 3m=0* 2+2 −1w1 z 3 t(ξ) mdm (ξ)1+,+O4z 2mz 2m2−iz 3m=0* 2+1 −1w2 z 3 t(ξ) mcm (ξ)1(2)Hp (z) =++O1z 2mz 2m1iz 3m=0* 2+2 −1w2 z 3 t(ξ) mdm (ξ)1+,+O42m2mzz 2iz 3m=0(1)Hp (z)(106)(107)154]§ 2. Функции Бесселя* 2+1 −1v z 3 t(ξ) mcm (ξ)1+Jp (z) =+ O 2m12mzz 1z3m=0* 2+2 −1v z 3 t(ξ) mdm (ξ)1+.+O42m2mzz 2z3m=0663(108)Здесь t, cm и dm (m = 0, 1, 2, .
. .) — функции ξ, не зависящие от m1 и m2 ,регулярные и вещественные при ξ > 0, причемp 2 3, t 2 (ξ) = ξ ln(ξ + ξ 2 − 1) − ξ 2 − 1,z 3√3t(ξ) = 2(ξ − 1) + O((ξ − 1)2 ) (ξ → 1), 142t(ξ)c0 (ξ) =, c0 (ξ) > 0.π ξ2 − 1ξ=Через O (1/z 2m1 ) и O (1/z 2m2 ) обозначены функции от p и z, допускающиеоценки 11O cm1 , O cm2 .2m2m2m112zzzz 2m2На любом интервале 1−ε ξ 1+ε (0 < ε < 1, ε фиксировано) постоянныеcm1 и cm2 можно выбрать не зависящими ни от z, ни от ξ.Для функций cm (ξ), dm (ξ) получены рекуррентные соотношения позволяющие в принципе найти в явном виде эти функции при любом целом m.Вывод формул (106), (107) довольно сложен. Он требует распространенияклассического метода скорейшего спуска на тот случай, когда у «фазовой»функции две стационарные точки близки (в нашем случае, как мы отмечали,при ξ → 1 две стационарные точки стремятся к точке w = 0).С этой модификацией метода скорейшего спуска и выводом формул (106),(107) можно познакомиться по статье C.
C h e s t e r, В. F r i e d m a n, F. U r s e l l(Proc. Cambr. Philos. Soc. 1957, v. 53, N 3, 599, 611).Равномерные асимптотические формулы для функций Бесселя и Ханкелявпервые были получены акад. В. А. Ф о к о м в 1934 г. (ДАН, т. 1 № 3, 97–99).Изложение настоящего пункта принадлежит В. М. Бабичу.154. Функции Бесселя и уравнение Лапласа. УравнениеБесселя встречается весьма часто при решении задач математической физики. Мы не можем за недостатком места рассматриватьсколько-нибудь полно применение функций Бесселя и ограничимся лишь основными фактами, устанавливающими связь уравненияБесселя с основными уравнениями математической физики.Начнем с уравнения Лапласа. Мы исследовали раньше уравнение Лапласа в сферических координатах и пришли, таким образом,Гл.
VI. Специальные функции664[154к сферическим функциям. Точно так же, написав уравнение Лапласа в цилиндрических координатах и применяя метод разделенияпеременных, мы придем к функциям Бесселя.Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах имеет вид∂∂U1 ∂2U∂2Uρ++ρ= 0.∂ρ∂ρρ ∂ϕ2∂z 2Будем искать решение этого уравнения в виде произведениятрех функций: одной — только от ρ, второй — от ϕ и третьей —от z:U = R(ρ)Φ(ϕ)Z(z).Подставляя в уравнение и разделяя переменные, получим!"dR(ρ)dd2 Φ(ϕ)d2 Z(z)ρdρdρ1 dϕ22++ p dz= 0.R(ρ)ρ Φ(ϕ)Z(z)Каждая из двух последних написанных дробей должна равняться постоянной величине, так как независимая переменная ϕ входиттолько в первую из этих дробей, а z — только во вторую.
Приравнивая вторую из дробей постоянной (−p2 ) и третью — постояннойk 2 , получим следующие три уравнения:Φ (ϕ) + p2 Φ(ϕ) = 0, Z (z) − k 2 Z(z) = 0,dp2[ρR (ρ)] − R(ρ) + k 2 ρR(ρ) = 0dρρили1 p22R (ρ) + R (ρ) + k − 2 R(ρ) = 0.ρρБудем пока считать постоянные ρ и k отличными от нуля. Первые два уравнения дают намΦ(ϕ) = e±ipϕcos pϕили Φ(ϕ) = sin pϕ ,Z(z) = e±kz .154]§ 2. Функции Бесселя665Наконец, третье уравнение дает Zp (kρ), где Zp (z) есть любоерешение уравнения Бесселя с параметром p. Если хотим иметь решение однозначное, то постоянную p мы должны считать целымчислом n.Получим, таким образом, решения уравнения Лапласа следующего вида:cos nϕe±kz sin nϕ [C1 Jn (kρ) + C2 Nn (kρ)],(109)где n — любое целое число и постоянная k может иметь любое значение.Если k = 0, то мы должны вместо Z(z) = e±kz считать Z(z) = 1,или Z(z) = z, и уравнение для R(ρ) даст нам R(ρ) = ρ±ρ .
Наконец,при p = 0 надо считать Φ(ϕ) = A + Bϕ и при p = k = 0 надосчитать R(ρ) = C + D lg ρ. При n = 0 формула (129) дает намрешения следующего вида:e±kz [C1 J0 (kρ) + C2 N0 (kρ)],(110)не зависящие от угла ϕ. Такие решения играют существенную рольпри рассмотрении потенциала масс, имеющих осевую симметрию.Если мы хотим получить решение, конечное при ρ = 0, то в формуле (110) должны положить постоянную C2 равной нулю, и будемиметь решения видаe±kz J0 (kρ).(111)Из решений уравнения Лапласа такого типа может быть получено решение1/r, являющееся основным в теории ньютоновского потенциала, а именно имеетместо формула∞11(z > 0),(112)e−kz J0 (kρ)dk = =rρ2 + z 20имеющая многочисленное применение в теории потенциала.
Чтобы доказатьэту формулу, обратимся к формуле (42), которая даст намe−kz J0 (kρ) =12ππe−kz−ikρ sin ϕ dϕ,−πоткуда, интегрируя по k, получим∞π −kz−ikρ sin ϕ k=∞1ee−kz J0 (kρ)dk =dϕ2π−z − iρ sin ϕ k=00−πГл. VI. Специальные функции666[155или, подставляя пределы,∞e−kz J0 (kρ) dk =012ππ−π1dϕ.z + iρ sin ϕПоследний интеграл легко вычисляется методом, указанным в [57], откудаи вытекает непосредственно формула (112).Если вместо постоянной k 2 ввести постоянную (−k 2 ), то e±kzперейдет в cos kz и sin kz, а Jp (kρ) и Np (kρ) могут быть замененына Ip (kρ) и Kp (kρ).155. Волновое уравнение в цилиндрических координатах. Рассмотрим теперь волновое уравнение∂2U= a2 ΔU,∂t2гдеΔU =(113)∂2U∂2U∂2U++,22∂x∂y∂z 2и будем искать его решение в виде произведенияU = e−iωt V (x, y, z).(114)Подставляя в уравнение (113), получаем для V уравнение видаΔV + k 2 V = 0,гдеk2 =ω2.a2(115)(116)Уравнение (115) называется иногда уравнением Гельмгольца.Если мы возьмем какое-нибудь его решение, подставим в формулу (114) и отделим вещественную часть, то она даст вещественноерешение волнового уравнения, которое в отношении зависимости отвремени представляет собою гармоническое колебание частоты ω.
Вотдельных случаях это решение может изображать стоячую волну,155]§ 2. Функции Бесселя667а в других случаях — распространяющуюся волну. Выясним сначала эти понятия на простейших случаях. Если взять, например, произведение e−iωt sin kx, то его вещественная часть cos ωt sin kx дастстоячую волну.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
