1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Точно так же произведение e−iωt cos kx дает тожестоячую волну. Если же взять произведение e−iωt eikx , то его вещественная часть cos (kx − ωt) даст синусоидальную волну, котораяраспространяется в направлении оси X со скоростью ω/k. При применении функций Бесселя роль cos kx и sin kx будут играть Jp (kρ)(1)(2)и Np (kρ), а роль eikx и e−ikx будут играть Hp (kρ) и Hp (kρ).Вернемся к уравнению (115) и напишем оператор Лапласа в цилиндрических координатах, считая пока, что V не зависит от z [II,131]:∂2V1 ∂2V1 ∂V+ 2++ k 2 V = 0.2∂ρρ ∂ρρ ∂ϕ2Мы уже интегрировали такое уравнение при помощи разделения переменных раньше и знаем, что его решения имеют видcos pϕZp (kρ) sin pϕ , где Zp (z) — любое решение уравнения Бесселя с параметром p.Считая p = n целым, получаем однозначные решения. Есливозьмем функцию Бесселя, то получим решенияcos pϕe−iωt Jn (kρ) sin pϕ ,вещественная часть которыхcos pϕcos ωtJn (kρ) sin pϕдает стоячую волну.
Если для решения возьмем первую функциюХанкеля, то, принимая во внимание асимптотическое выражениефункции Ханкеля при большом аргументе, будем иметь, ограничиваясь первыми членами, следующее асимптотическое представление:nππ2e−iωt Hp(1) (kρ) = ei(kρ− 2 − 4 −ωt)[1 + O(ρ−1 )],πkρт. е. на бесконечности мы имеем распространяющуюся волну, фаза которой уходит на бесконечность. Про такие решения будем668Гл. VI. Специальные функции[155говорить, что они удовлетворяют принципу излучения. Если жемы вместо множителя e−iωt взяли бы множитель eiωt , то должны были бы для того, чтобы удовлетворить принципу излучения, вкачестве второго множителя брать вторую функцию Ханкеля, таккак согласно асимптотическому выражению мы имеем следующееасимптотическое равенство:2i(ωt−kρ+ nπ+πiωt (2))24e Hn (kρ) = e[1 + O(ρ−1 )].πkρРассмотрим теперь общий случай, когда функция V зависит иот координаты z.
Уравнение (115) будет при этом иметь вид [II,131]1 ∂∂V1 ∂2V∂2Vρ+ 2++ k 2 V = 0.ρ ∂ρ∂ρρ ∂ϕ2∂z 2Ищем его решение в видеV = R(ρ)Φ(ϕ)Z(z).Применяя обычный метод разделения переменных, найдем решение уравненияcos pϕZp ( k 2 − h2 ρ)e±ihz sin pϕ ,(117)где Zp (z) — любое решение уравнения Бесселя. Полагая k 2 − h2 =λ2 и рассматривая случай однозначных решений (p = n — целомуположительному числу), мы будем иметь следующие решения:Jn (λρ)eи√Hn(1) (λρ)eλ2 −k2 ·z cos nϕ(118)sin nϕ√λ2 −k2 ·z cos nϕsin nϕ.(119)Первое из этих решений остается конечным при ρ = 0 и даетстоячую волну. Второе решение удовлетворяет принципу излучения. Решениями первого типа обычно пользуются в том случае,когда область, в которой происходят колебания, есть внутренняя155]§ 2. Функции Бесселя669часть цилиндра, содержащая ось ρ = 0.
Решения второго типа применяются для части пространства, находящегося вне цилиндра. Взадачах дифракции приходится часто пользоваться и многозначными решениями, для которых p не есть целое число.Рассмотрим одну задачу частного вида. Уравнение (115) имеет очевидноерешение eikx = eikρ cos ϕ . Умножая его на e−iωt , получим решение ei(kx−ωt) , которое представляет собой элементарную плоскую волну, распространяющуюсявдоль оси X. Положим, что эта плоская волна имеет место не во всем безграничном пространстве, но лишь вне цилиндра ρ = a, причем на этом цилиндредолжно быть выполнено предельное условие:V =0(приρ = a).Чтобы удовлетворить этому предельному условию, мы должны добавить к решению eikx уравнения (115) еще некоторое другое решение этого уравнения(добавочное возмущение, получаемое в результате дифракции), причем это добавочное решение должно обязательно удовлетворить принципу излучения ибыть однозначным решением.
Принимая во внимание сказанное выше и независимость основного решения от z, мы будем искать это добавочное решение,пользуясь показательными функциями вместо тригонометрических, в виде линейной комбинации решений вида (119) при λ = k:+∞(1)an Hn (kρ)einϕ(ρ > a).(120)n=−∞Нам надо только определить коэффициенты an из предельного условия.Вспоминая формулу (37) и полагая там t = ieiϕ и z = kρ, мы можем написатьосновное заданное решение в видеeikx = eikρcos ϕ+∞=in Jn (kρ)einϕ .n=−∞В силу предельного условия мы должны иметь∞in Jn (ka)einϕ +n=−∞+∞(1)an Hn (ka)einϕ = 0,n=−∞и мы получаем для коэффициентов an следующие выражения:an = −inJn (ka)(1)Hn (ka).Окончательное решение задачи будет, следовательно, иметь форму:V = eikx −+∞n=−∞inJn (ka)(1)Hn (ka)(1)Hn (kρ)ein ϕ(ρ > a).(121)Гл.
VI. Специальные функции670[156Рассмотренная задача имеет применение в некоторых частных случаях дифракции электромагнитных волн относительно бесконечного проводящего цилиндра. Полученные ряды представляются практически удобными лишь в случае сравнительно большой длины волны.Представляется интересным сравнить решение задачи о дифракции элементарной плоской волны с решением задачи о колебании круглой мембраны[II, 182]. Отметим прежде всего, что в рассмотренной только что задаче о дифракции плоской волны число k является данным (оно определяется частотойпадающей волны ω), тогда как в задаче колебания мембраны оно определялось из предельных условий. В задаче дифракции коэффициенты разложенияопределяются из предельного условия, а в задаче колебания мембраны коэффициенты разложения определялись из начального условия, т.
е. из картиныколебаний при t = 0. В задаче дифракции мы вовсе не имеем начального условия, так как мы рассматриваем не общую задачу дифракции любого начального возмущения, но лишь установившийся синусоидальный режим в отношениивремени с заданной частотой ω.156. Волновое уравнение в сферических координатах.Рассмотрим теперь уравнение (115) в сферических координатах.Оно будет иметь вид∂2V12 ∂V+ 2 Δ1 V + k 2 V = 0.+∂r2r ∂rrИщем его решение в обычной форме:V = f (r)Y (θ, ϕ).(122)Подставляя в уравнение и разделяя переменные, получим1 Δ1 Y (θ, ϕ)f (r) 2 f (r)++ 2+ k 2 = 0,f (r)r f (r)r Y (θ, ϕ)где Δ1 Y определяется формулой (71) из [136].
Мы приходим, такимобразом, к двум уравнениям следующего вида:иΔ1 Y + λY = 0(123)2 λ2f (r) + f (r) + k − 2 f (r) = 0.rr(124)156]§ 2. Функции Бесселя671Уравнение (123) совпадает с тем, которое мы имели при изучении сферических функций. Считая решение однозначным и непрерывным получаем для постоянной λ следующие возможные значенияλn = n(n + 1) (n = 0, 1, 2, . . .),и им будут соответствовать решения уравнения (123), представляющие собою обычные сферические функции Yn (θ, ϕ). Уравнение(124) переписывается в виде2 n(n + 1)2fn (r) + fn (r) + k −fn (r) = 0.(125)rr2Введем вместо f (r) новую искомую функцию R(r) по формуле1fn (r) = √ Rn (r).rПодставляя в уравнение (125), мы получим для Rn (r) уравнениевида2 n + 121Rn (r) = 0,Rn (r) + Rn (r) + k 2 −rr2и, таким образом, Rn (r) есть Zn+ 12 (kr), где Zn+ 12 (r) есть решениеуравнения Бесселя с параметром p = n + 12 , и согласно (122) мыимеемZn+ 12 (kr)√V =Yn (θ, ϕ) (n = 0, 1, 2, .
. .).(126)rЗаметим, что мы имеем здесь как раз тот случай уравненияБесселя, когда его решения выражаются в конечном виде через элементарные функции. Выбор решения Zn+1/2 (kr) определяется, каки в предыдущем номере, физическими условиями задачи.
Обычновводят в рассмотрение следующие три функции:⎫π (1)π (2)(1)(2)ζn (ρ) =Hn+ 1 (ρ), ζn (ρ) =Hn+ 1 (ρ),⎪⎪⎬222ρ2ρ(127)⎪π1 (1)⎪(2)⎭J 1 (ρ) = [ζn (ρ) + ζn (ρ)],ψn (ρ) =2ρ n+ 22Гл. VI. Специальные функции672[156причем постоянный множитель π/2 добавлен для удобства вычислений. В частности, при n = 0 мы получаем согласно [149](1)ζ0 (ρ) = −ieiρ (2)e−iρsin ρ, ζ0 = i, ψ0 (ρ) =.ρρρТе частные решения, которые не зависят от ϕ, имеют видZn+ 12 (kr)√Pn (cos θ),rи при n = 0 имеем1Z 2 (kr)√.rЧтобы получить решения основного уравнения (113), мы должны еще помножить решения (126) на e±iωt или, что то же, наcos ωt и sin ωt, где ω и k связаны соотношением (116). Если применим к уравнению (113) обычное разделение переменных, полагаяU = T (t)V (x, y, z), то для V получим уравнение (115), а для T (t)будем иметьT (t) + a2 k 2 T (t) = 0(a2 k 2 = ω 2 ),что и дает нам указанные выше функции, зависящие от t.
Нодо сих пор мы считали, что k (или ω) отлично от нуля. Еслиk = 0, то мы должны брать T (t) = A + Bt и для V получаем простоуравнение Лапласа ΔV = 0. Это приводит нас, таким образом, ещек решениям вида(A + Bt)rn Yn (θ, ϕ),(128)которые надо присоединить к решениям (126).Здесь, как и в предыдущем случае цилиндрических координат, можно провести до конца решение задачи относительно колебаний внутри сферы при заданных предельных и начальных условиях, а также задачу дифракции плоскойволны относительно сферы.Положим сначала, что требуется найти решение волнового уравнения∂2U= a2 ΔU,∂t2(129)156]§ 2. Функции Бесселя673удовлетворяющее начальным условиям∂U = f1 (r, θ, ϕ),= f2 (r, θ, ϕ), (r < a)U ∂t t=0t=0(130)и предельному условию∂U = 0.(131)∂r r=aОбращаясь к решениям (126) и принимая во внимание требования конечности решения при r = 0, берем Zn+1/2 (kr) равным Jn+1/2 (kr) и определяемпри заданном n числа k из предельного условияd Jn+ 12 (kr) = 0 или Jn+ 1 (ka) − 2kaJn+(132)√1 (ka) = 0.2drr2r=0В дальнейшем обозначим положительные корни этого уравнения через(n)km(m = 0, 1, 2, .
. .).Кроме того, решения (128) удовлетворяют предельному условию (131) приn = 0. Согласно методу Фурье мы должны искать решение нашей задачи ввиде(n)Jn+ 1 (km r)2.√rn=0 m=0(133)(1)(2)Остается определить еще сферические функции Yn (θ, ϕ) и Yn (θ, ϕ) порядка n из начальных условий (130). Заметим при этом, что уравнение (132)имеет как раз ту форму, которую мы рассматривали в [151], и мы сможемопределить упомянутые сферические функции, пользуясь ортогональностьюфункций Бесселя. Более подробно мы не будем этого выяснять.Обратимся теперь к задаче дифракции элементарной плоской волны, определяемой решением ei(kz−ωt) уравнения (129), относительно сферы r = a припредельном условииU |r=a = 0.U = A + Bt + +∞ ∞(1)(n)(2)(n)[Yn (θ, ϕ) cos akm t + Yn (θ, ϕ) sin akm t]В данном случае мы взяли волну, распространяющуюся вдоль оси Z.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
