1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 103
Текст из файла (страница 103)
+ 1 −×2n! nn−12k!(n+k)!2k=11111×++ ... + 1 + ++ ... + 1n+kn+k−1kk−1(70)и для n = 0 ∞1z(−1)k z 2k 1++...+1. (71)πN0 (z) = 2J0 (z) ln + C − 22(k!)2 2kk−1k=1151. Случай чисто мнимого аргумента. Если Zp (z) естьнекоторое решение уравнения Бесселя, то, как мы знаем, Zp (kz)Гл. VI. Специальные функции654является решением уравнения [II, 49]d2 w1 dwp22+kw = 0.+−dz 2z dzz2[151(72)Полагая здесь k = i, мы видим, что функция Zp (iz) есть решение уравненияd2 wp21 dw− 1 + 2 w = 0.(73)+dz 2z dzzВозьмем сначала Zp (z) равной Jp (z):Jp (iz) =∞k=0 p+2k p+2k∞(−1)k ip i2k1zz= ip.k!Γ(p + k + 1) 2k!Γ(p + k + 1) 2k=0Чтобы получить решение уравнения (73), вещественное при вещественном p и z > 0, умножим написанное решение на постоян1ную i−p = e− 2 pπi . Таким образом мы получим следующее решениеуравнения (73):1Ip (z) = e− 2 pπi Jp (iz) =∞k=0 p+2k1z.k!Γ(p + k + 1) 2(74)Функция I−p (z) также является решением уравнения (73), и если p отлично от целого числа, то Ip (z) и I−p (z) суть два линейнонезависимых решения уравнения (73).Если мы теперь возьмем Zp (z) равной первой функции Ханке(1)ля Hp (z), то, добавляя еще некоторый постоянный множитель,придем к следующему решению уравнения (73):Kp (z) =11πie 2 pπi Hp(1) (iz).2(75)Принимая во внимание (62), можно переписать эту формулуследующим образом:Kp (z) =11(1)πie− 2 pπi H−p (iz).2(76)151]§ 2.
Функции Бесселя655Пользуясь первой из формул (61), мы можем выразить Kp (z)через I±p (z). Действительно, эта формула дает1 1 Jp (iz)e−ipπ − J−p (iz)Kp (z) = − πe 2 pπi2sin pπили, пользуясь (74),111 1 Ip (z)e− 2 pπi − I−p (z)e− 2 pπi,Kp (z) = − πe 2 pπi2sin pπи окончательноKp (z) =1 I−p (z) − Ip (z)π.2sin pπ(77)Функции Ip (z) и Kp (z) удовлетворяют соотношениям, аналогичным тем, которые мы в [145] вывели для Jp (z).Пользуясь определением (74) и свойством J−n (z) = (−1)n Jn (z)функций Бесселя с целым значком, нетрудно показать, чтоI−n (z) = In (z).(78)Выражение функции Kn (z) с целым значком можно получить из(77), переходя к пределу при p → n и раскрывая неопределенность:(−1)n ∂I−p (z) ∂Ip (z)Kn (z) =−.(79)2∂p∂p p=nКак мы упоминали в [111], асимптотическая формулаπ2 i(z− pπ(1)2 − 4 ) [1 + O(z −1 )]eHp (z) =πzсправедлива при −π + ε < arg z < π − ε, а потому можно вместо zподставить iz, считая z вещественным положительным и arg (iz) =π/2.
Применяя формулу (75), получим асимптотическое выражениеKp (z) при z > 0:π12 − π i i(iz− pπ1pπi2 − 4 ) [1 + O(z −1 )],e 4 eKp (z) = πie 22πzГл. VI. Специальные функции656илиKp (z) =π −ze [1 + O(z −1 )] (z > 0),2z[152(80)т. е. функция Kp (z) убывает по показательному закону приz → +∞.Уравнение (73) часто встречается в математической физике, ипри этом решение Kp (z) с упомянутым законом убывания имеетбольшое значение в приложениях к физическим задачам.Иногда символом Kp (z) обозначают функцию, которая в приведенных нами обозначениях равна cos pπKp (z).Если в уравнении (72) заменить k на ik, то мы увидим, чтофункции Ip (kz) и Kp (kz) являются решениями уравненияd2 w1 dwp22−kw = 0.(81)++dz 2z dzz2Эти решения будут линейно независимыми так же, как Jp (z) идля уравнения Бесселя.Существуют в большом числе таблицы функций Бесселя.
Укажем, например, на книгу Кузьмина Р. О. «Бесселевы функции», вкоторой имеются и таблицы.(1)Hp (z)152. Новые интегральные представления. Для выяснения рядасвойств функций Бссселя удобно пользоваться интегральными представлениями, отличающимися от тех, которые мы вывели раньше. Эти представлениямогут быть получены или суперпозицией плоских волн∗ , или методом интегральных преобразований∗∗ , или, наконец, методом прямого преобразованиявведенных выше явных выражений для функций Бесселя.
Мы будем следо1вать третьему пути рассуждений. Подставим в формулу (7) вместо Γ(p+k+1)ее выражение через контурный интеграл [74], т. е.11=eτ τ −(p+k+1) dτ,Γ(p + k + 1)2πillгде — контур, охватывающий отрицательную часть вещественной оси. Мыполучим∗Ф. Франк, Р. Мизес. Уравнения математической физики, 1937.Р. Курант, Д. Гильберт. Методы математической физики, 1951.∗∗152]Jp (z) =§ 2. Функции Бесселя657 p+2k∞1 (−1)kzeτ τ −(p+k+1)dτ =2πi k=0 k!2l=12πieτ τ −(p+1)l p ∞(−1)k −k z 2kzτdτ.2k!2k=0Выполняя суммирование, найдем pz21zτ −(p+1) e− 4τ +τ dτ.Jp (z) =2πi2lБудем считать, что комплексное число z удовлетворяет условиюπ| arg z| < ,2(82)1zt.2Тогда мы получими сделаем замену переменных по формуле τ =1 z t− 11t−p−1 e 2 ( t ) dt,Jp (z) =2πi(83)lпричем в качестве пути интегрирования l можно взять прежний же петлеобразный контур l .
Формула (83) была указана Н. Я. Сониным (1870).Выберем в качестве l контур, состоящий из нижнего берега разрезапо отрицательной части вещественной оси, круга |t| = 1 и верхнего берега упомянутого разреза. Перейдемк новой переменной интегрированияпо формуле t = ew . Тогда путь интегрирования l перейдет в контур C0 ,изображенный на рис. 74, а функцияJp (z) представится следующим окончательным выражением:1Jp (z) =ez sh w−pw dw. (84)2πiC0Рис. 74.Заметим, что все участки контура C0 ,расположенные на конечном расстоянии от начала координат, можно деформировать любым образом.
Для получения дальнейших результатов удобно преобразовать интеграл (84). Это легкосделать, если считать, что C0 имеет вид, указанный на рис. 74 и положитьw = ϕ − πi.Пользуясь соотношением sh (ϕ+2πi) = sh ϕ, нетрудно получить следующуюформулу (ср. [147]):Jp (z) =1ππcos (pϕ − z sin ϕ) dϕ −0sin pππ∞0e−pϕ−zshϕ dϕ.(85)Гл. VI. Специальные функции658[153Построим теперь интегральные представления типа (84) для остальных цилиндрических функций.Если воспользоваться формулой (85), а также соотношением [149]Np (z) =Jp (z) cos pπ − J−p (z),sin pπто можно получить равенствоππNP (z) = ctg pπcos (pϕ − z sin ϕ) dϕ −0∞−1sin pππcos (pϕ + z sin ϕ) dϕ−0epϕ−z sh ϕ dϕ − cos pπ0∞e−pϕ−z sh ϕ dϕ0илиNp (z) =1ππ1πsin (z sin ϕ − pϕ) dϕ −0∞(epϕ + e−pϕ cos pπ)e−z sh ϕ dϕ.(86)0Последняя же формула, вместе с формулой (85), позволяет найти и интегральные представления для функций Ханкеля:(1)Hp (z) = Jp (z) + iNp (z),Мы получаем(2)Hp (z) = Jp (z) − iNp (z).⎫⎪ez shw−pw dw, ⎪⎪⎪⎪⎬C1⎪1(2)⎪ez sh w−pw dw,⎪Hp (z) = −⎪⎪πi⎭(1)Hp (z) =1πi(87)C2где C1 и C2 являются бесконечными контурами, соединяющими точку (−∞)соответственно с точками (∞, πi) и (∞, −πi).
Распространение формул (85) и(87) на случай произвольных значений z можно произвести методом аналитического продолжения.153. Асимптотические представления. Полученные интегральныепредставления (84) и (87) удобно применить для нахождения приближенныхвыражений цилиндрических функций в случае больших значений |z| или |p|.Обозначимp=ξ(88)zи введем в рассмотрение функциюf (w) = sh w − ξw.(89)153]§ 2.
Функции Бесселя659Тогда интегралы из формул (84) и (87) примут следующий вид:ezf (w) dw.(90)CνБудем считать, что p и z суть положительные вещественные числа и воспользуемся методом скорейшего спуска.Для проведения этого метода прежде всего необходимо выяснить положение седловых точек w0 , определяемых из условияf (w0 ) = ch w0 − ξ = 0,установить расположение контуровIm (sh w − ξw) = Im(sh w0 − ξw0 )и убедиться в том, что контуры C1 , C2 и C0 могут быть приведены к линиямнаибыстрейшего изменения функции (89).Мы рассмотрим все эти вопросы, причем будем различать три случая взависимости от значения числа ξ = p/z.1.
С л у ч а й 0 < ξ < 1; z → +∞.Седловые точки имеют значения ±βi, где cos β = ξ. Будем считать, что0 < β < π2 , и выясним расположение стационарных контуров.Рассмотрим вначале полуполосу 0 v π; u 0 (w = u + iv). В седловойточкеπξ = cos β 0 < β <; f (iβ) = i sin β; sin β > 0.(91)2Как следует из построений [79], направление стационарного контура, вдолькоторого Ref убывает (соответственно возрастает), определяется равенствомarg (w − βi) = π/4 (соответственно arg (w − βi) = −π/4).Уравнению стационарныхконтуровImf (w) = Imf (βi), проходящих через*π+стационарную точку βi 0 < β <, можно придать вид2(v − β) cos β + sin β,(92)chu =sin vоткудаsin v cos β − cos v sin β − (v − β) cos v cos βdu==dvsh u sin2 vvβ1=sinvvcosβ+γsinγdγdv.sh u sin2 vβ(93)0Таким образом, dv/du > 0 или < 0 в соответствии со знаком v − β.Из [92] следует, что при v → 0 и при v → π u → +∞.
Следовательно,стационарный контур, вдоль которого Re f (w) убывает, выходит из седловойточки w = βi под углом π/4 к вещественной оси и монотонно удаляется отнее (dv/du > 0), приближаясь к своей асимптоте v = π, u > 0 (при u → +∞,v → π). Стационарный контур, вдоль которого Re f (w) возрастает, выходитиз стационарной точки w = βi под углом arg (w − βi) = − π4 и при u → ∞приближается к вещественной оси v = 0, имея ее своей асимптотой.Гл.
VI. Специальные функции660[153Стационарные контуры в полосе−∞ < u < 0, 0 < v < π и в полосе−∞ < u < +∞, −π < v < 0 нетруднопостроить, зеркально отражая построенные нами контуры сначала от мнимой оси, потом от вещественной. Этолегко следует из четности по u левойчасти формулы Im f (w) − Im f (βi) = 0и уравнения(v + β) cos β − sin β(94)sin vстационарных контуров, проходящихчерез седловую точку −βi. На рис.
75стрелками на стационарных контурах указано направление убыванияRe f (w). В качестве контуров C1 и C2Рис. 75.в формулах (87) для функций Ханкеля можно взять стационарные контуры a и b (рис. 75).Применяя обычную схему метода скорейшего спуска к интегралам1(1)(1)Hp (z) = Hzξ (z) =ez(sh w−ξw) dw,(95)πich u =(a)(2)Hp (z)=(2)Hzξ (z)получим(1)Hp (z)=(2)ξ=0 < ξ < 1,ez(sh w−ξw)dw,(96)(b)Hp (z) =1=−πip;zπ √2 e− 4 i12,eiz[−ξ arccos ξ+ 1−ξ ] 1 + O4πzz1 − ξ2πi√21e42,eiz[ξ arccos ξ− 1−ξ ] 1 + O42πzz1−ξπ 0 < arccos ξ < ; 4 1 − ξ 2 > 0;1 − ξ2 > 0 .2(97)(98)Асимптотику функции Бесселя Jp (z) нетрудно найти, пользуясь формулойJp (z) =1(1)(2)(Hp (z) + Hp (z)).2Если в формулах (97) зафиксировать p = zξ, то они переходят в полученныенами уже асимптотические формулы (187) и (188) из [114].При ξ = 1 интегралы (95) и (96) тоже можно вычислить по методу перевала,однако при ξ = 1 в седловой точке w = 0, f (0) = f (0) = f (0), f (0) = 0 иформулы из [79] приходится применять уже в случае p = 3.153]§ 2.
Функции Бесселя661При ξ → 1 правые части формул (97), (98) стремятся к бесконечности и не(1)(2)переходят в асимптотические формулы для функций Hz (z) и Hz (z). Случай,когда ξ = p/z меняется в окрестности точки ξ = 1, будет далее специальнорассмотрен.Если проанализировать процесс оценки остатка при проведении метода скорейшего спуска [79], то нетрудно видеть, что функции O (1/z) в формулах (97)и (98) удовлетворяют неравенству O 1 C ,(99)z zгде C на любом интервале 0 < ξ 1 − ξ (0 < ε < 1, ε фиксировано) можно,выбрать не зависящей от ξ.2.
С л у ч а й ξ > 1, p → +∞. Седловые точки ±α (α > 0) находятся изравенства ch α = ξ. Уравнение стационарных контуров имеет видIm (sh w − ξw) = Im (sh α − α ch α) = 0(100)ch u sin v = v ch α.(101)илиch αОни распадаются на вещественную ось v = 0 и на кривую ch u = vsin, симvметричную относительно координатных осей и имеющую две ветви.Стационарные контуры изображенына рис. 76.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
