1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Функции Бесселя633Выражение, стоящее под знаком первого интеграла, представляет собою полную производную по z от разностиddJp (k1 z)dJp (k2 z)zJp (k2 z) − zJp (k1 z) ;dzdzdzможно, таким образом, написатьzz=ldJp (k1 z)dJp (k2 z)Jp (k2 z) − zJp (k1 z)+dzdzz=0+(k12−k22 )lzJp (k1 z)Jp (k2 z)dz = 0.0Но мы имеем, очевидно,dJp (kz)= kJp (kz),dzгде обозначаем вообщеJp (x) =dJp (x),dxи, следовательно, предыдущая формула может быть записанав виде[k1 zJp (k1 z)Jp (k2 z) − k2 zJp (k2 z)Jp (k1 z)]z=lz=0 ++ (k12 − k22 )lzJp (k1 z)Jp (k2 z)dz = 0. (22)0Напомним разложение бесселевой функцииJp (z) = z p∞k=0(−1)kz 2k.k!Γ(p + k + 1) 2p+2k(23)Отсюда в силу p 0 непосредственно вытекает, что внеинтегральный член обращается в нуль при z = 0, и мы приходим окончательно к следующей основной для дальнейшего формуле:634Гл.
VI. Специальные функции[146l[k1 Jp (k1 l)Jp (k2 l) − k2 Jp (k2 l)Jp (k1 l)]++(k12−k22 )lzJp (k1 z)Jp (k2 z)dz = 0. (24)0При l = 1 эта формула принимает видk1 Jp (k1 )Jp (k2 ) − k2 Jp (k2 )Jp (k1 )++ (k12 − k22 )lzJp (k1 z)Jp (k2 z)dz = 0. (25)0Мы предполагали при предыдущих вычислениях, что p 0.Нетрудно непосредственно проверить, что интегралы имеют смысл,и внеинтегральный член в формуле (22) обращается в нуль дляz = 0 и при более общем предположении p > −1.Покажем прежде всего, что функция Бесселя не может иметькомплексных корней. Положим сначала, что она имеет такой корень a + ib, причем a = 0.
Разложение (7) имеет все коэффициенты вещественными, и, следовательно, функция Jp (z), кроме корняa + ib, должна иметь и сопряженный корень a − ib. Обратимся кформуле (25) и положим k1 = a + ib и k2 = a − ib. При этом k12 = k22 ,и эта формула даст нам1zJp (k1 z)Jp (k2 z)dz = 0.0Величины Jp (k1 z) и Jp (k2 z) будут мнимыми сопряженными, следовательно, в предыдущей формуле под знаком интеграла стоит положительная величина, и эта формула не может иметь места. Остается теперь рассмотреть случай a = 0, т.
е. показать, что функцияJp (z) не может иметь и чисто мнимых корней ±ib. Действительно,подставляя в формулу (23), мы получим разложение, содержащееположительные члены:Jp (ib) = (ib)p∞k=01b2k.p+2kk!Γ(p + k + 1) 2146]§ 2. Функции Бесселя635Это обстоятельство непосредственно вытекает из того, что, согласно формуле (111) из [71], функция Γ(z) положительна приz > 0. Мы приходим, таким образом, к следующему результату:если p вещественно и p > −1, то функция Jp (z) имеет все корнивещественные. Заметим, кроме того, что из разложения (23), содержащего только четные степени, непосредственно вытекает, чтокорни Jp (z) будут попарно одинаковыми по абсолютной величинеи обратными по знаку, так что достаточно рассматривать только положительные корни.
В дальнейшем мы и будем подразумевать только такие корни. Напишем асимптотическое представлениефункций Бесселя [112]:* 3+2pππJp (z) =cos z −−+ O z− 2πz24или 2pπ πcos z −−+ O(z −1 ) .Jp (z) =πz24При беспредельном удалении z вдоль положительной части вещественной оси второе слагаемое в квадратных скобках стремитсяк нулю, а первое бесчисленное множество раз переходит от −1 к+1. Отсюда непосредственно вытекает, что функция Jp (z) имеетбесчисленное множество вещественных корней.Если z = k1 и z = k2 — два различных положительных корняуравненияJp (zl) = 0,(26)то формула (24) дает нам непосредственно следующее свойствоортогональности функции Бесселя:lzJp (k1 z)Jp (k2 z)dz = 0.(27)0Согласно теореме Ролля функция Jp (z) также должна иметьбесчисленное множество вещественных положительных корней, иесли мы обозначим теперь через k1 и k2 два различных положительных корня, уравненияJp (zl) = 0,(28)636Гл.
VI. Специальные функции[146то в силу (24) будем иметь точно такие же условия ортогональности(27).Рассмотрим теперь уравнение более общее, чем написанное выше, а именно уравнение видаαJp (zl) + βzJp (zl) = 0,(29)где α и β — заданные вещественные числа. Пусть z = k1 и z = k2 —два различных корня уравнения (29), т. е.αJp (k1 l) + βk1 Jp (k1 l) = 0,αJp (k2 l) + βk2 Jp (k2 l) = 0.Отсюда непосредственно следуетk1 Jp (k1 l)Jp (k2 l) − k2 Jp (k2 l)Jp (k1 l) = 0,а следовательно, и в этом случае внеинтегральный член в формуле (24) обращается в нуль, и мы имеем по-прежнему условияортогональности (27).
Частным случаем уравнения (29) являются,очевидно, уравнения (26) и (28). Из условия ортогональности, каки выше, непосредственно вытекает, что уравнение (29) не можетиметь комплексных корней a + ib, где a = 0.Кроме того, так же как и выше, можно показать, что уравнение(29) не имеет и чисто мнимых корней, если только α > 0 и β > 0.Напомним два известных нам соотношения:d Jp (z)Jp+1 (z)=−,dz z pzpd p+1[zJp+1 (z)] = z p+1 Jp (z).dz(30)Первое из них в силу теоремы Ролля показывает, что междудвумя последовательными корнями Jp (z) лежит по крайней мереодин корень Jp+1 (z).
Второе соотношение показывает, что междудвумя последовательными корнями Jp+1 (z) лежит по крайней мереодин корень Jp (z). Сопоставляя это, непосредственно убеждаемсяв том, что положительные корни Jp (z) и Jp+1 (z) разделяют другдруга, т. е. что между двумя последовательными положительными корнями Jp (z) находится один и только один корень Jp+1 (z),и наоборот.146]§ 2. Функции Бесселя637Пусть a и b — наименьшие положительные корни Jp (z) и Jp+1 (z).Принимая во внимание, что z p+1 Jp−1 (z) имеет корень z = 0 и применяя ко второй из формул (30) теорему Ролля, мы видим, чтоJp (z) должна иметь корень внутри промежутка (0, b), т. е.
a < b.Таким образом, мы видим, что наименьший положительныйкорень функции Jp (z) будет ближе к началу, чем у Jp+1 (z). Заметим, кроме того, что функция z −p Jp (z) есть решение уравнения[110]d2 ydy+ zy = 0,z 2 + (2p + 1)dzdzdи, следовательно, функции z −p Jp (z) и dz[z −p Jp (z)] не могут иметьобщих положительных корней [107]. Следовательно, то же самоеможно сказать в силу (30) и относительно функций Jp (z) и Jp+1 (z).Свойство ортогональности функций Бесселя играет важнуюроль при разложении заданной функции по функциям Бесселя, какэто имело место, например, в задаче колебания круглой мембраны.При этом представляется существенным уметь также вычислять интегралы видаlzJp2 (kz)dz,0где z = k есть корень уравнения вида (29). Рассмотрим тот случай,когда k есть просто корень уравнения (26).
Возьмем формулу (24),в которой мы положим k2 = k и k1 будем считать переменным истремящимся к k. Формула даст намl(k1 + k)zJp (k1 z)Jp (kz)dz =0lkJp (kl)Jp (k1 l).k1 − kПри k1 → k не только знаменатель дроби, но и числитель обратятся в нуль, так как Jp (k1 l) будет стремиться к Jp (kl) = 0. Раскрывая неопределенность по обычному правилу, получим в пределеl2k0zJp2 (kz)dz = l2 kJp2 (kl)Гл. VI. Специальные функции638илиlzJp2 (kz)dz =0l2 2J (kl).2 p[147(31)Возьмем известное нам соотношениеd Jp (z)Jp+1 (z)=−dz z pzpи положим здесь z = kl.
При этом получитсяJp (kl) = −Jp+1 (kl),так что предыдущую формулу можно записать еще следующим образом:ll2 2zJp2 (kz)dz = Jp+1(kl).(32)20Совершенно аналогично мы получаем для того случая, когдаz = k есть корень уравнения (28):l0Но мы имеемJp (kl)zJp2 (kz)dz = −l2 J (kl)Jp (kl).2 p(33)1 p2+ Jp (kl) + 1 − 2 2 Jp (kl) = 0klk lи, пользуясь равенством Jp (kl) = 0, можем переписать формулу(33) в видеl1 2 p2l − 2 Jp2 (kl).zJp2 (kz)dz =(34)2k0147. Производящая функция и интегральное представление. Рассмотрим аналитическую функцию комплексного переменного t11e 2 z(t− t ) .(35)147]§ 2. Функции Бесселя639Она имеет существенно особые точки t = 0 и t = ∞ и разлагается, следовательно, в ряд Лорана на всей плоскости комплексного переменного t, причем коэффициенты этого разложения будутфункциями параметра z, входящего в выражение (35):+∞e 2 z(t− t ) =11an (z)tn .(36)n=−∞Покажем теперь, что эти коэффициенты и будут функциями Бессселя Jn (z).
Действительно, мы имеем для коэффициентовразложения (36) следующее представление контурным интегралом[15]:111an (z) =u−n−1 e 2 z(u− u ) du,2πil0где l0 — любой простой замкнутый контур, обходящий вокруг начала в положительном направлении. Введем вместо u новую переменную интегрирования t по формуле u = 2t/z, где z — некотороефиксированное значение, отличное от нуля. Точке u = 0 соответствует t = 0 и контур l0 перейдет на плоскости t также в некоторыйконтур, обходящий вокруг начала в положительном направлении.Совершая замену переменных, получим следующее выражение длякоэффициентов: n z21 zan (z) =t−n−1 et− 4t dt.2πi 2l0На контуре l0 мы можем представить показательную функцию в виде степенного ряда, равномерно сходящегося по отношению к t:∞z2(−1)k z 2ke− 4t =.k! 22k tkk=0Подставляя это в предыдущую формулу, получим n+2k ∞1 (−1)k zt−n−k−1 et dt.an (z) =2πik!2k=0l0640Гл.
VI. Специальные функции[147Если n + k есть целое отрицательное число, то подынтегральная функция в последнем интеграле не имеет точку t = 0 особой, ивеличина интеграла будет равна нулю. Если же (n + k) есть целоеположительное число или нуль, то, вспоминая разложение et , мыубеждаемся, что вычет подынтегральной функции в точке t = 01будет равен (n+k)!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
