1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Это даст нам ряд видаVj−1 = I +∞1,..., mUj1 . . . Ujν Pj∗ (aj1 , . . . , ajν ; b),(332)где коэффициенты определяются последовательно по формуламdxPj∗ (aj1 ; b) = −,x − aj1(333)ν=1 j1 ,...,jνPj∗ (aj1 , . . . , ajν ; b) = −ljljLb (aj2 , . . . , ajν ; x)dx.x − ajνОтметим особо один частный случай, когда систему (318) можно проинтегрировать в конечном виде, а именно предположим, что матрицы Ujпопарно коммутируют, т.
е. для любых значков i и j имеемUi Uj = Uj Ui .Покажем, что в этом случае решение Y (b; x) системы может быть записанов конечном виде следующим образом:x − a1 U1x − am UmY (b; x) =....(334)b − a1b − amНетрудно видеть, что написанная функция обращается в единичную матрицу при x = b. Проверим, что она удовлетворяет и системе уравнений. Дифференцируя по обычному правилу дифференцирования произведения и принимаяво внимание, чтоx−ax − aj Uj Ujd x − aj Ujd Uj ln b−ajje==,(335)dx b − ajdxb − ajx − ajГл. V. Линейные дифференциальные уравнения558[125получим=dY (b; x)=dxmx − a1 U1j=1b − a1...x − aj−1b − aj−1 Uj−1Ujx − ajx − ajb − aj Uj...x − amb − am Um.Раз матрица Uj коммутирует с Ui , то она коммутирует и с любой функциейf (Ui ), представляемой степенным рядом от Ui .
Мы можем поэтому написатьпредыдущую формулу следующим образом:m dY (b; x)x − a1 U1x − am Um Uj=...,dxb − a1b − amx − ajj=1 UjdY (b; x)= Y (b; x),dxx − ajj=1mт. е. матрица (334) действительно удовлетворяет системе. Формула (334) можетбыть получена из системы, если мы в этой системе совершим чисто формально разделение переменных, не обращая внимания на то, что мы имеем делос матрицами, а не с численными переменными.
В данном случае это оказывается возможным вследствие того, что матрицы Uj попарно коммутируют.Правая часть формулы (334) представляет собой просуммированный ряд (324)в предположении, что матрицы Uj попарно коммутируют. Из формулы (334)вытекает, между прочим, что в рассматриваемом случае при обходе точки ajматрица Y (b; x) получает слева постоянный множительe2πiUj Uj .Это становится ясно, если написать формулуx−ajUj ln b−ax − aj Uj=eb − aj jи воспользоваться известной многозначностью логарифма.Отметим еще, что в формуле (335) порядок множителей справа не играет роли, так как оба множителя содержат только одну матрицу Uj , а потомукоммутируют.125. Представление решения в окрестности особой точки. Рассмотрим логарифмы интегральных матриц с дополнительным численным множителем∞11 (−I)ν−1Wi =ln Vj =(Vj − I)ν .(336)2πi2πi ν=1νМы взяли главное значение логарифма, которое представляется степеннымрядом, сходящимся, если матрица Vj достаточно близка к единичной матрице.125]Представление решения в окрестности особой точкии559Из формулы (327) непосредственно вытекает, что это условие будет наверновыполнено, если матрицы Us близки к нулевой матрице, что мы и будем покасчитать.
В дальнейшем мы дадим представление для Wj при всех Us и покажем, что Wj , как функция Us , будет иметь особенность лишь в том случае,когда среди характеристических чисел Uj есть такие, разность между которыми равна целому числу, отличному от нуля.Подставляя в ряд вместо (Vj − I) его выражение по формуле (327) и собирая подобные члены, получим для Wj представление в виде степенного рядаот матрицы Us , сходящегося, если эти матрицы достаточно близки к нулевойматрице:..., m∞ 1,Wj =Uj1 ... Ujν Qj1 (aj1 , .
. . , ajν ; b).(337)ν=1 j1 , ..., jνМы не останавливаемся на вычислении коэффициентов этого разложения,что может быть легко сделано при помощи непосредственной подстановки рядав ряд. Рассмотрим теперь элементарную функциюx − ajb − aj Wjx−a=eWj ln b−a jj(338).Беря соответствующее значение логарифма, которое обращается в нуль приx = b, мы видим, что функция (338) обращается в единичную матрицу приx = b, а в результате обхода вокруг aj логарифм приобретает слагаемое 2πi, ифункция (338) превратится в новую функцию:ex−aWj 2πi+ln b−a jj= e2πiWjx − ajb − aj Wj= Vjx − ajb − aj Wj,причем порядок множителей в этом выражении не играет роли, так как обамножителя суть степенные ряды одной и той же матрицы Wj , а следовательно, коммутируют друг с другом.
Мы видим, таким образом, что элементарнаяфункция (338) в результате обхода вокруг aj приобретает слева тот же самыймножитель Vj , что и наше решение Y (b; x), и также обращается в единичнуюматрицу при x = b. Мы можем, следовательно, написатьx − aj Wj $ (j)Y (b; x) =(339)Y (b; x),b − ajгде Y$ (j) (b; x) есть матрица, равная единичной матрице при x = b и однозначная в окрестности точки x = aj . Мы покажем сейчас, что она будет не толькооднозначной в окрестности точки x = b, но будет и регулярной в самой точке Wjx−ax = b, т. е. что множитель b−a jвключает в себя не только разветвjление нашего решения, но и вообще всю особенность решения в точке aj ,как это было и при исследовании регулярных особых точек уравнений второгопорядка.Гл.
V. Линейные дифференциальные уравнения560[125Имеем согласно (339)Y$ (j) (b; x) =x − ajb − aj −WjY (b; x),(340)откуда, дифференцируя по x, получаемWjx − aj −Wjx − aj −Wj dY (b; x)dY$ (j) (b; x)=−Y (b; x) +dxx − aj b − ajb − ajdxили, пользуясь уравнениями (318) и (340),mWj $dY$ (j) (b; x)Usx − aj −Wj=−Y (b; x),Y (b; x) +dxx − ajb − ajx − ass=1т. е. матрица Y$ (j) (b; x) является решением системы уравненийmWj Y$ (j) (b; x)dY$ (j) (b; x)Us= Y$ (j) (b; x)−.dxx − asx − ajs=1(341)Обращаясь к правой части формулы (340), мы видим, что оба сомножителя представляются степенными рядами от матриц Us , и, следовательно, то жеможем сказать и об их произведении, причем если все Us равны нулю, то Wjтакже равно нулю, и первый множитель слева в правой части (340) обращается в единичную матрицу.
То же можно утверждать относительно Y (b; x), аследовательно, и относительно Y$ (j) (b; x). Поэтому можно искать Y$ (j) (b; x) ввиде степенного ряда следующего вида:Y$ (j) (b; x) = I +∞1,..., m$ (j) (aj , . . . , aj ; x).Uj1 . . . Ujν Lν1b(342)ν=1 j1 , ..., jνПодставляя в уравнение (341) ряды (337) и (342) и сравнивая коэффициенты при произведении Uj1 . . .
Ujν , получим(j)$ (aj , . . . , aj ; x)dLν1bdx−и, в частности,=$ (j) (aj , . . . , ajL; x)1ν−1bx − ajν−ν1$ (j) (ajQj (aj1 , . . . , ajk ; b)L, . . . , ajν ; x)k+1bx − aj k=1(j)$ (aj ; x)dL1bdx=Qj (aj1 ; b)1−.x − aj1x − ajЗаметим, что в написанной сумме по k второй множитель слагаемого теряетсмысл при k = ν, и его надо заменить при этом единицей. В дальнейшем мычасто будем встречаться с аналогичными суммами, в которых сомножители125]Представление решения в окрестности особой точкии561крайних слагаемых теряют смысл при принятой записи, и надо помнить, чтоони заменяются при этом единицей.Как мы уже упоминали выше, матрица Y$ (j) (b; x) должна обращаться вединичную матрицу при x = b для любых матриц Uj , достаточно близких нулю, т. е.
все коэффициенты в разложении (342) должны обращаться в нуль приx = b. Принимая это во внимание и пользуясь предыдущими формулами, мыможем написать следующую формулу, определяющую последовательно коэффициенты в разложении (342):$ (j) (aj , . . . , aj ; x) =Lν1bx $ (j)Lb (aj1 , . . . , ajν−1 ; x)x − ajνb−ν1$ (j) (ajQj (aj1 , . .
. , ajk ; b)L,...,a;x)dx.−jνk+1bx − aj k=1(343)В частности, при ν = 1 мы имеем$ (j) (aj ; x) =L1bx bQj (aj1 ; b)1dx.−x − aj1x − aj(344)Эти коэффициенты в разложении (342) должны быть однозначными функциями в окрестности x = aj , поскольку вся сумма ряда (342) должна быть однозначной функцией, как мы это видели выше. Отсюда непосредственно следует,что в выражении (344) под знаком интеграла вычет в полюсе x = aj долженобращаться в нуль, и, следовательно, функция (344) оказывается регулярной всамой точке x = aj . Будем теперь дальше проводить доказательство от (ν − 1)к ν. Положим, что все функции$ (j) (aj , . .
. , aj ; x)Ls1b(345)регулярны в точке x = aj при s < ν. Докажем, что этим же свойством будутобладать функции (345) и при s = ν. Для этих функций мы имеем формулу(343). В силу упомянутой выше регулярности функций (345) при s < ν подынтегральная функция формулы (343) может иметь в точке x = aj лишь полюспервого порядка.
Но если бы вычет в этом полюсе оказался отличным от нуля,то функция (343) оказалась бы многозначной в окрестности точки x = aj , чего не может быть. Отсюда следует, что подынтегральная функция в формуле(343) и сам интеграл будут регулярны в точке x = aj . Мы не останавливаемсяна более подробном определении коэффициентов в разложении (342).Все предыдущие рассуждения относились лишь к тому случаю, когда матрицы Us достаточно близки к нулю. В дальнейшем мы дадим представлениематрицы Wj и связанных с нею матриц, годное для любых матриц, причемокажется, что особыми точками в таком представлении будут те матрицы Us ,среди характеристических чисел которых имеются такие, которые отличаютсяна целое число, отличное от нуля.562Гл. V.
Линейные дифференциальные уравнения[126126. Канонические решения. Решение Y (b; x) зависит от выбора точки b, в которой производится нормирование матрицы к единичной матрицеПоэтому матрица Y (b; x) называется матрицей (решением), нормальной в точке x = b. Эта последняя точка должна быть отличной от особых точек aj .Мы не можем, очевидно, задавать начальные условия в особой точке x = aj ,но мы можем стараться построить такое решение, которое имело бы наиболее простую форму в окрестности особой точки x = aj , совершенно так же,как это нами делалось при построении решения в окрестности регулярнойособой точки уравнения второго порядка. Мы и займемся сейчас построением такого решения. Назовем его каноническим решением в особой точкеx = aj .Мы можем написатьY (b; x) =x − ajb − aj WjY$ (j) (b; x) = (x − aj )Wj (b − aj )−Wj Y$ (j) (b; x),причем порядок первых двух множителей в правой части не играет роли, поскольку оба множителя содержат только одну матрицу Wj .
Относя множитель(b − aj )−Wj к множителю Y$ (j) (b; x), можно написатьY (b; x) = (x − aj )Wj Y(j)(b; x),(346)гдеY(j)(b; x) = (b − aj )−Wj Y$ (j) (b; x)есть матрица, регулярная в точке x = aj . Если все Us равны нулю, то Y$ (j) (b; x)обращается в единичную матрицу, и, следовательно, определитель этой матрицы отличен от нуля, если Us достаточно близки к нулю. Определитель матрицы(b − aj )Wj = e−Wj ln(b−aj ) отличен от нуля как определитель показательной(j)функции от матрицы [96], и, следовательно, определитель матрицы Y (b; x)отличен от нуля в точке x = aj , если все Us близки к нулю, т.
е. при этом и(j)матрица Y (b; x)−1 будет регулярной в точке x = aj . Всякое решение нашейсистемы отличается от решения Y (b; x) постоянным множителем C (матрицаслева):Y (x) = CY (b; x),(347)причем мы считаем, что определитель C отличен от нуля для того, чтобы получить полное решение. Вместо формулы (347) можно написатьY (x) = C(x − aj )Wj C −1 CY(j)(b; x);но, как мы видели в [123],C(x − aj )Wj C −1 = (x − aj )Wj ,гдеWj = CWj C −1 .(348)126]Канонические решения563Выберем теперь матрицу C равнойC = [Y(j)(b; aj )]−1 .(349)так что мы будем иметьCY(j)(b; x) = 1x = aj .приПри этом мы получим решение, которое обозначим через θj (x) и котороеназовем каноническим в точке x = aj .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
