1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 84
Текст из файла (страница 84)
е. мы имеем тождествоy1 (x) + p(x)y1 (x) + q(x)y1 (x) = 0.Заменяя x на x + ω, можем написатьy1 (x + ω) + p(x + ω)y1 (x + ω) + q(x + ω)y1 (x + ω) = 0или в силу (267)y1 (x + ω) + p(x)y1 (x + ω) + q(x)y1 (x + ω) = 0.Отсюда непосредственно вытекает, что y1 (x + ω) будет такжерешением уравнения. Возьмем теперь какие-нибудь два линейнонезависимых решения уравнения y1 (x) и y2 (x). Функции y1 (x + ω)и y2 (x + ω) также должны быть решениями уравнения (266), и, следовательно, они должны выражаться линейно через y1 (x) и y2 (x),т. е.y1 (x + ω) = a11 y1 (x) + a12 y2 (x),(268)y2 (x + ω) = a21 y1 (x) + a22 y2 (x),120]Уравнения с периодическими коэффициентами529где aik — некоторые постоянные. Мы видим, таким образом, чтоесли взять два линейно независимых решения уравнения (266) иприбавить к аргументу период, то это будет равносильно некоторому линейному преобразованию (268).
Совершенно аналогичнопри рассмотрении уравнений с аналитическими коэффициентамимы видели, что при обходе вокруг особой точки линейно независимые решения испытывают линейное преобразование, и мы можемдальше рассуждать совершенно так же, как это мы делали в [100].Приведем результаты. Таблица постоянных aik зависит от выбора линейно независимых решений, но коэффициенты квадратногоуравнения относительно ρ:a11 − ρa12 = 0,(269) a21a22 − ρбудут одинаковыми при любом выборе решений. Если уравнение(269) имеет два различных корня ρ1 и ρ2 , то существуют двалинейно независимых решения, которые умножаются на ρ1 и ρ2при замене x на x + ω, т. е., обозначая эти решения через ηk (x),получимη1 (x + ω) = ρ1 η1 (x);η2 (x + ω) = ρ2 η2 (x).(270)Если уравнение (269) имеет одинаковые корни, т.
е. ρ1 = ρ2 , тосуществует, вообще говоря, только одно решение, приобретающеемножитель ρ1 при замене x на x + ω, и в данном случае мы имеемвместо (270) линейное преобразование следующего вида:η1 (x + ω) = ρ1 η1 (x);η2 (x + ω) = a21 η1 (x) + ρ1 η2 (x).(271)Напомним еще, что уравнение (269) не может иметь корня, равного нулю, т. е. определитель, составленный из чисел aik , наверноотличен от нуля.Напомнив эти результаты, перейдем теперь к установлению вида решений в различных случаях. Рассмотрим сначала случай(270).
Возьмем две функции:x/ωρ1= ex/ω ln ρ1 ;x/ωρ2= ex/ω ln ρ2 ,530Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения[120где мы берем некоторые определенные значения для ln ρ1 , и ln ρ2 .При замене x на x + ω функции приобретают множители ρ1 и ρ2x/ωx/ωи, таким образом, частные η1 (x) : ρ1 и η2 (x) : ρ2 оказываются периодическими функциями с периодом ω, и, следовательно, вслучае (270) можно написатьx/ωη1 (x) = ρ1ϕ1 (x);x/ωη2 (x) = ρ2ϕ2 (x),(272)где ϕ1 (x) и ϕ2 (x) — периодические функции с периодом ω.В случае (271) имеем для η1 (x) такое же выражение.
Для исследования η2 (x) введем функцию ζ(x):x/ωη2 (x) = ρ1ζ(x).Подставляя в (271), получимζ(x + ω) = ζ(x) + cϕ1 (x)a21.c=ω(273)Определим теперь функцию ϕ2 (x) соотношениемζ(x) =cxϕ1 (x) + ϕ2 (x).ωПодставляя в (273) и используя периодичность функции ϕ1 (x), найдем, что ϕ2 (x + ω) = ϕ2 (x). Таким образом, в случае (271), когдауравнение (269) имеет двукратный корень ρ1 , два линейно независимых решения имеют видx/ωx/ω cxϕ1 (x) + ϕ2 (x) ,η1 (x) = ρ1 ϕ1 (x); η2 (x) = ρ1(274)ωгде c — некоторая постоянная, ϕ1 (x), ϕ2 (x) — периодические функции с периодом ω. Если c = 0, то второе решение будет иметь вид(272).Рассмотрим более подробно уравнение Хиллаy + q(x)y = 0,(275)120]Уравнения с периодическими коэффициентами531т.
е. тот частный случай уравнения (239), когда в нем p(x) ≡ 0.Определим линейно независимые решения следующими начальными условиями:y1 (0) = 1, y1 (0) = 0; y2 (0) = 0, y2 (0) = 1.(276)Полагая в тождествах (268) x = 0 и принимая во внимание (276),получим a11 = y1 (ω), a21 = y2 (ω). Дифференцируя тождества (268)и полагая затем x = 0, точно так же найдем, что a12 = y1 (ω),a22 = y2 (ω). Таким образом, при сделанном выборе линейно независимых решений квадратное уравнение (269) записывается в видеy1 (ω) − ρy1 (ω) = 0.(277) y2 (ω)y2 (ω) − ρСвободным членом этого уравнения является значение определителя Вронского Δ(x) = y1 (x)y2 (x) − y2 (x)y1 (x) при x = ω.
Для Δ(x)была получена следующая формула [II, 24]:Δ(x) = Δ(0)e−xp(t) dt0,и, следовательно, в данном случае, когда p(x) ≡ 0, имеемΔ(x) ≡ Δ(0). Из (276) следует, что Δ(0) ≡ 1. Таким образом, сободный член Δ(ω) в уравнении (277) равен единице, а само уравнение(277) имеет видρ2 − 2Aρ + 1 = 0,(278)где2A = y1 (ω) + y2 (ω).(279)Поскольку q(x) — вещественная функция, то решения y1 (x), y2 (x),определенные условиями (276), будут также вещественными функциями. Следовательно, число A, называемое характеристическойпостоянной Ляпунова, будет вещественным числом.Если число A удовлетворяет условию |A| > 1, то уравнение (278)имеет различные вещественные корни, произведение которых равно единице, т. е. один из этих корней будет по абсолютной величине больше единицы, а другой — меньше единицы.
Если |A| < 1,532Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения[120то уравнение (278) имеет невещественные, комплексно сопряженные корни, по модулю равные единице. Наконец, если A = ±1, тоуравнение (278) имеет двойной корень, равный ±1. Значения A существенным образом сказываются на поведении решения при беспредельном возрастании переменного x. Разберем указанные вышеслучаи.В выражениях (272) множители ϕ1 (x) и ϕ2 (x) суть периодические функции, а потому они остаются ограниченными при беспредельном возрастании x, и характер поведения решений при возрастании x существенным образом определяется первыми множителями:x/ωx/ωρ1 = ex/ω ln ρ1 , ρ2 = ex/ω ln ρ2 .(280).Вещественная часть ln ρ равна, как известно, ln |ρ|, и, следовательно, если |A| > 1, то эта вещественная часть для одного из корней,например ρ1 , будет положительной, а для другого — отрицательной, и, таким образом, первая из функций (280) будет беспредельновозрастать по модулю при x → +∞, а вторая — стремиться к нулю.
Возвращаясь к решениям (272), можно утверждать, что первоеиз этих решений не будет оставаться ограниченным при x → ∞, авторое будет стремиться к нулю. Общий интеграл уравненияC1 η1 (x) + C2 η2 (x)(281)в данном случае также не будет, вообще говоря (C1 = 0), оставаться ограниченным (случай, неустойчивости). Если |A| < 1, товещественные части ln ρ1 и ln ρ2 равны нулю, а функции (280) привсех вещественных x равны по модулю единице.
В данном случаеоба решения (272) и общий интеграл (281) остаются ограниченнымипри x → +∞. Если начальные условияy(0) = a,y (0) = bопределяются числами a и b, достаточно малыми по абсолютнойвеличине, то постоянные C1 и C2 также будут малыми, а следовательно, и решение будет оставаться малым по абсолютной величинепри всяком положительном x (случай устойчивости).Остается разобрать только исключительный случай A = ±1,когда уравнение (278) имеет кратные корни.
Положим сначала120]Уравнения с периодическими коэффициентами533A = 1, т. е. ρ1 = ρ2 = 1. В данном случае мы можем взять решения так, чтобы они имели вид (274), т. е.η1 (x) = ϕ1 (x);η2 (x) = ϕ2 (x) +cxϕ1 (x),ω(282)где ϕk (x) суть периодические функции. Первое из написанных решений будет чисто периодическим, а второе будет, вообще говоря,неограниченным ввиду присутствия множителя x. Только в исключительном случае, когда c = 0, и второе решение будет чисто периодическим. Наконец, если A = −1, т. е.
если ρ1 = ρ2 = −1, то мыможем взять ln ρ1 = πi и вместо (282) будем иметьciπx/ωiπx/ωϕ2 (x) + ϕ1 (x)ϕ1 (x); η2 (x) = eη1 (x) = eωВ данном случае мы имеемη1 (x + ω) = eiπ eiπx/ω ϕ1 (x) = −η(x)и, следовательно, решение η1 (x) будет периодическим с периодом2ω, а второе решение, как и в предыдущем случае, будет, вообще говоря, неограниченным. Решения уравнения, удовлетворяющиетождеству y(x + ω) = −y(x), называются обычно ω-антипериодическими. Из предыдущих рассуждений легко следуетТ е о р е м а. Пусть q(x) — вещественная ω-периодическая функция. Если при этом уравнение (275) имеет ω-периодическое решение, то A = 1; если же оно имеет ω-антипериодическое решение,то A = −1.В первом случае из сказанного выше следует, что уравнение(278) имеет корень ρ = 1, а во втором — корень ρ = −1, откудаи следует утверждение теоремы.Для иллюстрации изложенного рассмотрим уравнение Хилла спостоянным коэффициентомy + qy = 0.(283)Постоянную q можно считать периодической функцией с произвольным периодом ω.
Положим сначала, что постоянная q отрицательна. Обозначая q = −k 2 , получим два линейно независимых534Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения[121уравнения (283):η1 (x) = ekx ,η2 (x) = e−kx ;при замене x на x + ω они получают вещественные множителиρ1 = ekω и ρ2 = e−kω , что соответствует случаю |A| > 1.Если постоянная q положительна, то, обозначая q = k 2 , мы будем иметь следующие два решения уравнения (283):η1 (x) = eikx ,η2 (x) = e−ikx .(284)При замене x на x + ω эти решения получают множителиρ1 = eikω , ρ2 = e−ikω , по модулю равные единице. Эти корни различны при e2ikω = 1, т. е. при kω = n, где n — целое число.
Это соответствует случаю |A| = 1. Для равных корней, когда kω = nπ, решения (284) линейно независимы. Это соответствует случаю |A| = 1,когда решения представимы в виде (274), причем для рассматриваемого случая c = 0.Наконец, при q = 0 имеется два линейно независимых решенияη1 (x) = 1,η2 (x) = x,что совпадает с (274) для ρ1 = 1, ϕ1 (x) ≡ 1, ϕ2 (x) ≡ 1, c = ω и соответствует случаю A = 1.Отметим, что для уравнения (283) значение постоянной A, най√денное по формуле (279), есть A = cos qω (здесь q может бытьчислом любого знака).121.
Условия устойчивости и неустойчивости для уравнения Хилла. Выше было показано, что для уравнения Хиллаимеет место устойчивость (все решения ограничены при x → +∞),если для постоянной Ляпунова A выполнено неравенство |A| < 1,или неустойчивость показательного типа, если |A|>1. Однако обычно нельзя различить эти случаи без численного интегрирования,так как A выражается лишь через решения уравнения (275) по формуле (279).Далее мы выведем простые достаточные условия устойчивости и неустойчивости, принадлежащие А. М. Ляпунову и121]Условия устойчивости и неустойчивости. .
.535Н. Е. Жуковскому, выраженные непосредственно через функциюq(z). Для этого нам понадобятся некоторые леммы, первая из которых непосредственно связана с содержанием [II, 31].Л е м м а 1. Пусть в уравненияхy1 + q1 (x)y1 = 0,y2 + q2 (x)y2 = 0(285)коэффициенты — вещественные непрерывные функции на всей осиx и q1 (x) > q2 (x). Тогда между двумя корнями любого решениявторого из уравнений лежит по крайней мере один корень любогорешения первого из уравнений (285). Пусть, далее, имеются начальные условияy1 (a) = y2 (a) = 0,y1 (a) = y2 (a) > 0(286)и при a < x < b решение y1 (x) положительно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
