1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Положительное число r фиксировано так, что r < 12 |β|. Принимая во внимание указанный порядок роста tp−1 Rn (t) и неравенствоezt e−zr на прямолинейных частях l0 , для суммы соответствующих интегралов получаем оценку −r −∞ n+p+z−∞−r |z n+p |m1 e−(z−ε)r ,z−εгде ε > 0 — любая малая постоянная и m1 — некоторая положительная постоянная. Из приведенной оценки видно, что сумма этих интегралов стремится к нулю при z → +∞.
Остается рассмотретьвыражениеz n+p ezt tp−1 Rn (t) dt.(174)CГл. V. Линейные дифференциальные уравнения498[113На C мы можем использовать разложение (164) и согласно неравенству Коши будем иметь оценку|dk | <m2,(|β| − ε)kгде m2 > 0 — постоянная и |β|−ε можно считать, например, равнымρ = 12 |β|.Далее имеемRn (t) = dn+1 tn+1 + dn+2 tn+2 + . . .Обозначая θ =rρ< 1, получаем оценку|Rn (t)| m2 |t|n+1,n+1ρ(1 − θ)(175)которая имеет место, очевидно, при |t| r.
Вводя новую переменную интегрирования τ = −zt, получим.τn+pzt p−1p n−τ p−1zdτ, (176)e t Rn (t)dt = (−1) ze τRn −zCC1где C1 — окружность |τ | = rz. Согласно теореме Коши мы можемвместо C1 взять за контур интегрирования любой замкнутый контур, выходящий из точки rz вещественной оси, обходящий вокругτ = 0 и находящийся внутри C1 . При этом для Rn (t) будет иметьместо оценка (175). Возьмем следующий контур C2 интегрирования: отрезок вещественной оси от точки rz до фиксированной точкиτ0 (0 < τ0 < z), окружность |τ | = τ0 и отрезок от τ0 до rz.Оценим выражение (176), пользуясь (175): m2 |τ n+p | −τ(−1)p z n e−τ τ p−1 Rn − τ dτ 1|e | ds, (177)zzρn+1 (1 − θ)C1C2где ds — дифференциал дуги контура, и покажем, что множительпри 1/z остается ограниченным при z → +∞.
Действительно, интегрирование по окружности радиуса τ0 не зависит от z. Рассмотрим113]Асимптотические разложения решений. . .499еще интеграл по отрезку (τ0 , rz). Это даст следующий множительпри z −1 в правой части (177):m2ρn+1 (1 − θ)rze−τ τ n+p · e−p2 arg τ dτ,(178)τ0где p = p1 + p2 i и arg τ = 0 или 2π. Написанный интеграл сходитсяна промежутке (0, +∞), и, следовательно, интеграл (178) остаетсяограниченным при z → +∞. То же, следовательно, можно утверждать и об интеграле из (177).Таким образом, мы можем утверждать, что интеграл (176) стремится к нулю при z → +∞ и что на луче z > 0 имеет место асимптотическое разложениеe−α1 z z p w1 (z) ∼ e−pπi (e2pπi − 1)∞(−1)kk=0гдеdk = (α1 − α2 )q−1−kdk Γ(p + k),zk(q − 1)(q − 2) .
. . (q − k);k!(179)(180)d0 = (α1 − α2 )q−1 ,−π < arg (α1 − α2 ) < π.Мы считаем p отличным от целого числа.Совершенно аналогично для второго решения получаемe−α2 z z q w2 (z) ∼ e−qπi (e2qπi − 1)∞(−1)kk=0гдеdk = (α2 − α1 )p−1−kdk Γ(q + k),zk(p − 1)(p − 2) . . . (p − k);k!d0 = (α2 − α1 )p−1 ,−π < arg (α2 − α1 ) < π.(181)(182)Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения500[114Для степеней z p и z q надо считать arg z = 0 при z > 0. Мы проводили все оценки в предположении z > 0. Но нетрудно показать, какмы это упоминали выше, что формулы сохраняются и при предположении Re z > 0.
Принимая во внимание сказанное в [109] относительно возможности поворота разрезов, нетрудно и дальше расширить область, в которой имеют место упомянутые формулы.114. Асимптотические разложения решений уравненияБесселя. Сказанное в [110] непосредственно применимо к решениям уравнения (133). Для них получаемe−iz z n+ 2 u1 (z) ∼ e− 2 (n− 2 )i (1 + e2nπi )2n− 2 × k∞ 1in − 12Γ n+ +k×, (183)k22zπ111k=01eiz z n+ 2 u2 (z) ∼ e−3π2(n− 12 )i (1 + e2nπi )2n− 12 × k∞ 1in − 12Γ n+ +k−×.k22zk=0 aпри целом k 0 определяется следующим образомСимволk a(a − 1) .
. . (a − k + 1)a=,kk! a= 1.0Для решения u∗2 мы имеем формулу [109]iz n+ 12e zu∗211∼ e (n− 2 )i (1 + e2nπi )2n− 2π2∞ n− 12k=0k×k1i×Γ n+ +k−.22z114] Асимптотические разложения решений уравнения Бесселя501Используем сказанное выше о возможности поворота разрезов.Пусть α — угол, образованный разрезом из точки τ = 1 с положительным направлением вещественной оси. Принимая во вниманиенеобходимость того, что показатель izτ в формулах (136) должениметь отрицательную вещественную часть, получаем неравенствоππ3π< + α + arg z <222или−α < arg z < π − α.Далее, учитывая требование, чтобы разрез при повороте не пересекал точки τ = −1, получим −π < arg α < π и окончательно для zполучаем следующий сектор, в котором имеет место асимптотическая формула для u1 (z):−π < arg z < 2π.(184)Совершенно аналогично для u2 (z):−2π < arg z < π.(1841 )Отметим, что оба сектора имеют угол 3π, т. е.
налегают сами на себя. В дальнейшем мы вернемся к объяснению этого. Функция Хан(1)келя Hn (z), определяемая формулой (146), отличается от u1 (z)множителем−π (n− 12 )1Γ 2 −ne−zn.32n π 2Используя асимптотическое разложение (183), после несложных(1)преобразований и переноса всех множителей при Hn (z) в правуючасть, получимHn(1) (z)∼2πz 12 knππ∞ 1ei(z− 2 − 4 ) n − 12iΓn++k1k22zΓ n + 2 k=0502Гл. V.
Линейные дифференциальные уравнения[114и аналогично k 12 −i(z− nπ − π ) ∞ 241e−i2n − 12Γn++kHn(2) (z) ∼.kπz22zΓ n + 12k=0Вводя обозначения(a)k = a(a + 1) . . . (a + k − 1)и1(n, k) = (−1)k2−n 12k+nk!=kΓ n + k + 12 ==k!Γ n − k + 12[4n2 − 12 ][4n2 − 32 ] . . . [4n2 − (2k − 1)2 ],k! 22kможем написатьHn(1) (z)Hn(2) (z)∼∼2πz2πz 12e 12eπi(z− nπ2 −4)∞(−1)k (n, k),(2iz)kk=0∞π−i(z− nπ2 −4)k=0(n, k).(2iz)k(185)Эти формулы имеют место для всех значений n, если z заключаетсяв указанных выше секторах.Отметим, что если n = ± 2k+12 , где k > 0 — целое число, то ряды(s)обрываются и Hn (z) (s = 1, 2) выражаются в конечном виде.(1)Бесконечные суммы надо заменить, например, для Hn (z) наp−1k=0 (−1)k (n, k)1+O(2iz)kzp(2)и аналогично для Hn (z).При p = 1 получаемHn(s) (z)=2πz 12eπ(−1)s+1 i(z− nπ2 −4) 1.1+Oz(186)114] Асимптотические разложения решений уравнения Бесселя503Полусумма разложений (185) дает разложение Jn (z).
При этомслагаемые с четным k дают cos (z − (nπ)/2 − π/4), а с нечетнымдают sin (z − (nπ/2 − π/4):Jn (z) ∼2πz 12 ∞π (−1)k (n, 2k)nπ−cos z −−24(2z)2kk=0 ∞nππ (−1)k (n, 2k + 1). (187)− sin z −−24(2z)2k+1k=0На луче z > 0 в первом приближении получаемJn (z) =2πz 12 nππ1+O.cos z −−324z2(188)При замене n на (−n) надо иметь в виду четность (n, k).Рассмотрим теперь некоторые особенности полученных асимптотических1разложений.
Отметим прежде всего, что многозначный множитель z − 2 , входящий в асимптотические формулы, не характеризует поведения функции приобходе вокруг точки z = ∞. Для уравнения Бесселя, имеющего лишь две особые точки z = 0 и z = ∞, обход точки z = ∞ равносилен обходу регулярнойособой точки z = 0, корни определяющего уравнения в которой равны ±n. Если n отлично от целого числа, то линейно независимые решения Jn (z) и J−n (z)приобретают множители e±2nπi .(1)Рассмотрим теперь асимптотическую формулу для Hn (z), имеющую место в секторе (184). В этом секторе при обходе вокруг z = 0 (или, что то же,z = ∞) после полного обхода на угол 3π точка вновь возвращается в третийи четвертый координатный угол.
В этом секторе мнимая часть z имеет видz = bi, где b < 0, и из асимптотической формулы (185) мы видим, что пока(1)зательный множитель в асимптотической формуле для Hn (z) возрастает, а(2)для Hn (z) убывает по показательному закону при возрастании |z|. С другой(1)стороны, можно показать, что при указанном обходе Hn (z) будет иметь в упомянутом секторе следующее выражение через линейно независимые решения(1)(2)Hn (z) и Hn (z):(1)(2)−Hn (z) − (1 + e−2nπi )Hn (z).(2)В силу сказанного выше асимптотической формулой для Hn (z) можно пре(1)(2)небречь наряду с Hn (z), так как асимптотическая формула для Hn (z) дает504Гл.
V. Линейные дифференциальные уравнения[114при больших |z| величину более низкого порядка, чем оценка остатка ряда по(1)(1)сле любого члена разложения в Hn (z). Знак минус при Hn (z) получится при1упомянутом обходе от множителя z − 2 , входящего в асимптотическую форму(1)лу Hn (z).Отметим еще возможность получения асимптотических разложений дляJn (z) в различных секторах. Напомним, что разложение (187) было получено в секторе −π < arg z < π.
Мы можем получить разложение в секторе0 < arg z < 2π из очевидной формулы Jn (z) = enπi Jn (ze−πi ), ибо при изменении z в секторе 0 < arg z < 2π мы имеем −π < (arg ze−πi ) < π. Подставляя в (187) ze−πi вместо z, после несложных преобразований получим1 πiJn (z) ∼ e(n+ 2 )2πz12∞nπ1(−1)k (n, 2k)cos z ++ π−24(2z)2kk=0 ∞π (−1)k (n, 2k + 1)nπ.+− sin z +24 k=0(2z)2k+1(189)Это разложение в секторе 0 < arg z < π отличается от (187). Укажем на причину этого. Разложение (187) было получено из формулы(1)Jn (z) =(2)Hn (z) + Hn (z),2(2)причем разложение Hn (z) имело место в секторе −2π < arg z < π, не со(2)держащем сектора 0 < arg z < 2π.
Для получения разложения Hn (z) в этомпоследнем секторе надо использовать формулу(2)(2)(1)Hn (z) = 2 cos nπHn (ze−πi ) + enπi Hn (ze−πi ).(2)Полученное из этой формулы разложение Hn (z), которое мы не выписываем, будет отлично на общем промежутке 0 < arg z < π от (185), но их разностьблагодаря множителю eiz будет более низкого порядка при большом |z|, чем(2)оценка остатка ряда после любого члена разложения Hn (z) в формуле (185).Этим и объясняется разница разложений (187) и (189) в секторе 0 < arg z < π.Приведем общий результат, касающийся разложения Jn (z) в различныхсекторах с углом 2π:Jn (z) ∼ c12πz12ei(z−nπ − π24)∞(−1)k (n, k)+(2iz)kk=0+ c22πz12e−i(z−nπ − π24)∞(n, k),(2iz)kk=0где постоянные c1 и c2 имеют различные значения в различных секторах, аименно:1111c1 = e2p(n+ 2 )πi , c2 = e2p(n+ 2 )πi22115]Вырождение уравнения Гаусса505при (2p − 1)π < arg z < (2p + 1)π,c1 =1 2(p+1)(n+ 1 )πi2e,2c2 =1 2p(n+ 1 )πi2e2при 2pπ < arg z < (2p + 2)π (p — целое число).Указанное скачкообразное изменение c1 и c2 называется обычно явлениемСтокса1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
