1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 75
Текст из файла (страница 75)
. . 2kи отсюда нетрудно определить постоянный множитель в формуле(101):2 · 4 . . . 2k(− 1 , − 1 )Tk (x) =Pk 2 2 (x).(106)1 · 3 . . . (2k − 1)107. Конформное преобразование и уравнение Гаусса.Переходим теперь к выяснению связи уравнения Гаусса с некоторой задачей конформного преобразования, причем, как и в предыдущем параграфе, мы считаем параметры α, β и γ вещественными.Докажем прежде всего, что решение уравнения Гаусса (62) не может иметь кратных корней на плоскости комплексного переменного вне особых точек. Действительно, если в некоторой точке z = z0имеется корень выше первой кратности, т. е. еслиw(z0 ) = w (z0 ) = 0,то из самого уравнения (62) вытекает, что w (z0 ) = 0.
Дифференцируя уравнение (62) и полагая затем z = z0 , мы получим w (z0 ) = 0и т. д. Но аналитическая функция, у которой все производные внекоторой точке равны нулю, как известно, равна нулю тождественно, а мы понимали под w, очевидно, решение, отличное отнуля. Приведенное доказательство годится и для любого линейного уравнения второго порядка с аналитическими коэффициентами.Полученный результат вытекает также непосредственно из теоремы существования и единственности [97].468Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения[107Рассмотрим теперь частное двух интегралов уравнения Гауссаη(z) =w2 (z).w1 (z)(107)Эта функция при аналитическом продолжении может иметьособыми точками лишь точки z = 0, 1 и ∞, а также те значенияz, которые являются корнями решения w1 (z). Эти значения z будут простыми полюсами функции (107).
Если w1 (z0 ) = 0, то можноутверждать, что w2 (z0 ) = 0. Действительно, если бы мы имелиw2 (z0 ) = 0,то наши два решения определялись бы начальными условиями видаw1 (z0 ) = 0, w1 (z0 ) = α,(α и β = 0),w2 (z0 ) = 0, w2 (z0 ) = βи мы имели бы, согласно теореме существования и единственности,w2 (z) =βw1 (z),αт. е. решения w1 (z) и w2 (z) были бы линейно зависимыми, а мы считаем, что в формуле (107) числитель и знаменатель суть линейнонезависимые решения.Рассмотрим верхнюю полуплоскость комплексного переменногоz.
В этой односвязной области B аналитические функции w1 (z) иw2 (z) не имеют особых точек при аналитическом продолжении и,следовательно, являются однозначными регулярными функциямиz. Функция (107) также будет однозначной в верхней полуплоскости и может там иметь особыми точками лишь простые полюсы.Покажем теперь, что производная от функции (107) не может обращаться в нуль вне особых точек.
Как известно [II, 24], мы имеемдля этой производной следующее выражение:d w2 (z)C= 2 e− p (z) dz ,(108)dz w1 (z)w1 (z)107]Конформное преобразование и уравнение Гаусса469где C — некоторая постоянная и p(z) — коэффициент при w в уравнении (62).Из формулы (108) и вытекает непосредственно наше утверждение. Принимая во внимание, что в простом полюсе конформностьне нарушается, мы можем утверждать, что функция (107) даетнекоторое конформное преобразование области B в некоторую новую область B1 , не содержащую внутри себя точек разветвления.Определим теперь контур новой области B1 .При приближении точки z из верхней полуплоскости к некоторой точке z0 вещественной оси, отличной от особых точек 0, 1 и∞, функция (107) стремится к определенному пределу и — большетого — даже остается регулярной и в самой точке z0 , и она будетрегулярной внутри каждого из трех отрезков(−∞, 0), (0, 1), (1, ∞)(109)вещественной оси.
Покажем теперь, что функция (107) стремитсяк определенному пределу и при стремлении z к одной из особыхточек. Для примера рассмотрим лишь точку z = 0.Предварительно выясним одно общее обстоятельство, котороебудет играть роль в дальнейшем. Положим, что вместо w1 (z) иw2 (z) мы взяли какие-нибудь два других независимых решенияуравнения w1∗ (z) и w2∗ (z). Они выражаются через прежние решения линейным образом:w1∗ (z) = a11 w1 (z) + a12 w2 (z),w2∗ (z) = a21 w1 (z) + a12 w2 (z),гдеa11 a22 − a12 a21 = 0.Составим новую функцию η ∗ (z), пользуясь новыми решениямиη ∗ (z) =a21 w1 (z) + a22 w2 (z)w2∗ (z)=∗w1 (z)a11 w1 (z) + a12 w2 (z)илиη ∗ (z) =a21 + a22 η(z),a11 + a12 η(z)470Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения[107т. е.
при различном выборе независимых решений в формуле (107)соответствующие функции η(z) будут связаны друг с другом простодробно-линейным преобразованием с определителем, отличным отнуля.Перейдем теперь к исследованию функции (107) в окрестноститочки z = 0. Выберем независимые решения следующим образом:w1 (z) = F (α, β, γ; z),(110)w2 (z) = z 1−γ F (α + 1 − γ, β + 1 − γ, 2 − γ; z),при этомη(z) = z 1−γF (α + 1 − γ, β + 1 − γ, 2 − γ; z).F (α, β, γ; z)(111)Последнюю формулу надо понимать следующим образом: вокрестности z = 0 функция η(z) определяется по формуле (111),a дальше на всей полуплоскости B она определяется вполне однозначно при помощи аналитического продолжения. Из формулы(111) непосредственно следует, что, например,η(z) → 0,если z → 0и γ < 1.При всяком другом выборе независимых решений новое η(z) будет выражаться через (111) дробно-линейным образом и, следовательно, тоже будет иметь определенный предел при z → 0.Покажем теперь, что функция (107) преобразует отрезки (109)вещественной оси в дуги окружности.
Действительно, рассмотрим,например, отрезок (0, 1) и возьмем внутри него некоторую точкуz0 . Определим решения w1 (z) и w2 (z) по их начальным условиямв точке z0 , причем возьмем эти условия так, чтобы w(z0 ) и w (z0 )выражались вещественными числами.
Принимая во внимание, чтокоэффициенты уравнения Гаусса также вещественны, получим дляw1 (z) и w2 (z) в окрестности точки z0 ряды Тэйлора с вещественными коэффициентами. Аналитическое продолжение этих решенийвдоль отрезка (0, 1) также будет приводить, очевидно, к вещественным рядам Тэйлора, т. е., иными словами, при таком выборе решений функция η(z) будет принимать вещественные значения на от-107]Конформное преобразование и уравнение Гаусса471резке (0, 1), т. е.
будет преобразовывать этот отрезок также в некоторый отрезок вещественной оси. При всяком другом выборе решений новая функция η(z) получится из прежней дробно-линейнымпреобразованием, а такое преобразование переводит отрезок вещественной оси в дугу окружности. Таким образом, действительно,функция (107) преобразует каждый из отрезков (109) в некоторуюдугу окружности (или отрезок прямой).Возьмем опять тот случай, когда основные решения w1 (z) иw2 (z) вещественны на отрезке (0, 1).
Применяя формулу (108) кэтому отрезку, мы видим, что производная от функции η(z) наэтом отрезке сохраняет неизменный знак, т. е. функция η(z) естьмонотонная функция переменного z на упомянутом отрезке. Иначеговоря, если точка z пробегает отрезок (0, 1) в определенном направлении, то точка η(z) двигается по соответствующему отрезкувсе время в одном и том же направлении. Заметим при этом, чтоточка η(z) может проходить и через бесконечность так, что отрезок, описываемый точкой η(z), может быть и бесконечным. Крометого, в некоторых случаях этот отрезок может и налегать сам насебя. В общем случае, при любом выборе независимых решений вформуле (107), при движении точки z вдоль отрезка (0, 1) в определенном направлении точка η(z) будет двигаться по дуге окружности все время в одном и том же направлении, и отрезку (0, 1)может в некоторых случаях соответствовать не часть окружности,а полная окружность, налегающая сама на себя.Из всех предыдущих рассуждений вытекает следующий результат: функция (107), т.
е. частное двух независимых решений уравнения Гаусса, преобразует верхнюю полуплоскость конформно вобласть, ограниченную тремя дугами окружностей, или, иначеговоря, в круговой треугольник, не имеющий внутри точек разветвления. Определим теперь углы этого кругового треугольника.Возьмем ту вершину A треугольника, которая соответствует точкеz = 0.
Выберем основные решения по формуле (110), причем будемсчитать γ < 1. Обратимся к формуле (111). В окрестности точкиz = 0 мы будем иметь η(z) > 0 при z > 0, считая arg z = 0. Обойдя точку z = 0 по верхней полуплоскости, мы получим arg z = πи, следовательно, arg z 1−γ = π(1 − γ), и дробь формулы (111) приz, близком к нулю, будет вещественна и близка к единице. Таким472Гл.
V. Линейные дифференциальные уравнения[107образом, считая γ < 1, получим на плоскости η(z) две прямые, одна из которых идет из начала в направлении положительной частивещественной оси, а другая наклонена к этому направлению подуглом π(1 − γ). Если γ > 1, то мы могли бы взять вместо отношения (111) обратное отношение. Таким образом, при сделанномвыборе основных решений мы получаем в нашем круговом треугольнике угол π|1 − γ| при вершине, соответствующей точке z = 0.При всяком другом выборе основных решений будем иметь новыйтреугольник, который получается из прежнего дробно-линейнымпреобразованием, а такое преобразование, как известно, не меняетуглов, и, следовательно, в общем случае мы получим при вершинеA угол, по величине равный π|1 − γ|.
Точно так же в остальныхдвух вершинах кругового треугольника, соответствующих точкамz = 1 и z = ∞, будем иметь углы, по величине равные π|γ − α − β| иπ|β − α|. Направление отсчета углов, как всегда в конформном преобразовании, определяется из того факта, что при движении точкипо вещественной оси в положительном направлении точка двигается по контуру кругового треугольника так, что этот треугольникрасположен слева от двигающегося наблюдателя.Предыдущий результат можно формулировать следующим образом: величина угла треугольника плоскости η(z) равна произведению π на абсолютное значение разности корней определяющегоуравнения в соответствующей особой точке уравнения (62). Заметим, не приводя доказательства, что это свойство имеет место итогда, когда эта разность равна нулю (дуги окружностей касаются)или целому числу.Можно показать, что и, наоборот, всякий круговой треугольник,хотя бы и многолистный, но не имеющий внутри и на сторонах точек разветвления, может быть получен из верхней полуплоскостипри помощи конформного преобразования, совершаемого частнымдвух интегралов уравнения Гаусса при соответствующем подборепараметров α, β и γ.
В частности, можно брать обычный прямолинейный треугольник, который является частным случаем треугольника ограниченного дугами окружности. В этом частном случае мыможем выразить функцию, совершающую конформное преобразование, интегралом Кристоффеля [38].108]Преобразование Лапласа473108. Преобразование Лапласа. Изложим теперь новый метод интегрирования линейных дифференциальных уравнений второго порядка, а именно метод интегрирования при помощи контурных интегралов. Далее мы используем этот метод при исследованиинекоторых специальных функций, а также при изучении поведениярешений вблизи иррегулярной особой точки уравнения (1).
Мы подробно изложим упомянутый метод для уравнений видаzw + (a0 z + a1 )w + (b0 z + b1 )w = 0.(112)Это уравнение имеет, вообще говоря, регулярную особую точкуz = 0 и иррегулярную z = ∞. Будем искать его решение в видеw(z) = v(z )ezz dz ,(113)lгде v(z ) — искомая функция и l — искомый, не зависящий от zпуть интегрирования. Интегральное преобразование (113) называется обычно преобразованием Лапласа.Дифференцируя (113) по z, имеемw (z) = v(z )z ezz dz , w (z) = v(z )z 2 ezz dz .(114)llУмножая на z и интегрируя по частям, получимdv(z ) zz zz zz zw(z) = v(z )de = [v(z )e ]l −e dz ,dz lгде символl[ϕ(z )]lобозначает приращение функции ϕ(z ), когда z описывает контурl. Точно так же будем иметьd[v(z )z ] zz zw (z) = [v(z )z ezz ]l −e dzdz lГл.
V. Линейные дифференциальные уравнения474иzw (z) = [v(z )z 2 ezz ]l −[108d[v(z )z 2 ] zz e dz .dz lПоставим прежде всего условие, чтобы[v(z )(z 2 + a0 z + b0 )ez ]l = 0.(115)При подстановке предыдущих выражений в левую часть уравнения (112) внеинтегральные члены будут равны нулю в силу (115),и мы приведем это уравнение к виду d[v(z )z ]d[v(z )z 2 ]+ a0+dzdz ldv(z )− a1 z v(z ) − b1 v(z ) ezz dz = 0.+ b0dzОно будет наверно удовлетворено, если определить функциюv(z ) из уравненияd[v(z )z ]dv(z )d[v(z )z 2 ]+a+b− a1 z v(z ) − b1 v(z ) = 0. (116)00dz dz dz Рассмотрим квадратное уравнениеz 2 + a0 z + b0 = 0(117)и допустим, что оно имеет различные корни α1 и α2 . Уравнение(116) дает нам1 dv(a1 − 2)z + (b1 − a0 )=v dz (z − α1 )(z − α2 )или, разлагая дробь на простейшие,1 dvp−1q−1= + ,v dz z − α1z − α2гдеp=(a1 − 2)α1 + (b1 − a0 ) + (α1 − α2 ),α1 − α2(118)109]Различный выбор решенийq=(a1 − 2)α2 + (b1 − a0 ) + (α2 − α1 ).α2 − α1475(119)С другой стороны, из квадратного уравнения (117) получаемα1 + α2 = −a0 ,и предыдущие выражения p и q преобразуются к видуp=a1 α1 + b1,2α1 + a0q=a1 α2 + b1.2α2 + a0(120)Интегрируя уравнение (118), получимv(z ) = C(z − α1 )p−1 (z − α2 )q−1 ,(121)и, следовательно, решение уравнения (112) можно получить поформулеw(z) = C (z − α1 )p−1 (z − α2 )q−1 ezz dz ,(122)lгде C — произвольная постоянная, а контур l в силу (115) и (117)должен удовлетворять условию[(z − α1 )p (z − α2 )q ezz ]l = 0.(123)Отметим, что l надо выбирать так, чтобы интеграл, входящий вформулу (122), не был тождественно по z равен нулю.109.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
