1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 70
Текст из файла (страница 70)
полюс или существенно особая точка коэффициентов уравнения (1) называется регулярной особой точкой этогоуравнения, если разложения Лорана (26) или (30) содержат лишьконечное число членов с отрицательными степенями. Изменяя ρ1и ρ2 на целое число, мы всегда можем, в случае регулярной особойточки, достигнуть того, чтобы степенные ряды в формулах (26) или(30) вовсе не содержали членов с отрицательными степенями и начинались со свободного члена, т. е., например, вместо (26) в случаерегулярной особой точки мы можем написать⎫∞⎪⎪w1 = (z − z0 )ρ1ck (z − z0 )k ,⎬k=0(261 )(cиc=0).∞00⎪⎪ck (z − z0 )kw2 = (z − z0 )ρ2⎭k=0В других случаях, когда хоть одно из разложений в формулах(26) или (30) содержит бесчисленное множество членов с отрицательными степенями, особая точка называется иррегулярной.
Мыдолжны будем прежде всего указать критерий, согласно которому могли бы судить по коэффициентам уравнения о том, будет лиособая точка регулярной или иррегулярной.Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения430[101101. Регулярная особая точка. Пусть w1 и w2 — две аналитические функции, линейно независимые между собой. Нетруднопостроить линейное уравнение, для которого они будут решениями. Действительно, мы должны иметьw1 + p(z)w1 + q(z)w1 = 0,w2 + p(z)w2 + q(z)w2 = 0,и отсюда без труда определяются коэффициенты уравнения, аименно: [II, 24]:w w1 − w1 w2p(z) = − 2(32)w2 w1 − w1 w2иq(z) = −w1w− p(z) 1 .w1w1(33)Положим, что точка z = z0 является регулярной особой точкой.
Рассмотрим только случай ρ1 = ρ2 , так как случай формул(30) может быть разобран совершенно таким же образом. Будем вдальнейшем обозначать через Pk (z − z0 ) ряды, расположенные поцелым положительным степеням (z − z0 ) со свободным членом, отличным от нуля. Имеем в данном случае, по условию регулярностиособой точки z = z0 , решения видаw1 = (z − z0 )ρ1 P1 (z − z0 ),w2 = (z − z0 )ρ2 P2 (z − z0 ).Отсюдаw2= (z − z0 )ρ2 −ρ1 P3 (z − z0 ),w1так как частное двух степенных рядов со свободными членами естьтакже степенной ряд со свободным членом.
Дальше имеемΔ(z) =w2 w1−w1 w2=w12ddzw2w1== (z − z0 )2ρ1 P4 (z − z0 )d[(z − z0 )ρ2 −ρ1 P3 (z − z0 )]dz101]Регулярная особая точка431или, производя дифференцирование произведения и вынося заскобки (z − z0 )ρ2 −ρ1 −1 ,Δ(z) = (z − z0 )ρ1 +ρ2 −1 P5 (z − z0 )и, дифференцируя по z, получимΔ (z) = (ρ1 + ρ2 − 1)(z − z0 )ρ1 +ρ2 −2 P5 (z − z0 )++ (z − z0 )ρ1 +ρ2 −1 P5 (z − z0 ).Отсюдаp(z) = −1 − ρ1 − ρ2Δ (z)P (z − z0 )=,+ 5Δ(z)z − z0P5 (z − z0 )т.
е. p(z) может иметь в точке z = z0 полюс не выше первого порядка.Из выражения w1 путем дифференцирования непосредственноwследует, что w11 может иметь в точке z0 полюс не выше первогоw порядка, а w11 — полюс не выше второго порядка. Формула (33) приэтом показывает, что q(z) может иметь в точке z0 полюс не вышевторого порядка.Мы приходим, таким образом, к следующей теореме.Т е о р е м а I. Необходимым условием того, чтобы точка z0 была регулярной особой точкой, является то обстоятельство, чтокоэффициент p(z) имеет точку z0 полюсом не выше первого порядка, а коэффициент q(z) имеет точку z0 полюсом не выше второгопорядка, т. е.
уравнение имеет видw +p1 (z) q1 (z)w +w = 0,z − z0(z − z0 )2(34)где p1 (z) и q1 (z) — регулярные в точке z0 функции.Покажем теперь, что это условие не только необходимо, но идостаточно для регулярности особой точки. Напомним, что уравнения вида (34) суть как раз те уравнения, которые мы рассматривали раньше [II, 47] и для которых строили формально решения ввиде обобщенного степенного ряда. Но только прежде мы не занимались вопросом о сходимости построенных таким образом рядов.432Гл.
V. Линейные дифференциальные уравнения[101Сейчас мы разберем этот вопрос до конца и докажем, что построенные формально ряды будут сходящимися и будут давать решенияуравнения. Для простоты письма будем считать z0 = 0.Перепишем уравнение (34), умножая его на z 2 , в видеz 2 w + z(a0 + a1 z + . . .)w + (b0 + b1 z + .
. .)w = 0(35)и будем искать решение этого уравнения в следующей форме:w = zρ∞(36)ck z k .k=0Подставляя это в левую часть уравнения (35) и приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях z, получим уравнениядля определения коэффициентов ck . Эти уравнения будут иметьвид⎫c0 f0 (ρ) = 0,⎪⎪⎪⎪c1 f0 (ρ + 1) + c0 f1 (ρ) = 0,⎪⎪⎪⎪c2 f0 (ρ + 2) + c1 f1 (ρ + 1) + c0 f2 (ρ) = 0,⎬(37). . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⎪⎪⎪⎪⎪cn f0 (ρ + n) + cn−1 f1 (ρ + n − 1) + . . . + c0 fn (ρ) = 0,⎪⎪⎪⎭...................................................где мы для краткости ввели следующие обозначения:f0 (λ) = λ(λ − 1) + λa0 + b0 ,fk (λ) = λak + bk(k = 1, 2, .
. .).(38)Как уже упоминалось, можно считать c0 = 0, и первое из уравнений (37) дает квадратное уравнение для определения показателястепени ρ:f0 (ρ) = ρ(ρ − 1) + ρa0 + b0 = 0.(39)Это уравнение называется обычно определяющим уравнениемв рассматриваемой особой точке.
Положим, что ρ1 есть некоторый101]Регулярная особая точка433корень этого уравнения такой, что при всяком целом положительном n имеет место условиеf0 (ρ + n) = 0(n = 1, 2, . . .).(40)При этом уравнения (37), начиная со второго, дадут нам возможность определить последовательно c1 , c2 , . .
. Первый коэффициент c0 останется произвольным и будет, очевидно, играть рольпроизвольного постоянного множителя, так что мы можем, например, положить c0 = 1. Мы должны теперь еще показать, что построенный таким образом ряд, входящий в формулу (36), будет рядом,сходящимся в некоторой окрестности точки z = 0.Пусть R есть круг сходимости рядов, входящих в коэффициенты уравнения (35). Если R1 есть некоторое положительное число,меньше R, то мы имеем для коэффициенов ak и bk этих рядов следующую оценку [14]:|ak | <m1,R1k|bk | <m2,R1kгде m1 и m2 — некоторые постоянные. Отсюда|ak | + |bk | <m 1 + m2,R1kи, следовательно, взяв M m1 + m2 , будем иметь оценку вида|ak | + |bk | <M.R1k(41)Отношение|ρ| + n|ρ| + n=f0 (ρ + n)(ρ + n)(ρ + n − 1) + (ρ + n)a0 + b0при беспредельном возрастании n будет стремиться к нулю, таккак числитель есть полином первой степени от n, а знаменатель —полином второй степени.
Следовательно, можно фиксировать такоецелое положительное число N , что|f0 (ρ + n)| > |ρ| + nпри n N.(42)Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения434[101Из формул (37) имеемcn = −f1 (ρ+n−1)f2 (ρ + n − 2)fn (ρ)cn−1 −cn−2 − . . . −c0 ,f0 (ρ+n)f0 (ρ + n)f0 (ρ + n)откуда|cn | |f1 (ρ+n−1)||f2 (ρ+n−2)||fn (ρ)||cn−1 |+|cn−2 |+. . .+|c0 |.|f0 (ρ+n)||f0 (ρ+n)||f0 (ρ+n)|(43)Далее,fk (ρ + n − k) = bk + (ρ + n − k)ak ,|fk (ρ + n − k)| < |bk | + (|ρ| + n)|ak |(k = 1, 2, . .
. , n),поэтому и подавно|fk (ρ + n − k)| < (|ρ| + n)(|ak | + |bk |).(44)Всегда можно выбрать достаточно большое положительное число P так, что для первых N коэффициентов будет иметь местооценкаPk|ck | k (k = 0, 1, . . . , N − 1).(45)R1Напомним, что мы считаем c0 = 1. Будем, кроме того, считать,что P во всяком случае выбрано так, чтоP > 1 + M.(46)Для остальных коэффициентов, начиная с cN , мы уже можемпользоваться неравенством (42). Докажем, пользуясь этим неравенством, что если оценка (45) имеет место для всех ck от c0 доcn исключительно, то она имеет место и для cn . Действительно, всилу (42), (43) и (44) будем иметь|cn | < (|a1 | + |b1 |)|cn−1 | + (|a2 | + |b2 |)|cn−2 | + .
. . ++ (|an | + |bn |)|c0 |101]Регулярная особая точка435или в силу (41)|cn | <MMM|cn−1 | + 2 |cn−2 | + . . . + n |c0 |,R1R1R1или, предполагая, что для c0 , c1 , . . . , cn−1 имеет место оценка (45):|cn | <MM (P n − 1) 1(P n−1 + P n−2 + . . . + 1) =.nR1P − 1 R1n(47)Покажем теперь, чтоM (P n − 1)< P n.P −1(48)Действительно, это неравенство равносильно следующему:P n+1 − (1 + M )P n + M > 0илиP n [P − (1 + M )] + M > 0.Это последнее непосредственно вытекает из (46). Неравенства(47) и (48) даютPn|cn | n ,R1и наше утверждение доказано.Итак, оценки (45) имеют место до значка k = N −1 включительно в силу выбора числа P .
Для дальнейших значков имеет местонеравенство (42), пользуясь которым мы показали, что если оценка(45) имеет место до некоторого значка, то она имеет место и дляследующего значка. Таким образом мы доказали, что оценка (45)имеет место для любого значка, т. е. при любом n имеем|cn | Но рядPn.R1n∞Pn nzR1nn=0436Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения[101наверно абсолютно сходится в круге |z| < RP1 . Следовательно, вэтом круге и ряд, входящий в формулу (36), члены которого помодулю не больше членов предыдущего ряда, также обязательнобудет абсолютно сходящимся, и его, конечно, можно почленно дифференцировать, как всякий степенной ряд.Таким образом, мы показали, что формула (36) дает действительно решение нашего уравнения в некоторой окрестности точкиz = 0. Покажем теперь, что ряд (36) сходится во всем круге |z| < R,где сходятся ряды, входящие в коэффициенты уравнения (35).
Действительно, в противном случае функция, определенная в окрестности z = 0 степенным рядом, входящим в формулу (36), должнабыла бы иметь внутри круга |z| < R особую точку при аналитическом продолжении [18] (отличную от точки z = 0). Но этого неможет быть, так как коэффициенты уравнения (35) суть регулярные функции во всем круге |z| < R, кроме точки z = 0, и, согласнорезультату [100], решение не может иметь там особых точек прианалитическом продолжении.Если разность корней квадратного уравнения (39) не есть целоечисло, то для каждого из корней выполнено условие (40), и можно таким образом построить два решения вида (36), причем этирешения будут, очевидно, линейно независимыми (ρ1 = ρ2 ).Перейдем теперь к разбору такого случая, когда квадратноеуравнение (39) имеет одинаковые корни или такие различные корни, разность которых есть целое число.В первом случае, используя единственный корень уравнения,мы построим указанным выше способом одно решение вида (36),и надо будет находить еще второе решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
