1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 72

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 72)

В этом случае суммы, входящие в формулы (56),должны содержать по одному слагаемому, и, принимая во вниманиеусловие (57), получимw +ABw +w = 0,z−α(z − α)2где α есть единственная особая точка, лежащая на конечном расстоянии.Это уравнение есть линейное уравнение Эйлера [II, 42], и оноприводится, как мы знаем, простой подстановкойτ = ln(z − α)к уравнению с постоянными коэффициентами.В следующем номере мы займемся подробным исследованиемуравнения класса Фукса с тремя особыми точками.444Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения[103Напомним читателю уравнение Бесселя [II, 48]z 2 w + zw + (z 2 − p2 )w = 0,которым мы занимались раньше. Это уравнение имеет регулярнуюособую точку в начале z = 0. Коэффициент при w в окрестностибесконечно далекой точки не удовлетворяет условию (55), и, следовательно, точка z = ∞ будет иррегулярной особой точкой дляуравнения Бесселя, т. е.

уравнение Бесселя имеет две особые точки:регулярную особенность z = 0 и иррегулярную особенность z = ∞.103. Уравнение Гаусса. Перейдем к рассмотрению уравнения класса Фукса с тремя особыми точками. Пользуясь дробнолинейным преобразованием плоскости независимого переменного,мы можем, не ограничивая общности, считать, что эти особые точки сутьz = 0, z = 1 и z = ∞.Обозначим корни определяющего уравнения в этих точках следующим образом:α1 , α2 ; β1 , β2 ; γ1 , γ2 .Для коэффициентов уравнения получим следующие выражения:A2A1+,zz−1B1C2B2C1q(z) = 2 ++,+2z(z − 1)zz−1p(z) =гдеC1 + C2 = 0.(60)Уравнениеρ(ρ − 1) + A1 ρ + B1 = 0по условию имеет корни α1 и α2 , откуда непосредственно вытекаетA1 = 1 − (α1 + α2 ),B1 = α1 α2 .103]Уравнение Гаусса445Точно так же из определяющего уравнения в точке z = 1 получимA2 = 1 − (β1 + β2 ), B2 = β1 β2 .Определяющее уравнение в точке z = ∞ будет иметь видρ(ρ − 1) + (α1 + α2 + β1 + β2 )ρ + α1 α2 + β1 β2 + C2 = 0.Подставляя сюда один из его корней ρ = γ1 найдем выражениедля C2 :C2 = −γ1 (γ1 − 1) − (α1 + α2 + β1 + β2 )γ1 − (α1 α2 + β1 β2 ),и условие (60) даст нам, наконец, C1 = −C2 .

Таким образом, в случае трех особых точек оказывается, что коэффициенты уравнениявполне определяются по корням определяющих уравнений в особыхточках. Из предыдущих вычислений непосредственно вытекает, чтоможно произвольно задавать эти корни для точек z = 0 и z = 1,а для точки z = ∞ можно произвольно задать лишь один корень.Второй корень вполне определится из того условия, что в данномслучае сумма всех шести корней должна равняться единице (числуособых точек на конечном расстоянии, уменьшенному на единицу).Всякое решение построенного уравнения обозначают иногда следующим символом:⎛⎞01∞P ⎝α1 β1 γ1 ; z ⎠ ,(61)α2 β2γ2который был введен Риманом.Введем теперь некоторое элементарное преобразование функции w для того, чтобы упростить вид уравнения. Заметим, что есливместо w введем новую искомую функцию u по формуле,w = z p (z − 1)q u,u = z −p (z − 1)−q w,то для новой функции получим также уравнение с тремя регулярными особенностями: z = 0, z = 1 и z = ∞, но только наличиемножителя z −p (z − 1)−q даст нам вместо корней α1 и α2 определяющего уравнения в точке z = 0 для u новые корни α1 − p и α2 − p.446Гл.

V. Линейные дифференциальные уравнения[104Точно так же в точке z = 1 новые корни определяющего уравнениябудут β1 − q и β2 − q. Выбирая p = α1 и q = β1 , можно достигнутьтого, чтобы в особых точках z = 0 и z = 1 один из корней определяющего уравнения был равен нулю, что мы и будем считать вдальнейшем.Введем теперь новые обозначения.

Обозначим через α и β корниопределяющего уравнения в точке z = ∞. Для точки z = 0 будемиметь один корень, равный нулю, а второй корень обозначим через1 − γ. Наконец, для точки z = 1 будем иметь один корень нуль,а второй корень определится из того условия, что сумма всех шести корней должна равняться единице, и он, следовательно, будетγ − α − β. Таким образом, вместо общего символа (61) можем рассматривать следующий частный случай:⎞⎛01∞0α; z ⎠ .(611 )P⎝ 01−γ γ−α−ββКоэффициенты уравнения определятся из предыдущих вычислений, если положить тамα1 = 0; α2 = 1 − γ; β1 = 0; β2 = γ − α − β; γ1 = α; γ2 = β.Мы получим, таким образом, уравнение видаw +−γ + (1 + α + β)z αβw +w = 0.z(z − 1)z(z − 1)(62)Это уравнение называется гипергеометрическим дифференциальным уравнением, или уравнением Гаусса.

Перейдем теперь к построению его решений вблизи особых точек.104. Гипергеометрический ряд. Построим сначала решенияуравнения (62) в окрестности особой точки z = 0. Эти решениядолжны иметь видP1 (z); z 1−γ P2 (z),(63)где P1 (z) и P2 (z) — ряды Маклорена со свободным членом. Найдем сначала первое из написанных решений. Перепишем для этого104]Гипергеометрический ряд447уравнение (62) в видеz(z − 1)w + [−γ + (1 + α + β)z]w + αβw = 0и подставим в его левую частьw1 = 1 + c1 z + c2 z 2 + .

. .Применяя обычный метод неопределенных коэффициентов, получим окончательно решение следующего вида:α(α + 1)β(β + 1) 2αβz+z + ...+1!γ2!γ(γ + 1)α(α + 1) . . . (α + n − 1)β(β + 1) . . . (β + n − 1) nz + . . . , (64)+n!γ(γ + 1) . . . (γ + n − 1)w1 = F (α, β, γ; z) = 1 +где через F (α, β, γ; z) мы обозначили бесконечный ряд, стоящийсправа. Поскольку ближайшая к началу особая точка уравненияесть точка z = 1, мы можем утверждать, что написанный ряд наверно сходится в круге |z| < 1.

Этот ряд называется обычно гипергеометрическим рядом. При α = β = γ = 1 он превращается вгеометрическую прогрессию. Мы занимались исследованием этогоряда еще раньше [I, 141].Для определения второго из решений (63) воспользуемся темэлементарным преобразованием функции, о котором мы говорилив предыдущем номере. Введем вместо w новую искомую функциюпо формуле1w = z 1−γ u, u = z γ−1 w = 1−γ w.(65)zДля новой искомой функции корни 0 и (1 − γ) определяющегоуравнения в точке z = 0 перейдут в (γ − 1) и 0. Корни 0 и (γ − α − β)в точке z = 1 останутся прежними, и, наконец, в силу второй изформул (65) корни α и β в точке z = ∞ перейдут в (α + 1 − γ) и(β + 1 − γ).Действительно, до преобразования разложения решений вблизиz = ∞ имели вид α β 1111w1 =и w2 =,P1P2zzzz448Гл.

V. Линейные дифференциальные уравнения[104и после преобразования они будут иметь вид α+1−γ β+1−γ 1111и u2 =.u1 =P1P2zzzzСледовательно, новая искомая функция u будет определятьсяследующим символом:⎞⎛01∞0α + 1 − γ; z ⎠ .P⎝ 0γ−1 γ−α−ββ+1−γСравнивая этот символ Римана с символом (611 ) и обозначая черезα1 , β1 и γ1 значения параметров (α, β, γ), соответствующие новомусимволу Римана, получим1 − γ1 = γ − 1, α1 = α + 1 − γ, β1 = β + 1 − γ,т. е.α1 = α + 1 − γ, β1 = β + 1 − γ, γ1 = 2 − γ.Решение нового уравнения, регулярное в начале z = 0, будетсогласно предыдущемуu = F (α1 , β1 , γ1 ; z) = F (α + 1 − γ, β + 1 − γ, 2 − γ; z),откуда в силу (65) получаемw2 = z 1−γ F (α + 1 − γ, β + 1 − γ, 2 − γ; z).Это и будет второе из решений (63).Перейдем теперь к отысканию решений уравнения (62) в окрестности особой точки z = 1.

Введем для этого новую независимуюпеременную по формулеz = 1 − z.Точка z = 0 перейдет в z = 1, точка z = 1 перейдет в z = 0, и,наконец, z = ∞ перейдет в z = ∞. Таким образом, и по отношению104]Гипергеометрический ряд449к новой независимой переменной мы будем иметь также уравнениеГаусса, и функция w определится следующим символом:⎛⎞01∞00α; z ⎠ ,P⎝γ−α−β 1−γβоткуда для параметров (α, β, γ) получим значенияα1 = α,β1 = β,γ1 = 1 + α + β − γ.В окрестности z = 0 мы будем иметь два решения:F (α, β, 1 + α + β − γ; z ),z γ−α−β F (γ − β, γ − α, 1 + γ − α − β; z ),или, переходя к прежней независимой переменной, получим следующие два решения в окрестности z = 1:w3 = F (α, β, 1 + α + β − γ; 1 − z),(641 )w4 = (1 − z)γ−α−β F (γ − β, γ − α, 1 + γ − α − β; 1 − z).Для построения интегралов в окрестности z = ∞ совершим преобразование независимого переменного:z =1,zz=1,zкоторое сохраняет точку z = 1 и переставляет точки z = 0 и z = ∞.В новой переменной функция w определится следующим символом:⎛⎞01∞00; z ⎠ .P ⎝αβ γ−α−β 1−γСовершая дальше замену функцииw = z α u,u=1w,z α(651 )450Гл.

V. Линейные дифференциальные уравнения[104мы для функции u получим символ, соответствующий уравнениюГаусса:⎞⎛01∞0α; z ⎠ .P⎝ 0β −α γ −α−β 1+α−γПараметры для этого уравнения Гаусса будутα1 = α,β1 = 1 + α − γ,γ1 = 1 + α − β,и мы будем иметь для функции u следующие два решения в окрестности z = 0:u1 = F (α, 1 + α − γ, 1 + α − β; z ),u2 = z β−α F (β, 1 + β − γ, 1 + β − α; z ),откуда, принимая во внимание (651 ) и z = 1/z, получим два решения уравнения (62) в окрестности z = ∞:⎫ α 11 ⎪w5 =,⎪F α, 1 + α − γ, 1 + α − β;⎪zz ⎬(642 ) β 11 ⎪⎪⎪w6 =.⎭F β, 1 + β − γ, 1 + β − α;zzТаким образом, все шесть решений, которые мы определили вокрестности каждой из особых точек, выражаются через гипергеометрический ряд. Заметим, что во всех предыдущих вычисленияхмы считали, что разность корней определяющих уравнений отлична от целого числа. Принимая во внимание расположение особыхточек, можем утверждать, что формулы (641 ) имеют место при|z − 1| < 1, а формулы (642 ) — при |z| > 1.

Характеристики

Список файлов книги