1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Из этого равенства непосредственно вытекает, что матрица e−Y обратна матрице eY и что определитель матрицы eY отличен от нуля. Заметим, что если Y и Z —две различные матрицы, которые не коммутируют, то произведениеeY eZ не будет, вообще говоря, равно eY +Z .Итак, из формулы (104) и доказанного свойства показательнойматрицы непосредственно вытекает, что если определитель матрицы X (0) , составленной из начальных условий, отличен от нуля, тоопределитель матрицы X будет отличным от нуля при всяком t. Вэтом случае матрица X будет давать n линейно независимых решений системы (102). Покажем теперь, что если Y есть матрица,которая дает какие-нибудь n решений системы (102), то она выражается через матрицу X, упомянутую выше, при помощи формулыY = XB,(107)где B есть некоторая матрица с постоянными элементами.
Формула(107) выражает, очевидно, тот факт, что всякое решение системывыражается линейным образом через n линейно независимых решений системы. Для доказательства формулы (107) заметим преждевсего, что по условию Y должно удовлетворять уравнению (102),т.
е.dY= AY.(108)dtКроме того, по условию определитель матрицы X, также удовлетворяющей уравнению (102), отличен от нуля, а следовательно,существует обратная матрица X −1 . Согласно правилу дифференцирования обратной матрицы мы будем иметьdX −1dX −1= −X −1Xdtdtили, принимая во внимание формулу (102), получимdX −1= −X −1 AXX −1 = −X −1 A,dtСоставим теперь производную от произведенияdYddX −1(X −1 Y ) =Y + X −1,dtdtdt(109)410Гл. IV. Аналитические функции многих переменных. .
.[97откуда в силу (108) и (109)d(X −1 Y ) = −X −1 AY + X −1 AY,dtт. е.d(X −1 Y ) = 0.dtМы видим, таким образом, что произведение X −1 Y есть некоторая матрица B, элементы которой не зависят от t, откуда и вытекает непосредственно формула (107).97. Функции нескольких матриц. Перейдем теперь к выяснению основных понятий и фактов, связанных с функцияминескольких матриц. Ввиду некоммутативности вся теория функций нескольких переменных матриц представляется гораздо болеесложной, чем теория функций одной переменной матрицы, и мыограничимся лишь рассмотрением самых основных элементов теории функций нескольких матриц.Начнем со случая полинома. Общий вид однородного полиномавторой степени от двух матриц будетaX12 + bX1 X2 + cX2 X1 + dX22 .Однородный полином второй степени от l переменных матрицбудет иметь видlaik Xi Xk ,i, k=1где суммирование производится по переменным i и k, которые пробегают независимо друг от друга все целые значения от 1 до l.
Однородный полином степени m от l переменных матриц будет иметьвидlaj1 , ..., jm Xj1 . . . Xjm .(110)j1 , ..., jm =1Здесь, как и в предыдущем, aj1 , ..., jm обозначают некоторые численные коэффициенты. В формуле (110) каждая из переменных97]Функции нескольких матриц411суммирования jk пробегает все целые значения от 1 до l, так чтонаписанная сумма будет содержать всего lm слагаемых. Рассмотрим теперь тот частный случай, когда в формуле (110) все коэффициенты aj1 , ..., jm равны единице:lXj1 .
. . Xjm .(111)j1 , ..., jm =1Нетрудно проверить, что сумма (111) представляет собою степень суммы матриц Xjk , т. е.l(X1 + . . . + Xl )m =Xj1 . . . Xjm .(112)j1 , ..., jm =1Так, например,(X1 + X2 )2 = (X1 + X2 )(X1 + X2 ) = X12 + X1 X2 + X2 X1 + X22 .Перейдем теперь к рассмотрению степенного ряда от l матриц.Такой ряд может быть записан в видеa0 +∞laj1 , ..., jm Xj1 . . . Xjm .(113)m=1 j1 , ..., jm =1Полное исследование сходимости этого ряда представляет гораздо большие трудности, чем в случае степенного ряда от однойматрицы, и мы ограничимся лишь доказательством достаточногоусловия абсолютной сходимости ряда (113). Заметим при этом, чторяд (113), как и в случае ряда от одной матрицы, называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд|a0 | +∞l|aj1 , ..., jm ||Xj1 | . .
. |Xjm |,(114)m=1 j1 , ..., jm =1причем сходимость этого последнего ряда гарантирует и сходимость ряда (113) и независимость суммы этого ряда от порядка412Гл. IV. Аналитические функции многих переменных. . .[97слагаемых. Фиксируем целое число m и обозначим через a(m) наибольший из модулей |aj1 , ..., jm |, т. е.|aj1 , ..., jm | a(m) .(115)Составим ряд обычного комплексного переменного∞a(m) z m ,(116)m=1и пусть nρ — его радиус сходимости, где n — порядок матриц. Заменяя в ряде (114) коэффициенты |aj1 , ..., jm | бо́льшими, а именноa(m) , будем иметь рядa0 +∞a(m)m=1l|Xj1 | . . .
|Xjm |,j1 , ..., jm =1который можно переписать, очевидно, в видеa0 +∞a(m) (|X1 | + . . . + |Xl |)m .(117)m=1Этот ряд можно рассматривать как степенной ряд от одной матрицыZ = |X1 | + . . . + |Xl |,и, принимая во внимание, что радиус сходимости ряда (116) равен nρ, можем утверждать [87], что ряд (117) будет сходиться приусловии|X1 | + . . . + |Xl | < ||ρ||.(118)При этом ряд (114) и подавно будет сходящимся.
Получаем, таким образом, следующую теорему.Т е о р е м а. Если положительные числа a(m) определяются изусловия (115), и ряд (116) имеет радиус сходимости nρ, то степенной ряд (113) абсолютно сходится при условии (118).В частном случае, если радиус сходимости ряда (116) равен бесконечности, то ряд (113) будет абсолютно сходящимся при любомвыборе матриц Xk .97]Функции нескольких матриц413Заметим еще, что функция f (X1 , .
. . , Xl ), определяемая каксумма ряда (113), удовлетворяет очевидному соотношениюf (SX1 S −1 , . . . , SXl S −1 ) = SF (X1 , . . . , Xl )S −1 ,где S — любая матрица с определителем, отличным от нуля. Совершенно аналогичное свойство мы имели раньше для аналитическойфункции от одной переменной матрицы.Отметим в заключение, не останавливаясь на доказательстве,одну особенность степенных рядов многих матриц в отношении теоремы единственности.
Здесь теорема единственности читается так:если равенствоa0 +∞laj1 , ..., jm Xj1 . . . Xjm =m=1 j1 , ..., jm =1= b0 +∞lbj1 , ..., jm Xj1 . . . Xjmm=1 j1 , ..., jm =1имеет место для всех матрицX 1 , . . . , Xlлюбого порядка, достаточно близких к нулевой матрице, то b0 = a0и bj1 , ..., jm = aj1 , ..., jm .Если бы мы опустили в формулировке требование любого порядка, то теорема оказалась бы несправедливой. В частности, можнопостроить однородный полином с коэффициентами, отличными отнуляlcj1 , ..., jm Xj1 .
. . Xjm ,j1 , ..., jm =1обращающийся тождественно в нуль для всех матриц Xs определенного порядка.414Гл. IV. Аналитические функции многих переменных. . .[97Построение общей теории аналитических функций от матрици ее приложение к теории систем линейных дифференциальныхуравнений было дано в работах И. А. Лаппо-Данилевского, напечатанных в Журнале Ленинградского физико-математического общества. В настоящее время все материалы, оставшиеся после смерти И.
А. Лаппо-Данилевского, опубликованы в Трудах Математического института Академии наук.ГЛАВА VЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯ98. Разложение решения в степенной ряд. Во втором томе мы рассматривали линейные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами и, в частности, занимались интегрированием таких уравнений при помощи степенных рядов. Там мыограничились лишь тем, что показали, что можно формально удовлетворить уравнению некоторым степенным рядом, не доказываясходимости этого ряда. Сейчас мы дадим полное и систематическоеисследование линейных уравнений второго порядка, коэффициенты которых суть аналитические функции комплексного переменного.
Независимую переменную в дифференциальном уравнении мыбудем, таким образом, считать комплексной переменной, а искомуюфункцию и коэффициенты — аналитическими функциями.Напишем линейное уравнение второго порядка в видеw + p(z)w + q(z)w = 0,(1)где w и w суть производные искомой функции w по комплекснойпеременной z.Пусть, кроме того, имеются начальные условияw|z=z0 = c0 ; w |z=z0 = c1 .(2)Положим, что коэффициенты p(z) и q(z) суть регулярные функции в некотором круге |z − z0 | < R. Покажем, что внутри этогокруга существует решение уравнения (1) (регулярная функция),416Гл.
V. Линейные дифференциальные уравнения[98удовлетворяющее условиям (2). Вводя, кроме w, новую искомуюфункцию u = w , можно переписать уравнение (1) в виде системыдвух уравнений первого порядкаdu= −p(z)u − q(z)w;dzdw= u.dzДля симметрии в формулах мы будем рассматривать общий случай системы двух линейных уравнений с двумя искомыми функциямиdudv= a(z)u + b(z)v,= c(z)u + d(z)v(3)dzdzи покажем, что такая система имеет регулярное решение внутрикруга |z − z0 | < R, удовлетворяющее любым начальным условиямu|z=z0 = α,v|z=z0 = β,(4)если коэффициенты системы (3) суть регулярные функции внутриупомянутого круга.Воспользуемся при этом тем же методом последовательных приближений, которым мы уже пользовались в томе II.
Весь ход доказательства будет совершенно таким же, как и там. Вместо системы(3) с начальными условиями (4) напишем уравнения в интегральной форме:zu=α+z[a(z)u + b(z)v]dz, v = β +z0[c(z)u + d(z)v]dz.(5)z0Рассмотрим круг K : |z − z0 | < R1 , где R1 — некоторое положительное число, меньшее R. В этом круге вплоть до его контуракоэффициенты суть регулярные функции, и, следовательно, имеютместо неравенства|a(z)| < M, |b(z)| < M, |c(z)| < M, |d(z)| < M,(6)где M — некоторое определенное положительное число. Применяяметод последовательных приближений, положимu0 (z) = α,v0 (z) = β(7)98]Разложение решения в степенной ряди вообщеzun+1 (z) = α +z0zvn+1 (z) = β +⎫⎪⎪[a(z)un + b(z)vn ]dz,⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪[c(z)un + d(z)vn ]dz.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
