1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 63
Текст из файла (страница 63)
. . (z −zn )k=1(64)Непосредственно видно, что выражение, стоящее справа, естьполином от z степени не выше (n − 1). Если мы положим, например, z = z1 , то в правой части все слагаемые, кроме первого, обратятся в нуль, а в первом слагаемом дробь будет очевидно равна единице, т. е. Pn−1 (z1 ) = w1 , и точно так же вообщеPn−1 (zk ) = wk .Если f (z) есть функция, регулярная в некоторой области, и точки zk принадлежат этой области, то формулаPn−1 (z) =n(z − z1 ) . .
. (z − zk−1 )(z − zk+1 ) . . . (z − zn )f (zk )(zk − z1 ) . . . (zk − zk−1 )(zk − zk+1 ) . . . (zk − zn )k=1(65)дает тот единственный полином степени не выше (n − 1), значения которого в точках zk совпадают со значениями функции f (z).Этот полином называется обычно интерполяционным полиномомRn−1 (z) =386Гл. IV. Аналитические функции многих переменных. . .[90Лагранжа для точек zk , а формула (65) называется интерполяционной формулой Лагранжа.Общий полином степени (n − 1)α0 + α1 z + . . .
+ αn−1 z n−1содержит всего n параметров αs . В формуле Лагранжа эти параметры определяются из n условий, а именно из тех условий, что вточках zk значения полинома должны равняться f (zk ). Поставимтеперь задачу более общим образом. Положим опять, что f (z) регулярна в некоторой области и что внутри этой области задано jточек z1 , z2 , . . . , zj , и требуется построить полином степени невыше (n − 1), у которого бы в точке zk совпадали его значение изначения всех его производных до порядка (pk − 1) с соответствующими значениями функции f (z), т. е.
Pn−1 (z) и является искомыминтерполяционным полиномом. Мы будем обозначать его в дальz 1 , . . . , zmнейшем символом h z;, причем все zk различны. Приp 1 , . . . , pmn = 2 имеемz − z1z − z2z1 z2=h z;f (z1 ) +f (z2 ),1 1z2 − z1z1 − z2zh z; 1 = f (z1 ) + (z − z1 )f (z1 ).2Первая формула получается для n = 2 из формулы (65). В общем случае имеем, как нетрудно показать,z , . . . , zm=h z; 1p 1 , . . . , pmm=[ak,1 + ak,2 (z − zk ) + .
. . + ak,pk (z − zk )pk −1 ]Qk (z), (66)k=1гдеak,j(j−1) f (z)1=;(j − 1)! Qk (z)z=zk91]Тождество Кейли. Формула СильвестраQk (z) =R(z);(z − zk )pk387R(z) = (z − z1 )p1 . . . (z − zm )pm .z , . . . , zmДействительно, легко проверить, что полином P (z) = h z; 1p 1 , . .
. , pmимеет степень не выше p1 + . . . + pm − 1 и удовлетворяет условиямP (zj ) = f (zj ), . . . , P (pj −1) (zj ) = f (pj −1) (zj ) (j = 1, . . . , m).Формула (65) получается при m = n, p1 = p2 = . . . = pn = 1.91. Тождество Кейли. Формула Сильвестра. Назовем полином Q(z) со старшим коэффициентом, равным единице, аннулирующим полиномом матрицы X, если Q(X) = 0. Из формул (61),(61 ), примененных к f (z) ≡ Q(z), непосредственно следует, чтообращение в нуль значений Q(z) на спектре матрицы X являетсянеобходимым и достаточным условием того, что Q(z) есть аннулирующий полином матрицы X. Используя это и принимая во внимание сказанное в [90], легко построить аннулирующий полиномминимальной степени.
Он имеет вид$1 )p1 . . . (z − λ$m )pm ,Q0 (z) = (z − λ$1 , . . . , λ$m — полный набор различных собственных значений Xгде λи pk — наибольшая степень элементарного делителя, соответствующего собственному значению λ = λk . Если матрица X порядка nимеет n различных собственных значений, то$1 ) . . .
(z − λ$n ).Q0 (z) = (z − λЕсли же у матрицы имеются кратные собственные значения, новсем им соответствуют простые элементарные делители, то$1 ) . . . (z − λ$m ).Q0 (z) = (z − λИз изложенного следует, что всякий аннулирующий полином Q(z)должен делиться на Q0 (z), и общий вид аннулирующего полиномаследующий: Q(z) = Q0 (z)R(z), где R(z) — любой полином.Гл.
IV. Аналитические функции многих переменных. . .388[91Характеристический полином матрицы X имеет видD(z) = Δ(zI − X) =nak z k(a0 = 1),k=0где Δ(zI − X) — определитель матрицы zI − X. Он представим ввидеD(z) = (z − λ1 )q1 . . . (z − λm )qm ,(67)где qk — кратность собственного значения λk и, очевидно, qk pk ,т. е. D(z) = Q0 (z)R1 (z), где R1 (z) — полином (или R1 (z) ≡ 1).
Отсюда следует, что D(z) — аннулирующий полином:D(X) = 0.(671 )Это соотношение называется тождеством Кейли. Отметим, что вслучае, если для всех собственных значений элементарные делители просты, т. е. если X = S[λ1 , . . . , λn ]S −1 , то тождество Кейлинепосредственно следует из (571 ). Действительно, D(λk ) = 0, и отсюдаD(X) = S[D(λ1 ), . . .
, D(λn )]S −1 = 0.Перейдем к построению полинома P (X), совпадающего с заданной функцией f (X) при условии принадлежности всех λk открытому кругу сходимости f (z). Полином P (X) минимальной степени,обладающий таким свойством (его мы обозначим через P0 (X)), получается путем интерполирования. Из изложенноговыше следует,$$mλ1 , . . .
, λзачто полином P0 (X) получается из полинома h z;p 1 , . . . , pmменой z на X. Если у матрицы X все характеристические числаразличны, тоP0 (X) = f (X) =n$$$$$k ) (X − λ1 I) . . . (X − λk−1 I)(X − λk+1 I) . . . (X − λn I) .=f (λ$k − λ$1 ) . . . (λ$k − λ$k−1 )(λ$k − λ$k+1 ) . . . (λ$k − λ$n )(λk=1Эта формула называется формулой Сильвестра. Бесконечный ряд$k ). Если среди хараквходит в эту формулу лишь посредством f (λтеристических чисел есть совпадающие, но всем им соответствуют91]Тождество Кейли. Формула Сильвестра389простые элементарные делители, тоP0 (X) = f (X) =m$$$$$k ) (X − λ1 I) .
. . (X − λk−1 I)(X − λk+1 I) . . . (X − λm I) ,=f (λ$k − λ$1 ) . . . (λ$k − λ$k−1 )(λ$k − λ$k+1 ) . . . (λ$k − λ$m )(λk=1$m — полный набор различных характеристических чи$1 , . . . , λгде λсел. В общем случае имеем$m$ , ..., λλP0 (X) = f (X) = h X, 1,p 1 , . . . , pmλ1 , . . . , λmопределяется формулой (66).где полином h z;p 1 , . . . , pmП р и м е р 1. Для матриц второго порядка при λ1 = λ2 получаемP0 (X) =X − λ1 IX − λ2 If (λ1 ) +f (λ2 ).λ2 − λ1λ1 − λ2Если λ1 = λ2 и имеется один элементарный делитель второго порядка, тоP0 (x) = f (λ1 )I + (X − λ1 )f (λ1 ).Если же имеется два простых элементарных делителя, т. е.###λ1 0 ##X=## 0 λ1 # = λ1 I,тоP0 (X) = f (λ1 I) = f (λ1 )I.Последнее равенство имеет место и для матриц X = λ1 I любогопорядка.П р и м е р 2. Рассмотрим матрицу третьего порядка, имеющуюодно собственное значение λ1 кратности два и другое λ2 = λ1 —простое.
Если числу λ1 соответствует один элементарный делитель(λ − λ1 )2 , то имеемf (λ1 ) + f (λ1 )(X − λ1 I)f (λ2 )2(X −λ2 I)+(X −λ1 I) .P0 (X) =λ1 − λ2(λ2 − λ1 )2390Гл. IV. Аналитические функции многих переменных. . .[92Если же числу λ1 , соответствуют два простых элементарных делителя, тоX − λ1 IX − λ2 I(X) =f (λ1 ) +f (λ2 ).λ2 − λ1λ1 − λ292. Определение функций одной матрицы формулойКоши. Пусть B — совокупность конечного числа m замкнутых, односвязных и непересекающихся областей Bj плоскости комплексного переменного z, ограниченных гладкими кривыми lj .
Пусть, далее, X — матрица, все собственные значения которой лежат строговнутри областей Bj , и f (x) — функция, регулярная в замкнутых областях Bj . Определим f (X) формулой, аналогичной формуле Кошидля f (z):m 1 f (X) =(zI − X)−1 f (z)dz,(68)2πi j=1ljпричем написанный интеграл применяется поэлементно по отношению к матричной функции, стоящей под знаком интеграла.
Отметим, что согласно сказанному выше определитель матрицы (zI −X)не обращается в нуль на lj . Контуры lj можно деформировать ссохранением этого условия, и, в частности, их можно перевести вокружности достаточно малого радиуса, окружающие различныесобственные значения X. При этом число m станет равным числуразличных собственных значений X. В формуле (68) предполагается, что значения f (z) в различных областях Bj , вообще говоря,не связаны между собой, т.
е. значения f (z), например, в B1 могутне получаться из значений f (z) в B2 никаким аналитическим продолжением. Отметим еще, что для всех матриц, достаточно близких (поэлементно) к X, формула (68) также применима, посколькувсе собственные значения этих матриц будут по-прежнему лежатьвнутри Bj . При этом элементы f (X) будут регулярными функциями элементов X. Кратко будем в дальнейшем говорить, что f (X) —регулярная функция X, если элементы f (X) являются регулярными функциями элементов X. Отметим еще, что (zI − X)−1 есть рациональная функция элементов X и переменной z, так что интегралы, входящие в (68), могут быть вычислены по теореме о вычетах,92]Определение функций одной матрицы формулой Коши391если известны собственные значения λk .
При дальнейшем изменении X мы имеем дело с аналитическим продолжением f (X), о чеммы будем говорить далее.Если m > 1, то, как мы упоминали выше, в определении f (X) вразличных Bj значения f (z) могут быть никак не связаны междусобой. (Например, f (z) = z 2 в одной из Bj и f (z) = sin z — в другой.) Наиболее интересным и важным случаем является тот случай,когда m = 1 или m > 1, а функция f (z) в различных Bj определяется на основе одной и той же аналитической функции f (z),причем Bj принадлежат некоторой области регулярности f (z) наплоскости z. При этом функция f (X) называется аналитической,а в остальных случаях — кусочно-аналитической. Функция f (X),представимая формулой (68), не всегда представима степенным рядом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
