1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Но мы покажем сейчас, что всякая функция f (X), представимая степенным рядом, может быть представлена и формулой (68).Уточним это утверждение. Положим, что все собственные значенияλk матрицы X лежат внутри круга |z| ρ, f (z) регулярна в этомкруге:f (z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + . . .Пусть f (X) определяется рядомf (X) = a0 I + a1 X + a2 X 2 + .
. .Определим функцию ϕ(X) формулой Коши1ϕ(X) =(zI − X)−1 f (z)dz2πi|z|=ρи докажем, что ϕ(X) ≡ f (X) при указанных условиях. Положим сначала, что X имеет простые элементарные делители: X =S[λ1 , . . . , λn ]S −1 . Принимая во внимание очевидную формулу(zI − X)−1 = S(zI − [λ1 , . .
. , λn ])−1 S −1 ,получим1ϕ(X) = S2πi|z|=ρ11f (z)dz S −1, ...,z − λ1z − λnГл. IV. Аналитические функции многих переменных. . .392[92или согласно формуле Кошиϕ(X) = S[f (λ1 ), . . . , f (λn )]S −1 .Ту же формулу мы имели [89] и для функции f (X), представимойстепенным рядом в случае (56). Следовательно,ϕ(X) = f (X).Аналогичным образом проводится доказательство в случае формулы (561 ), соответствующей непростым элементарным делителямX. При этом надо использовать формулуϕ(X) = S[F1 , .
. . , Fm ]S −1 ,гдеFk =12πi[zIsk − Jsk (λk )]−1 f (z) dz.|z|=ρДля простоты письма ограничимся построением матрицы, стоящей под знаком интеграла, считая Jsk (λk ) матрицей третьего порядка (sk = 3):##λk#zI3 − ##1#00λk1##−1#z − λk0####0#=## −1# 0λk #0z − λk−1#−10 ##0 ## .z − λk #Но легко проверить, что##λ##−1##0#−1 # −1#λ0 0### −2#λ 0# = ##λ−3#λ−1 λ#0λ−1λ−2#0 ##0 ##.λ−1 #Сказанное выше приводит нас к выражению ϕ(X) согласно формуле (61), в которой fl (z) заменено на f (z). Такое же выражениебыло получено и для степенного ряда, т. е.
в этом случаеϕ(X) = f (X).93]Аналитическое продолжение393Из сказанного выше следует также, что если значения двухфункций f1 (z) и f2 (z) на спектре X совпадают и эти функции регулярны в окрестности спектра, то совпадают также значения f1 (X)и f2 (X), вычисленные по формуле (68) (где области Bj — малыекруги, содержащие спектр). Отсюда следует возможность заменыf (X) полиномом, как и в случае представления функции f (X) степенным рядом.Сформулируем некоторые легко доказываемые свойства функций f (X), представимых формулой Коши. При этом всегда предполагается, что соответствующие функции f (z) регулярны в окрестности U собственных значений X.1◦ . Если f1 (z) + f2 (z) = f3 (z) в U , то f1 (X) + f2 (X) = f3 (X).2◦ .
Если f1 (z) · f2 (z) = f3 (z) в U , то f1 (X) · f2 (X) = f3 (X).3◦ . Если ϕ(z) регулярна в U , ψ(w) регулярна в окрестности собственных значений ϕ(X) и f (z) = ψ[ϕ(z)], то f (X) = ψ[ϕ(X)], т. е.при последовательном вычислении Y = ϕ(X) и ψ(Y ) получитсяматрица f (X).4◦ . Если w = ϕ(z) и z = ψ(w) — обратные функции, регулярныев окрестности соответственно собственных значений матриц X0 иY0 , то обратной к матричной функции Y = ϕ(X) является функция X = ψ(Y ). Эти функции определены и выражаются формулойКоши для всех матриц, достаточно близких соответственно к матрицам X0 и Y0 .Отметим в заключение, что если элементы матрицы Y суть аналитические функции элементов X, то в общем случае отсюда неследует представимость Y через X ни степенным рядом (28) [или(27)], ни формулой (68).93.
Аналитическое продолжение. Выше мы определялифункцию f (X) или степенным рядом, или формулой Коши (68).В первом случае область определения совпадала с областью сходимости этого ряда, и во втором случае она определялась условием,что f (z) регулярна в областях Bj и что все собственные значенияX находятся внутри Bj . В обоих случаях при соблюдении соответствующих условий элементы {f (X)}ik являются аналитическимифункциями элементов {X}ik . Напомним, что степенной ряд, как394Гл. IV.
Аналитические функции многих переменных. . .[93было указано выше, преобразуется к формуле (68). Мы изложимкратко, без подробных доказательств, основные идеи, связанныес аналитическим продолжением f (X), заданной степенным рядомили формулой (68).В [85] мы указали общий прием аналитического продолженияфункции многих комплексных переменных вдоль заданного пути при помощи цепи кругов.
Этот прием, очевидно, применим идля одновременного аналитического продолжения элементов матрицы f (X) как функций элементов матрицы X. Но в рассматриваемом случае процесс существенно проясняется, если использоватьпри аналитическом продолжении формулу Коши (68) или формулу Сильвестра [91], причем проводимое таким образом аналитическое продолжение совпадает с указанным выше общим приемоманалитического продолжения в силу единственности аналитического продолжения по заданному пути.
Этот последний определяетсятем, что матрица X (т. е. ее элементы) задается как функция некоторого вещественного параметра X(t). При значениях t, близкихк исходным, значения f (X) определяются первоначальным степенным рядом или формулой (68). При изменении X(t) будут меняться и собственные значения λk (t) матрицы X(t), и характер этогоизменения играет существенную роль как при аналитическом продолжении формулы Коши, так и в формуле Сильвестра.
Как мысейчас увидим, дело сводится к аналитическому продолжению f (z)с учетом изменения λk .Рассмотрим кратко те случаи, которые могут встретиться. Положим вначале, что при аналитическом продолжении f (z) получается однозначная функция в области B, в которой находятся всепути λj (t). (Если f (z) — целая функция, то в качестве B можновзять всю комплексную плоскость.) При этом для некоторых t = t0возможны совпадения корней, т. е. λj (t0 ) = λk (t0 ). Нумерация корней производится так, что λj (t) — непрерывные функции. Послесовпадения нумерация корней произвольна, с сохранением непрерывности.
Для аналитического продолжения матричной функции вокрестности матрицы X(t0 ) можно воспользоваться формулой Коши (68), где m — число различных корней λj (t0 ), a lj — окружностидостаточно малого радиуса, центрами которых являются различные корни λj (t0 ).93]Аналитическое продолжение395Аналитическое продолжение можно было бы также осуществить формулой Сильвестра.
Однако ввиду зависимости этой формулы от жордановой структуры матрицы X значительно труднееустановить регулярность f (X) для X с кратными собственнымизначениями.Положим теперь, что хотя бы один из путей λj (t) проходит приt = t0 через особую точку функции f (z). Можно показать, что вэтом случае матрица X(t0 ) = X0 является особой точкой f (X), т.
е.что невозможно аналитическое продолжение f (X) вдоль матричного пути X(t) через матрицу X.Рассмотрим в качестве примера степенной рядf (X) = I + X + X 2 + . . . ,соответствующий функции f (z) = 1/(1 − z). Он сходится, если собственные значения X лежат внутри круга |z| < 1. Особыми точкамипри аналитическом продолжении f (X) будут те матрицы X, средисобственных значений которых будет хоть одно равно единице. Длявсех прочих получимf (X) = (I − X)−1 .Более сложная картина будет в том случае, когда аналитическоепродолжение f (z) приводит к многозначной функции. Это продолжение определяется однозначно на римановой поверхности, соответствующей многозначной функции f (z) [20].
Если при m > 1 вформуле Коши значения функции f (z) в разных областях Bj неявляются ветвями одной аналитической функции, то под R будемпонимать совокупность нескольких римановых поверхностей, построенных для всех регулярных функций f (z) из областей Bj . Приэтом естественно пути λj (t) считать также расположенными на R.Как и выше, особыми точками при аналитическом продолженииf (X) будут те матрицы X, у которых хотя бы одно из λj (t) стремится к особой точке функции f (z) на R.Однако теперь возможны и особые точки других типов. Положим, что первые три корня λk (t) (k = 1, 2, 3) при t → t0 имеютобщий предел λ0 , отличный от особой точки f (z), а пределы остальных различны и не совпадают ни с λ0 , ни с особыми точками f (z).396Гл. IV. Аналитические функции многих переменных.
. .[93Если предел λ0 для всех λk (t) (k = 1, 2, 3) находится на одном итом же листе R, т. е. если при аналитическом продолжении f (z) мыполучаем один и тот же функциональный элемент (ряд Тейлора)в точке λ0 для всех λk (t) (k = 1, 2, 3) при t → t0 , то матричное аналитическое продолжение через соответствующую матрицуX(t0 ) возможно, как это имело место и для однозначной f (z). Этоаналитическое продолжение осуществляется снова формулой Коши, которую теперь удобнее записать в виде1 f (X) =2πimk=1 l(zI − X)−1 fj (z) dz.(69)kЗдесь m — число различных корней λj (t0 ), lj — круги достаточномалого радиуса на комплексной плоскости, центрами которых являются различные корни λj (t0 ), a fj (z) — соответствующие однозначные аналитические элементы функции f (z).Если же хотя бы две из совпавших точек λk (t0 ), k = 1, 2, 3, лежат на разных листах римановой поверхности, т. е.
если им соответствуют несовпадающие аналитические элементы fk (z), k = 1, 2, 3,то формулой (69) воспользоваться нельзя. В этом случае, как будет пояснено ниже, X(t0 ) является особой матрицей, т. е. невозможно матричное аналитическое продолжение вдоль рассматриваемогопути через матрицу X(t0 ).Поясним это утверждение для случая матриц второго порядка,причем мы считаем λ1 (t) = λ2 (t) до перехода к пределу (и букву tпри этом мы не пишем). Для t = t0 имеемf (X) = Xf (λ1 ) − f (λ2 ) λ1 f (λ2 ) − λ2 f (λ1 )+I,λ1 − λ2λ1 − λ2(70)причем f (λ1 ) и f (λ2 ) — значения f (z) на том листе R, где находятся λ1 и λ2 в результате продолжения λ1 (t) и λ2 (t) (на R).
Еслипредельные точки для λ1 (t) и λ2 (t) находятся на разных листах R,то функциональные элементы f1 (z) и f2 (z) в точке λ = λ0 неодинаковы. При этом либо некоторые (или все) элементы f (X) будутбеспредельно возрастать по абсолютной величине при λ → λ0 , либов любой малой окрестности δ матрицы X(t0 ) = X0 имеются такие93]Аналитическое продолжение397матрицы X , что аналитическое продолжение по прежнему путивплоть до δ и дальнейшему продолжению по некоторому новомупути, который не выводит из δ и вдоль которого X → X , некоторые (или все) элементы f (X) будут беспредельно возрастать поабсолютной величине.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
