1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 62
Текст из файла (страница 62)
. {X}jm−1 k .(50)j1 , ..., jm−1Собирая в этой сумме подобные члены, мы можем представитьряды (29) как обычные степенные ряды от n2 переменных {X}ik .Если в суммах (50) заменим все величины их модулями и числа amзаменим на |am |, то это, очевидно, вполне равносильно тому, чтобыв только что упомянутых степенных рядах заменить все величины их модулями. Отсюда следует, что если ряды (29) привести квиду обычных степенных рядов, относительно переменных {X}ik ,то абсолютная сходимость этих рядов равносильна сходимостирядов (32), т.
е. равносильна абсолютной сходимости ряда (28).Вообще сходимость ряда (28) в самом общем смысле этого словасводится к существованию предела последовательности матрицa0 +lam X m(51)m=1при беспредельном возрастании l. Добавление одного слагаемого,соответствующего m = l + 1, к сумме (51) сводится к добавлению ксуммамa0 δik +lamm=1{X}ij1 {X}j1 j2 .
. . {X}jm−1 kj1 , ..., jm−1(i, k = 1, 2, . . . , n)(52)однородного полинома относительно {X}ikal+1j1 ,...,jlстепени (l + 1).{X}ij1 {X}j1 j2 . . . {X}jl k(53)380Гл. IV. Аналитические функции многих переменных. . .[89Таким образом, сходимость ряда (28) в указанном только чтообщем смысле равносильна сходимости n2 рядов (29), причем в этихрядах объединяются в одну группу слагаемые вида (53).Докажем теперь основную теорему о сходимости или расходимости степенного ряда в смысле предела сумм (51) при l → ∞, т. е.о сходимости n2 соответствующих степенных рядов от n2 элементов{X}ik или о расходимости хотя бы одного из этих рядов.Т е о р е м а. Рядa 0 I + a1 X + a 2 X 2 + . . .(54)сходится, если все характеристические числа матрицы X лежатвнутри круга сходимости рядаa 0 + a 1 z + a2 z 2 + . . .(55)Ряд (54) расходится, если хотя бы одно из этих характеристических чисел лежит вне круга сходимости ряда (55).Введем для краткости письма обозначенияfl (X) =lm=0am X m ,fl (z) =lam z mm=0и суммы рядов обозначим, как и выше, f (X) и f (z).Докажем сначала теорему для матриц X с простыми элементарными делителями [III1 , 27], т.
е. для матриц вида2X = S[λ1 , λ2 , . . . , λn ]S −1 ,(56)где λk — характеристические числа X и S — некоторая неособаяматрица, т. е. матрица с определителем, отличным от нуля. Подставляя (56) в fl (X), получим [III1 , 44]fl (X) =lmm −1am S[λm1 , λ2 , . . . , λn ]Sm=02 Напомним,что символом [a1 , a2 , .
. . , an ] обозначается диагональная матрица на главной диагонали которой стоят числа a1 , a2 , . . . , an .89]илиоткудаДальнейшее исследование сходимости381fl (X) = S[fl (λ1 ), fl (λ2 ), . . . , fl (λn )]S −1 ,S −1 fl (X)S = [fl (λ1 ), fl (λ2 ), . . . , fl (λn )].(57)Если все λk лежат внутри круга сходимости ряда (55), то праваячасть (57) имеет предел при l → ∞, и мы получаемf (X) = S[f (λ1 ), f (λ2 ), . . . , f (λn )]S −1 .(571 )Положим теперь, что по крайней мере одно из λk , например λ1 ,лежит вне круга сходимости ряда (57). При этом fl (λ1 ) не имеетконечного предела при l → ∞ и из (57) следует, что fl (X) не имеетконечного предела. Теорема доказана для матриц X вида (56).Положим теперь, что матрица имеет не простые элементарныеделители.
Как доказано в добавлении к этому тому и сформулировано в [III1 , 27], произвольная матрица приводится к видуX = S[Js1 (λ1 ), Js2 (λ2 ), . . . , Jsq (λq )]S −1 ,(561 )где матрица в квадратных скобках обозначает квазидиагональнуюматрицу. Обозначая через sk порядок матрицы Jsk (λk ), имеемs1 + s2 + . . . + sq = n.(58)Матрица Jsk (λk ) есть матрица, у которой на главной диагоналистоят числа λk , под главной диагональю — единицы, а остальныеэлементы равны нулю:####λk#### 1 λk###.#Jsk (λk ) = # 01 λk##. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .####00 . . . 1 λk #Если sk = 1, то J1 (λk ) = λk . Среди чисел λk могут быть и одинаковые. Напомним, что для квазидиагональных матриц одинаковойструктуры имеют место обычные формулы сложения и умножения[III1 , 26]:S[X1 , . . . , Xq ]S −1 + S[Y1 , . . . , Yq ]S −1 = S[X1 + Y1 , . .
. , Xq + Yq ]S −1 ,382Гл. IV. Аналитические функции многих переменных. . .[89S[X1 , . . . , Xq ]S −1 · S[Y1 , . . . , Yq ]S −1 = S[X1 Y1 , . . . , Xq Yq ]S −1 ,{S[X1 , . . . , Xq ]S −1 }s = {S[Xqs , . . . , Xqs ]S −1 },где s — целое положительное. Принимая это во внимание и учитывая, что fl (X) — многочлен, получимfl (X) = S[fl (J1 (λ1 )), fl (J2 (λ2 )), . . . , fl (Jq (λq ))]S −1 .(59)Переходим к определению вида матриц fl (Jk (λk )). Можно написатьJsk (λk ) = λk Isk + Js(0),k(60)(0)где Isk — единичная матрица порядка sk , а Jsk — матрица порядка sk , у которой под главной диагональю стоят единицы, а все(0)остальные элементы равны нулю. Легко проверить, что [Jsk ]p приsk > p > 0 и целом p > 0 есть матрица, у которой стоят единицына p-й диагонали ниже главной, а на прочих местах стоят нули.(0)В частности, [Jsk ]sk −1 есть матрица, у которой в левом нижнемуглу стоит единица и остальные элементы равны нулю.
Матрица(0)[Jsk ]p , где p sk — целое, есть нулевая матрица, т. е. матрица, укоторой все элементы равны нулю. Отметим еще, что к сумме (60)применима формула бинома Ньютона:[Jsk (λk )]s = λsk Isk + s s−1 (0)s s−2 (0) 2λk Jsk +λ [Jsk ] + . .
. + [Js(0)]s ,k12 kоткуда, как легко видеть, следуетfl [Jsk (λk )] = fl (λk )Isk +fl (λk ) (0) fl (λk ) (0) 2Jsk +[Jsk ] + . . . ,1!2!причем, очевидно,(m)fl(λk ) (0) m[Jsk ]m!есть нулевая матрица, если m больше наименьшего из двух чисел89]Дальнейшее исследование сходимости383l и (sk − 1). Принимая во внимание вышесказанное, будем иметь## 00...0 ## fl (λk )## fl (λk )#fl (λk )0...0 ### 1!fl (λk )# f (λk )fl (λk ) . . .0 #fl (Jsk (λk )) = # l 2!# . (61)1!#.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .##### f (sk −1) (λk ) f (sk −2) (λk )# ll. . . fl (λk )#(sk −1)!(sk −2)!Если все λk находятся внутри круга сходимости ряда (55), то существуют конечные пределы(p)lim f (λk )l→∞ l= f (p) (λk ),p = 0, 1, . . .Переходя к пределу l → ∞ в формуле (59), получимf (X) = S[f (Js1 (λ1 )), . . .
, f (Jsq (λq ))]S −1 ,(611 )где f (Jsk (λk )) определяются формулой (61), в которой fl (z) надозаменить на f (z). Если хотя бы одно из λk расположено вне кругасходимости ряда (55), то расходимость ряда получается так же, каки в случае простых элементарных делителей. Теорема полностьюдоказана, и установлена формула для суммы ряда (54), когда λkрасположена внутри круга сходимости ряда (55).Легко проверить, что при f (λk ) = 0 матрица f (Jsk (λk )) имеетодин элементарный делитель [λ − f (λk ))]sk .
Отсюда следует, чтоеслиf (λk ) = 0 (k = 1, 2, . . . , q),то элементарные делители f (X) суть[λ − f (λ1 )]s1 , . . . , [λ − f (λq )]sq .Запишем значения функции f (z) и ее производных, которыевходят в формулу (61 ):f (λk ), f (λk ), . . . , f (sk −1) (λk )(k = 1, . . . , q).(62)Здесь, напомним, q — число элементарных делителей матрицыX, а группа sk чисел (62) соответствует элементарному делителю384Гл. IV. Аналитические функции многих переменных. . .[89(λ−λk )sk матрицы X. В силу (58) число значений (62) равно порядку n матрицы X.
Если среди элементарных делителей (λ − λk )skесть делители с совпадающими числами λk , то и среди значений(62) будут совпадающие. Если, например, λ1 = λ2 , то среди значений (62) будет во всяком случае два раза фигурировать f (λ1 ), а может быть, и некоторые производные при λ = λ1 . Считая, что средичисел λk , k = 1, . . . , q, есть совпадающие, выделим из них лишь$k (k = 1, 2, . . .
, m)несовпадающие значения. Обозначим через λвсе различные собственные значения X и через pk — наибольший изпоказателей элементарных делителей, соответствующих собствен$k , если таких делителей несколько. Если имеетсяному значению λтолько один такой делитель, то pk совпадает с соответствующимиsk . При таком обозначении несовпадающие значения из таблицы(62) будут следующие:$k ), f (λ$k ), . . . , f (pk −1) (λ$k ) (k = 1, .
. . , m).f (λ(631 )$1 ,Если матрица X имеет n различных собственных значений λ$$λ2 , . . . , λn , то вместо (631 ) имеем$1 ), f (λ$2 ), . . . , f (λ$n ).f (λ(632 )Если матрица X имеет кратные собственные значения, но всем$1 , . . . , λ$m —им соответствуют простые элементарные делители и λполный набор различных собственных значений (m < n), то вместо(632 ) имеем$1 ), f (λ$2 ), .
. . , f (λ$m ).f (λ(633 )Значения (631 ), (632 ), (633 ) называются значениями f (X) наспектре матрицы X (Гантмахер Ф. Р. Теория матриц (1966))3 .Из формулы (61) после замены fl (z) на f (z) и из формулы (61 )следует, что для двух степенных рядов f (z) и ϕ(z) матрицы f (X) иϕ(X) совпадают при указанном выше условии сходимости соответ$k , если совпадают значенияствующих степенных рядов при λ = λf (z) и ϕ(z) на спектре X. Этим обстоятельством можно воспользоваться для того, чтобы по функции f (z) и матрице X построить3 Эта книга переиздана в 2004 г.
(5-е издание) издательством (издательскойгруппой) URSS.90]Интерполяционные полиномы385полином P (X) такой, что f (X) = P (X). Для этого достаточно построить P (z) так, чтобы его значения совпадали со значениями f (z)на спектре X, т. е. со значениями, приведенными в одном из случаев (63). Возникающая задача является задачей интерполирования,к которой мы и перейдем.90.
Интерполяционные полиномы. Основная и простейшаязадача интерполирования заключается в следующем: требуется построить полином степени не выше (n − 1), который принимал бызаданные значения в n точках плоскости комплексного переменного. Положим что в точках zk (k = 1, 2, . . . , n) он должен принимать значение wk .
Заметим прежде всего, что такой полином может быть только один. Действительно, мы знаем [I, 185], что дваполинома степени не выше (n − 1) совпадают тождественно, еслисовпадают их значения в различных n точках. Решение задачи интерполирования может быть написано в виде следующей простойформулы:n(z −z1 )(z −z2 ) . . . (z −zk−1 )(z −zk+1 ) . . . (z −zn )wk .(zk −z1 )(zk −z2 ) . . . (zk −zk−1 )(zk −zk+1 ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
