1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Двойной интеграл и формула Коши. Пусть f (z1 , z2 )регулярна в полицилиндрической области {B1 , B2 }, определяемойобластями Bs на плоскостях zs (s = 1, 2), а l1 и l2 — гладкие иликусочно гладкие контуры, расположенные соответственно в B1 иB2 . Составим повторный интегралI1 = dz2 f (z1 , z2 )dz1 .l2l1Меняя порядок интегрирования, придем к двойному интегралувидаI2 = dz1 f (z1 , z2 )dz2 .l1l283]Двойной интеграл и формула Коши357Покажем прежде всего, что интегралы I1 и I2 , совпадают.
Положим, что уравнение кривой l1 в параметрической форме будетz1 (t) = x1 (t) + iy1 (t)(a t b)и уравнение кривой l2 будетz2 (τ ) = x2 (τ ) + iy2 (τ )(c τ d).Подставляя в выражение функции f (z1 , z2 )z1 = z1 (t) и z2 = z2 (τ ),мы приведем интеграл I1 к двум квадратурам по переменным t и τ ,причем при первом интегрировании по t мы будем иметь постоянные пределы a и b, а при втором интегрировании по τ — постоянныепределы c и d:dI1 =[x2 (τ )+iy2 (τ )] dτcbf [z1 (t), z2 (τ )] [x1 (t) + iy1 (t)] dt.aНаписанный интеграл равносилен, очевидно, двойному интегралу на плоскости (t, τ ), взятому по прямоугольникуa t b;c τ d.В таком интеграле, как известно [II, 59], можно менять порядокинтегрирования, сохраняя прежние пределы, т.
е. интеграл I1 мыможем переписать в видеbI1 =a[x1 (t)+iy1 (t)] dtdf [z1 (t), z2 (τ )][x2 (τ ) + iy2 (τ )] dτ,cа этот последний интеграл, очевидно, равносилен интегралу I2 , откуда и вытекает, что интегралы I1 и I2 совпадают. Их общая величина и называется двойным интегралом от функции f (z1 , z2 ),взятым по контурам l1 и l2 .Гл. IV. Аналитические функции многих переменных. . .358[83Мы могли бы определить интеграл непосредственно как пределсуммы. Разделим линию l1 промежуточными точками(0)(1)(2)(m)z 1 , z 1 , z 1 , . .
. , z1на m частей и точно так же линию l2 промежуточными точками(0)(1)(2)(n)z 2 , z 2 , z 2 , . . . , z2разделим на n частей. Составим, далее, двойную суммуm−1 n−1(p)(q)(p+1)f (ξ1 , ξ2 )(z1(p)(q+1)− z1 )(z2(q)− z2 ),p=0 q=0(p)(p) (p+1)(q)линии l1 , и ξ2 — некогде ξ1 — некоторая точка дуги z1 z1(q) (q+1)торая точка дуги z2 z2линии l2 . Предел написанной суммы иприведет нас к величине I1 (или I2 ).Пусть границы B1 и B2 — простые замкнутые кривые l1 и l2 , иположим, что f (z1 , z2 ) регулярна в замкнутой бицилиндрическойобласти (B1 , B2 ), т. е.
f (z1 , z2 ) регулярна в бицилиндрической области (B1 , B2 ) такой, что B1 и B2 содержат соответственно B1 иB2 вместе с их границами внутри себя.Рассмотрим двойной интегралf (z1 , z2 )dz ,I = dz1(z1 − z1 )(z2 − z2 ) 2l1илиI=l2l2dz2l1f (z1 , z2 )dz ,(z1 − z1 )(z2 − z2 ) 1где z1 и z2 — некоторые фиксированные точки внутри B1 и B2 .При первом интегрировании по контуру l2 переменная z1 является параметром и обозначает некоторую фиксированную точку,лежащую на контуре l1 .
При этом f (z1 , z2 ) будет функцией одногокомплексного переменного z2 , регулярной в замкнутой области B2 .83]Двойной интеграл и формула Коши359Применение обычной формулы Коши даст намf (z1 , z2 ) dz1 .I = 2πiz1 − z1l1Здесь функция f (z1 , z2 ) будет регулярной функцией от z1 взамкнутой области B1 . Применяя еще раз обычную формулу Коши,будем иметьI = −4π 2 f (z1 , z2 )и, следовательно, в результате получим формулу Коши1f (z1 , z2 )dz .dz1f (z1 , z2 ) = − 24π(z1 − z1 )(z2 − z2 ) 2l1(2)l2Для случая m комплексных переменных формула Коши, при соответствующих условиях, имеет для полицилиндрической областивидf (z1 , z2 , . .
. , zm ) =f (z1 , . . . , zm)1dzm=dzdz....12m −z )(2πi)(z1 − z1 )(z2 − z2 ) . . . (zmml1l2lmИз формулы (2), как и для случая одной комплексной переменной, следует, что f (z1 , z2 ) имеет в соответствующей полицилиндрической области производные всех порядков, которые выражаютсяформулами∂ p+q f (z1 , z2 )p!q!=− 2pq∂z1 ∂z24πl1dz1(z1 − z1 )p+1l2f (z1 , z2 )dz .(z2 − z2 )q+1 2(3)Из формулы Коши вытекает, как и в случае функции одного комплексного переменного, принцип модуля: если |f (z1 , z2 )| M , когда z1 принадлежит l1 и z2 принадлежит l2 , то |f (z1 , z2 )| M взамкнутой соответствующей полицилиндрической области.360Гл.
IV. Аналитические функции многих переменных. . .[84Так же, как и для одного комплексного переменного, доказывается теорема Вейерштрасса: если члены ряда∞uk (z1 , z2 )k=1регулярны в замкнутой бицилиндрической области (см. выше) иряд сходится равномерно в упомянутой замкнутой области, тосумма ряда регулярна внутри бицилиндрической области и рядможно дифференцировать почленно по z1 и по z2 сколь угодно раз(внутри этой области). При этом продифференцированный рядравномерно сходится во всякой полицилиндрической области, которая находится строго внутри первоначальной полицилиндрической области.84.
Степенные ряды. Степенной ряд от двух независимыхпеременных z1 и z2 с центрами b1 и b2 имеет вид∞∞ apq (z1 − b1 )p (z2 − b2 )q ,(4)p=0 q=0где переменные суммирования p и q независимо друг от друга пробегают все целые положительные значения, начиная с нуля. Ряд(4) является двойным рядом.Такие ряды мы рассматривали выше [I, 142] для того случая,когда члены ряда суть вещественные числа.Положим, что сходится ряд, составленный из модулей членовряда∞∞ |apq ||z1 − b1 |p |z2 − b2 |q .(5)p=0 q=0В этом случае, как мы видели в [11], ряды, составленные извещественных и мнимых частей членов ряда (4), будут абсолютносходящимися, и суммы этих двойных рядов с вещественными членами не будут зависеть от того, в каком порядке мы производимсуммирование этих двойных рядов.
Следовательно, в этом случае,т. е. при сходимости ряда (5), ряд (4) будет сходящимся, и его сумма будет вполне определенной при любом порядке суммирования84]Степенные ряды361этого двойного ряда. В дальнейшем мы и будем только рассматривать тот случай, когда сходится ряд (5), т. е. когда ряд (4) будетабсолютно сходящимся.Нетрудно совершенно так же, как и в [13], установить теорему, аналогичную теореме Абеля.
Положим, что ряд (4) абсолютносходится при z1 = α1 и z2 = α2 . Отсюда непосредственно следует,что члены этого ряда при указанных значениях независимых переменных должны оставаться ограниченными по модулю, т. е. чтосуществует такое число M , что при любых значках p и q имеетместо неравенство|apq ||α1 − b1 |p |α2 − b2 |q < MилиM.(6)|α1 − b1 |p |α2 − b2 |qРассмотрим теперь два круга K1 и K2 для переменных z1 и z2 :|apq | <|z1 − b1 | < |α1 − b1 |; |z2 − b2 | < |α2 − b2 |.(7)Первый из них содержит те точки z1 , которые ближе к b1 , чемα1 , и второй — те точки z2 , которые ближе к b2 , чем α2 .Возьмем некоторую точку z1 из круга K1 и некоторую точку z2из круга K2 , т. е.|z1 − b1 | = q1 |α1 − b1 | и |z2 − b2 | = q2 |α2 − b2 |,где 0 < qj < 1, (j = 1, 2).
При этом, пользуясь (6), мы получимследующую оценку для модулей членов ряда (4):|apq ||z1 − b1 |p |z2 − b2 |q < M q1p q2q .(8)Но нетрудно видеть, что двойной ряд с положительными членами∞ ∞M q1p q2qp=0 q=0будет сходящимся. Действительно, этот ряд получается путем перемножения двух рядов с положительными членами [I, 138]M (1 + q1 + q12 + . . .) и (1 + q2 + q22 + .
. .),362Гл. IV. Аналитические функции многих переменных. . .[84и его сумма равна, очевидно,M.(1 − q1 )(1 − q2 )Таким образом, в рассматриваемом случае ряд (5) будет сходящимся, а ряд (4) абсолютно сходящимся. Из оценки (8) вытекаеттакже, что ряд (4) будет равномерно-сходящимся в кругах K1 и K2 ,имеющих центры b1 и b2 и радиусы ρ1 и ρ2 , меньшие, чем у K1 и K2 .По существу мы пользовались при доказательстве не абсолютнойсходимостью ряда (4) при z1 = α1 и z2 = α2 , а неравенством|apq (α1 − b1 )p (α2 − b2 )q | M,т. е. ограниченностью членов этого ряда при z1 = α1 и z2 = α2 .Мы приходим, таким образом, к следующему свойству: если всечлены ряда (4) при z1 = α1 , z2 = α2 ограничены по модулю одним итем же числом, то ряд (4) абсолютно сходится внутри круговойбицилиндрической области (7) и равномерно сходится в круговойбицилиндрической области|z1 − b1 | (1 − ε)|α1 − b1 |, |z2 − b2 | (1 − ε)|α2 − b2 | (0 < ε < 1).Отметим, что если для z1 = α1 и z2 = α2 ряд (4) сходится (необязательно абсолютно) при каком-либо порядке суммирования, тоего члены по мере удаления от начала стремятся к нулю и поэтомуограничены по модулю одним и тем же числом.Из сказанного выше мы приходим, как и в [13], к понятию орадиусах сходимости ряда.
В данном случае мы будем иметь сопряженные радиусы сходимости R1 и R2 ряда (4).Приведем их точное определение. Два положительных числа R1и R2 называются сопряженными радиусами сходимости ряда (4),если этот ряд сходится в бицилиндре {|z1 − b1 | < R1 , |z2 − b2 | < R2 }и не сходится в бицилиндре {|z1 − b1 | < R1 , |z2 − b2 | < R2 }, гдеR1 > R1 , R2 R2 или R1 R1 и R2 > R2 . При уменьшении одногорадиуса другой радиус сходимости может увеличиться. Как и в [13],можно оговорить специальные случаи Rj = 0 и Rj = ∞ (j = 1, 2).84]Степенные ряды363В качестве примера рассмотрим ряд∞∞ (p + q)!p!q!p=0 q=0z1p z2q .(9)|z1 |p |z2 |q .(10)Рядом (5) будет ряд∞∞ (p + q)!p=0 q=0p!q!Соединим в одну группу все члены этого ряда, у которых суммаp + q равна заданному числу s.
Согласно формуле бинома Ньютонасумма этих членов будет(|z1 | + |z2 |)s ,и ряд (10) мы можем переписать в виде∞(|z1 | + |z2 |)s ,s=0откуда непосредственно следует, что он сходится тогда и толькотогда, когда |z1 | + |z2 | < 1. Таким образом, для ряда (9) совместные сопряженные радиусы сходимости определяются равенствомR1 + R2 = 1. Взяв, например, R1 = θ, где 0 < θ < 1, будем иметьR2 = 1 − θ. Если взять R1 = 0, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
