1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Мыприведем окончательные результаты, не останавливаясь на их доказательстве.I. Пусть X имеет различные собственные значения λ1 и λ2 . Если хотя быодно из уравненийF (μ) = λ1 , F (μ) = λ2(82)не имеет решений, то и матричное уравнение (79) не имеет решений. Если обауравнения (82) разрешимы, то общее решение уравнения (79) имеет видY = f (X) =X − λ2 IX − λ1 If (λ1 ) +f (λ2 ),λ1 − λ2λ2 − λ1(83)где f (λ1 ) = μ1 и f (λ2 ) = μ2 — произвольные решения уравнений (82). ЕслиF (μj ) = 0 (j = 1, 2), то формула (83) определяет регулярное (локально) решение Y уравнения (79), т. е.
решение, регулярное в окрестности X, включаяX.II. Пусть X имеет двукратное собственное значение λ1 , но X = λ1 I. Еслиуравнение F (μ) = λ1 не имеет решений или для всех его решений F (μ) = 0, тоуравнение (79) не имеет решений. Пусть уравнение F (μ) = λ1 имеет решениеμ1 , для которого F (μ1 ) = 0. При этом общее решение уравнения (79) имеетвидY = μ1 I + (X − λ1 I)[F (μ1 )]−1 ,где μ1 — любой из указанных выше корней. Формула определяет регулярноерешение Y = f (X) уравнения (79).95]Обращение целой функции от матрицы.
. .403III. Пусть X = λ1 I. Если уравнение F (μ) = λ1 не имеет решений, то иуравнение (79) не имеет решений. Пусть указанное уравнение разрешимо и μ1 ,μ2 — произвольные различные или совпадающие его решения. Общее решениеуравнения (79) определяется формулами### μ10## C −1 , F (μ1 ) = λ1 , F (μ2 ) = λ1 ,Y =C##0μ2 #а в случае μ1 = μ2 также и формулами### μ10## C −1 , F (μ1 ) = λ1 , F (μ1 ) = 0.Y =C##1μ1 #В этих формулах C — любая неособая матрица.Рассмотрим два примера. Если F (w) = ew , то F (w) = 0 и при X = λ1 I всезначения ln X являются локально регулярными функциями, если собственныезначения X отличны от нуля:X − λ2 IX − λ1 Iln λ1 +ln λ2 (λ1 = λ2 ),λ1 − λ2λ2 − λ11ln X = (ln λ1 )I + (X − λ1 I)(λ1 = λ2 ).λ1ln X =(84)(85)Ветви логарифмов выбираются произвольно, и этот выбор определяет ветвьматричного логарифма.При X = λ1 I все значения логарифма определяются формулами### −1# ln λ1 + 2pπi0#C ,ln(λ1 I) = C #(86)#0ln λ1 + 2qπi#где C — произвольная неособая матрица, а при p = q получается регулярноезначениеln (λ1 I) = (ln λ1 )I,т.
е. значение, совпадающее со значением некоторой определенной в окрестности матрицы λ1 I регулярной ветви функции ln X. Эта ветвь определяетсяформулой Коши. Можно показать, что все значения (86) при p = q не являются регулярными.Совершенно аналогично для уравнения Y m = X, где m 2 — целое число,получаем при X = 0 следующие решения:X − λ2 I 1/mX − λ1 I 1/mλ+λ(λ1 = λ2 ),λ1 − λ2 1λ2 − λ1 211/mI + (X − λ1 I)(λ1 = λ2 = 0; X = λ1 I),X 1/m = λ1mλ1# 2pπi###0 # −11/m # e m(λ1 I)1/m = λ1 C #(p = q — целые),2qπi # C# 0e m # 2pπi2qπi1/m1/me m , e m= λ1I.(λ1 I)1/m = λ1X 1/m =(87)(88)(89)(90)404Гл.
IV. Аналитические функции многих переменных. . .Поскольку F (0) = 0, то при X = 0, кроме решения Y = 0, получаем### 0 0# −1#X 1/m = C ## 1 0# C .1/mλ1 ,[96(91)1/mλ2В правой части формулы (87) подподразумеваются любые значения корней.Правая часть формулы (87) определена для матриц X из некоторой полнойокрестности исходной матрицы и при λ1 = 0, λ2 = 0 является регулярнойфункцией матрицы X.Значения (88) и (90) не определены в полной окрестности исходной матрицы, но они являются регулярными, т. е. совпадают со значением некоторойрегулярной ветви функции X 1/m , определенной в полной окрестности исходнойматрицы.Значения (89) не являются регулярными, т.
е. не могут быть получены какзначения некоторой регулярной ветви функции X 1/m .96. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть имеется система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами⎫x1 = a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn , ⎪⎪⎪x2 = a21 x1 + a22 x2 + . .
. + a2n xn , ⎬(92)⎪................................. ⎪⎪⎭xn = an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn ,где xk суть функции от независимого переменного t и xk — производные этих функций.Будем считать, что искомые функции (x1 , . . . , xn ) суть составляющие некоторого вектораx (x1 , x2 , . . . , xn ).Составляющие xk суть в данном случае функции от t, и мыопределим дифференцирование вектора x по t, как новый вектор ссоставляющими (x1 , . . . , xn ):dx (x , . . . , xn ).dt 1Введем, наконец, матрицу A с элементами aik .
В результате этихобозначений можно переписать систему (92) следующим образом:dx= Ax.dt(93)96]Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами405Пусть ищется решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию(0)xk |t=0 = xk(k = 1, 2, . . . , n).(94)Эти начальные условия образуют некоторый вектор, которыймы обозначим через(0)x(0) (x1 , . .
. , x(0)n ).Нетрудно проверить, что решение системы (93) при заданныхначальных условиях (94) имеет видAt A2 t2x= I+++ . . . x(0) ,(95)1!2!или, вводя матрицуeAt = I +At A2 t2++ ...,1!2!мы можем переписать решение (95) следующим образом:x = eAt x(0) .Действительно, формула (95) дает намx = x(0) +tt2Ax(0) + A2 x(0) + . . .1!2!Дифференцируя по t, получимdxtt2= Ax(0) + A2 x(0) + A3 x(0) + . . .dt1!2!илиdxtt2= A I + A + A2 + . . . x(0) ,dt1!2!откуда в силу (95)dx= Ax.dt(96)406Гл.
IV. Аналитические функции многих переменных. . .[96Кроме того, удовлетворены, очевидно, и начальные условия, таккак при t = 0 формула (95) дает x|i=0 = x(0) .Мы можем переписать систему (92), пользуясь матричной записью, и в другой форме. Предварительно выясним основные правиладифференцирования матрицы.
Положим, что элементы некоторойматрицы X суть функции переменного t. Определим производнуюdX/dt как такую матрицу, элементы которой получаются дифференцированием элементов матрицы X по t, т. е.dXd{X}ik.=dt ikdtИз этого определения непосредственно следует обычное правилодифференцирования суммы, а именно: если X и Y — две матрицы,элементы которых суть функции t, тоd(X + Y )dXdY=+.(97)dtdtdtТочно так же нетрудно доказать и формулу дифференцирования произведенияddXdY(XY ) =Y +X,(98)dtdtdtпричем надо помнить, что, вообще говоря, нельзя переставлятьмножители в написанной формуле (98). Согласно определениюумножения имеем{XY }ik =n{X}is {Y }sk ,s=1откудаnnd{XY }ikd{X}isd{Y }sk={Y }sk +,{X}isdtdtdts=1s=1что и дает непосредственно формулу (98). Эта формула легко обобщается и на случай любого числа сомножителей.
Так, например,для трех сомножителей мы будем иметьddXdYdZ(XY Z) =YZ +XZ + XY.dtdtdtdt(99)96]Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами407Выведем еще формулу для дифференцирования обратной матрицы. Положим, что определитель матрицы X отличен от нуля,так что имеется обратная матрица X −1 :XX −1 = I.Дифференцируя это тождество по t, получимdX −1dX −1X +X= 0,dtdtоткуда и вытекает правило дифференцирования обратной матрицыdX −1dX −1= −X −1X .dtdt(100)Вернемся теперь к системе (92).
Рассмотрим n решений этойсистемы. Они образуют, очевидно, квадратную таблицу, состоящуюиз n2 функций:### x11 (t) x12 (t) . . . x1n (t) #### x21 (t) x22 (t) . . . x2n (t) ###(101)#. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .# .###xn1 (t) xn2 (t) . . . xnn (t)#Мы считаем, что первый значок у функции обозначает номерфункции, а второй значок дает номер решения, в которое входитфункция, т. е., например, x23 (t) обозначает выражение для второйфункции x2 , входящей в решение с номером 3.
Мы должны, такимобразом, иметьdxik (t)= ai1 x1k (t) + . . . + ain xnk (t) (i, k = 1, 2, . . . , n),dtи можно, следовательно, переписать систему (92) в следующей матричной форме:dX= AX,(102)dtгде X — матрица (101). Напомним еще раз, что при такой формезаписи матрица X дает n решений системы (93), причем каждый408Гл. IV. Аналитические функции многих переменных. . .[96столбец этой матрицы дает некоторое решение системы (93). В данном случае начальным условием будет являться задание матрицыX при t = 0:X|t=0 = X (0) ,(103)где X (0) есть произвольным образом заданная матрица с постоянными элементами.
Совершенно так же, как и выше, можно показать, что решение системы (102) при начальном условии (103) будетиметь видX = eAt X (0) .(104)Положим, что определитель матрицы X (0) , дающей начальныеусловия, отличен от нуля. Покажем, что при этом определительматрицы X будет отличным от нуля при всяком t. Принимая вовнимание формулу (104), мы видим, что для этого достаточно показать, что определитель матрицы eAt будет отличным от нуля, таккак определитель произведения двух матриц равен произведениюопределителей этих матриц.Но нетрудно вообще показать, что определитель показательнойматрицы eY всегда отличен от нуля.Действительно, наряду с матрицейeY = I +Y2YnY++ ...++ ...1!2!n!(105)составим матрицуe−Y = I −YnY2Y+− .
. . + (−1)n+ ...1!2!n!(106)При перемножении двух рядов, стоящих в правой части написанных формул, мы будем иметь дело лишь с числами и степенямиодной матрицы Y , так что все сомножители можно переставлять.Таким образом, формально получится при перемножении тотже результат, который получился бы, если бы мы заменили переменную матрицу Y переменным числом z. Но при этом в силутождества ez e−z = 1 перемножение правых частей формул (105) и(106) дало бы нам единицу, а следовательно, и в данном случае мыбудем иметь следующее равенство:eY e−Y = I,96]Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами409справедливое для любой матрицы Y .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
