1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Еслиn 0 — целое, то, как указывалось раньше, полагают C = 2n1n! ,причем, как обычно, 0! = 1. Таким образом, функция Бесселя сцелым неотрицательным значком n определяется рядомJn (z) =∞k=0 n+2k(−1)kz,k!(n + k)! 2или, пользуясь формулой для Γ(z), можем написатьJn (z) =∞k=0 n+2k(−1)kz.Γ(k + 1)Γ(n + k + 1) 2(141)110]Уравнение Бесселя483При любом n, отличном от целого отрицательного числа, при определении Jn (z) полагаютC=12n Γ(n+ 1),т. е.Jn (z) =∞k=0 n+2k(−1)kz,k!(n + k)(n + k − 1) .
. . (n + 1)Γ(n + 1) 2или в силу формулы Γ(z + 1) = zΓ(z) получаем при указанныхзначениях n формулу (141). Правая часть этой формулы сохраняетсмысл и при целых отрицательных n. Заменяя в ней n на (−n)1и принимая во внимание, что Γ(z)= 0 при z = 0, −1, −2, . . .,получаем −n+2k∞(−1)kzJ−n =.Γ(k + 1)Γ(−n + k + 1) 2k=0Заменяя переменную суммирования новой: l = k − n, и вынося зазнак суммы (−1)n , получаемJ−n (z) = (−1)n∞l=0 n+2l(−1)lz,Γ(n + l + 1)Γ(l + 1) 2т. е.J−n (z) = (−1)n Jn (z) (n — целое).w2∗(142)Разность w1 −дает нам функцию Бесселя (141) лишь с точностью до постоянного множителя. Мы будем искать теперь тотмножитель a, на который надо умножить разность w1 − w2∗ , чтобыполучить в точности функцию Бесселя. Учитывая формулу (132)и тот факт, что p = (2n + 1)/2, мы сводим задачу к следующей:найти постоянную a из того условия, чтобы полусумма решенийуравнения Бесселя1Hn(1) (z) = az n (τ 2 − 1)n− 2 eizτ dτ,λ1Гл.
V. Линейные дифференциальные уравнения484Hn(2) (z) = −ae(2n+1)πi z n1(τ 2 − 1)n− 2 eizτ dτ[111(143)λ2давала функцию Бесселя (141). Выше мы предполагали, чтоn − 12 не есть целое число m 0. Последний случай мы рассмотрим при подробном изложении функций Бесселя.111. Функции Ханкеля и интегральное представлениерешений уравнения Бесселя. При указанном выше выборе aформулы (143) дают два решения уравнения Бесселя, которые называются функциями Ханкеля иобозначаются так, как это указано в формулах(143). При сложении этих решений получится решение, которое выражается произведением a/2 наинтегралы по контуру, имеющему вид восьмерки(рис.
69). Напомним, что рис. 69 получается изрис. 67 при α1 = i и α2 = −i поворотом вокругначала на угол − π2 .Принимая во внимание, что полусумма функРис. 69ций (143) должна давать функцию Бесселя (142),получаем1 naz22n− 12 izτ(τ − 1)edτ =∞k=0C n+2k(−1)kz.Γ(k + 1)Γ(n + k + 1) 2(144)Сокращая обе части на z n и полагая затем z = 0, приходим куравнению для определения a:111a (τ 2 − 1)n− 2 dτ = n,(145)22 Γ(n + 1)Cи нам остается только вычислитьинтеграл, стоящий в левой части.Считая n вещественным и n − 12 больше (−1), мы можем привести путь интегрирования C к интегрированию по двойному отрезку(−1, 1), причем надо интегрировать по нижнему берегу отрезка от(−1) к (1) и по верхнему от (1) к (−1). Как было выше упомянуто,111] Функции Ханкеля и интегральное представление решений.
. .485arg (τ 2 − 1) = 0 при τ > 1, откуда следует, что arg (τ 2 − 1) = π наверхнем берегу отрезка (–1, 1) и arg (τ 2 − 1) = −π на нижнем берегуэтого отрезка, т. е.(τ 2 − 1)n− 2 = eiπ(n− 2 ) (1 − τ 2 )n− 211n− 122(τ − 1)=e−iπ (n− 12 )1(на верхнем берегу),2 n− 12(1 − τ )(на нижнем берегу),и окончательно, складывая интегралы, получимn− 122(τ − 1) 111πdτ = −2i sin n −(1 − τ 2 )n− 2 dτ,2−1Cгде(1 − τ 2 )n− 2 = e(n− 2 ) ln(1−τ112)(1 − τ 2 > 0).Принимая во внимание четность подынтегральной функции,можно написатьn− 122(τ − 1) 111πdτ = −4i sin n −(1 − τ 2 )n− 2 dτ20Cили, вводя вместо τ новую переменную интегрирования x по формуле τ 2 = x,2n− 12(τ − 1) 1111πdτ = −2i sin n −x− 2 (1 − x)n− 2 dx.20CНо мы видели раньше, что1xp−1 (1 − x)q−1 dx =0Γ(p)Γ(q),Γ(p + q)так что интеграл, стоящий в равенстве (145), будетГл. V.
Линейные дифференциальные уравнения4862n− 12(τ − 1)C[111 Γ 12 Γ n + 121π=dτ = −2i sin n +2Γ(n + 1) Γ 12 Γ n + 121π.= 2i sin n +2Γ(n + 1)Но мы имели раньшеΓ(z)Γ(1 − z) =откудаπsin πzи Γ √1= π,21π1,sin n +π = 1Γ n+22Γ 2 −nтак что окончательноC31(τ 2 − 1)n− 2 dτ =Γ122π 2 i.− n Γ(n + 1)Мы вывели эту формулу в предположении, что n вещественно иn − 12 > −1. Принимая во внимание, что обе части суть аналитические функции от n, можно утверждать, что эта формула остаетсяверной при всяком n. Таким образом, из формулы (145) для постоянной a мы получаем следующее значение:Γ 12 − na=.32n π 2 iВнося это значение в формулы (143), находим выражение дляфункций Ханкеля: ⎫Γ 12 − n z n⎪(1)2n− 12 izτ⎪Hn (z) =(τ − 1)e dτ,⎪3⎪2⎪π2i⎬λ11(146) ⎪Γ 2 − n (2n+1)πi z n⎪(2)2n− 12 izτ⎪(τ − 1)e dτ.⎪eHn (z) =3⎪⎭2π2iλ2112]Асимптотические разложения487В обоих интегралах мы считаем arg (τ 2 − 1) = 0 при τ > 1.
Есливо втором интеграле будем считать arg (τ 2 − 1) = 2π при π > 1, томожно написать ⎫Γ 12 − n z n⎪2n− 12 izτ⎪Hn(1) (z) =(τ−1)edτ,⎪3⎪2⎪2π i⎬λ11 n (147)⎪Γ 2 −n z⎪(2)2n− 12 izτ⎪(τ − 1)e dτ.⎪Hn (z) = −3⎪⎭2π2iλ2Если τ → +i∞, то вещественная часть izτ стремится к (−∞),если только вещественная часть z больше нуля, и, таким образом,формулы (147) определяют функцию Ханкеля справа от мнимойоси. Напомним, что мы считаем n − 12 отличным от целого неотрицательного числа.(s)Выражение для Hn (z) (s = 1, 2) легко преобразоватьпри пред положении, что вещественная часть n больше − 21 , к интегралупо промежутку (0, ∞).
В рассматриваемом случае интеграл по λ1можно брать по сторонам разреза (1, i∞) вплоть до точки τ = 1.Учитывая тот факт, что при обходе точки τ = 1 подынтегральная1функция приобретает множитель e−2πi(n− 2 ) = −e−2nπi , а затем совершая замену переменной интегрирования τ = i xz + 1, получим,используя формулу Γ(z)Γ(1 − z) = sinππz ,⎫n− 12 12 i(z− nπ − π ) ∞⎪24xe12⎪(1)−xn−⎪e x 2 1−dx, ⎪Hn (z) =⎪1⎪πz2izΓ n+ 2⎬Hn(2) (z)=2πz 120eπ−i(z− nπ2 −4)Γ n+12∞e0−x n− 12xx1+2izn− 12⎪⎪⎪⎪dx.⎪⎪⎭(148)Первая из этих формул имеет место при − π2 < arg z < π, а вторая —при −π < arg z < π2 .112. Асимптотические разложения. Представление решений уравнений вида (112) в виде контурных интегралов дает возможность получать так называемые асимптотические разложения488Гл.
V. Линейные дифференциальные уравнения[112решений. Мы кратко изложим сначала общие сведения об этихразложениях Напомним, что раньше мы рассматривали такие раз1ложения при больших n по степеням n− p , где p — некоторое целое положительное число [79]. Сейчас мы будем рассматривать ихна плоскости комплексного переменного z вдоль некоторого лучаz = reiϕ при большом r и чаще в некотором секторе α ϕ β.В случае луча, применяя, если надо, поворот плоскости z вокругначала, всегда можно считать, что луч есть вещественная положительная полуось z > 0.
Мы будем главным образом рассматриватьасимптотические разложения видаc2c1c0 +++ ...(149)zz2Это — так называемые асимптотические степенные ряды. Обозначим sm (z) сумму первых m членов этого ряда:sm (z) = c0 +cm−1c1+ . . . + m−1 .zzСходимость ряда (149) в точке z = z0 равносильна существованиюпредела sm (z0 ) при m → ∞. Совершенно иной подход имеет местопри определении асимптотического разложения. Пусть в некоторомсекторе Bα < arg z < β(150)или на некотором луче l при |z| > a определена функция f (z). Говорят, что ряд (149) является асимптотическим разложением f (z)в B (или на l), если при любом целом m 1 разность f (z) − sm (z)при |z| → ∞ в B (или на l) есть бесконечно малая более высокого1порядка, чем zm−1, т.
е.lim [f (z) − sm (z)]z m−1 = 0.|z|→∞Это записывается также так:f (z) = sm (z) + o,m−11z(151)(152)где o( z1k ) обозначает такую величину, что произведение o( z1k )·z k → 0при |z| → ∞. Принимая во внимание, что sm (z) = sm+1 (z) − zcmm,112]Асимптотические разложения489и условие (151), если в нем заменить m на (m + 1), можем вместо(151) написать1(153)f (z) = sm (z) + O m ,zгде O( z1k ) — такая величина, что произведение O( z1k ) · z k остаетсяограниченным при |z| → ∞ в B или на l.
Обычно асимптотическоеразложение функции f (z) обозначают так:f (z) ∼ c0 +c2c1+ 2 + ...zz(154)Если f (z) — функция, регулярная в окрестности точки z = ∞ ив самой этой точке, т. е. разлагается при |z| > r, где r — некотороенеотрицательное число, в рядf (z) = c0 +c2c1+ 2 + ...,zzто очевидно, что ряд, стоящий справа, будет и асимптотическимразложением f (z) при |z| > r. Но при определении асимптотического разложения (154) сходимость ряда не предполагается, и в дальнейшем мы будем иметь в основном дело с расходящимися рядами.Из определения (153) непосредственно следует, что коэффициенты cm определяются по функции f (z) единственным образом:c0 = lim f (z),|z|→∞c1 = lim [f (z) − c0 ]z,|z|→∞c2 = lim [f (z) − c0 −|z|→∞c1 2]z , .
. . ,z(155)т. е. асимптотическое разложение может быть только одно. В написанных формулах |z| → ∞ в том секторе α ϕ β или на томлуче, где имеет место разложение.Рассмотрим функцию e−z . Вещественная часть (−z) отрицательна и по абсолютной величине не меньше |z| sin ε в секторе−ππ+ ε arg z − ε,22(156)где ε > 0 — малое число. Отсюда следует, что e−z z m → 0 при любом целом m 0, и, следовательно, асимптотическое разложениеГл. V. Линейные дифференциальные уравнения490[112состоит из нулей в секторе (156):e−z ∼ 0 +00++ ...,z z2или e−z ∼ 0.Таким образом, если некоторая функция f (z) в секторе (156)или на некотором луче из этого сектора имеет разложение (154),то функция f (z) + e−z имеет то же самое разложение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
