1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Оно имеет место не только для функций Бесселя.115. Вырождение уравнения Гаусса. Рассмотренное намивыше уравнение (112) и уравнение Бесселя имеют на плоскости zдве особые точки, из которых одна регулярная (z = 0)), а другаяиррегулярная (z = ∞). Такого типа уравнения, естественно, получают из уравнения Гаусса, имеющего три регулярные особые точкиz = 0, z = 1, z = ∞, при слиянии двух из них. Действительно,уравнение Гаусса (62) при замене z на αz принимает видz(1 + β)z z−1 w + −γ+z+w + βw = 0,ααпри α → ∞ переходит в уравнение видаzw + (b − z)w − aw = 0,(190)где b = γ и a = −β. Это последнее уравнение имеет регулярнуюособую точку z = 0 и иррегулярную z = ∞.
В точке z = 0 определяющее уравнение имеет корни ρ1 = 0 и ρ2 = 1 − b. Решениеуравнения (190), регулярное в точке z = 0 и тем самым являющееся целой функцией, имеет, как нетрудно показать, видw1 (z) = F (a, b; z) = 1 +a(a + 1) z 2az++ ...,b 1!b(b + 1) 2!(191)если b = 0, −1, −2, . . ., а второе решениеw2 (z) = z 1−b F (a − b + 1, 2 − b; z),(192)1 Соответствующие лучи, определяющие границы секторов комплекснойплоскости с разными решениями, называются линиями Стокса дифференциального уравнения.506Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения[116если 2 − b = 0, −1, −2 .
. . Укажем также уравнение Уиттекера 1− m21 kw + − + + 4 2w = 0,4 2z1которое при помощи преобразования w = z m+ 2 u приводится к виду1zu + (1 + 2m)u + − z + k u = 0.4116. Формальные ряды в окрестности иррегулярной особой точки. При построении указанных в заглавии рядов будемсчитать, что иррегулярной особой точкой является точка z = ∞.Этого всегда можно достигнуть, совершая дробно-линейное преобразование независимой переменной.
Мы будем предполагать, чтокоэффициенты уравнения регулярны в окрестности z = ∞, т. е.что уравнение имеет видa1b1a2b2w + a0 ++ 2 + . . . w + b0 ++ 2 + . . . w = 0, (193)zzzzи написанные ряды сходятся при |z| > r. Если a0 = b0 = b1 = 0,то точка z = ∞ или является регулярной особой точкой, или вовсене является особой точкой [100]. Мы считаем, что по крайней мереодин из указанных коэффициентов отличен от нуля. Если будемпытаться формально удовлетворить этому уравнению выражениемвида1ρw = z c0 + c1 + .
. . ,(194)zгде c0 = 0, то при подстановке в левую часть уравнения будем иметьединственный член, содержащий z ρ , а именно член вида b0 c0 z ρ . Отсюда следует, что мы не сможем даже формально удовлетворитьнашему уравнению выражением вида (194), если b0 = 0. Попытаемся освободиться от коэффициента b0 , вводя вместо w новуюискомую функцию u по формулеw = eαz u.116]Формальные ряды в окрестности иррегулярной особой точки507Отсюдаw = eαz u + αeαz u; w = eαz u + 2αeαz u + α2 eαz u,и, подставляя в уравнение, будем иметь новое уравнениеa2a1u + 2α + a0 ++ 2 + . . .
u +zzαa2 + b2αa1 + b1+ α2 + αa0 + b0 +++...u = 0.zz2Остается теперь выбрать постоянную α согласно условиюα2 + αa0 + b0 = 0.(195)В результате получим уравнение вида a2ba1b1u + 2α + a0 ++ 2 + . . . u ++ 22 + . . . u = 0 (196)zzzz(bk = αak + bk ),где α — некоторый корень уравнения (195). Этому уравнению мыуже сможем формально удовлетворить выражением вида (194). Положим сначалаu = z ρ v,откудаu = z ρ v + ρz ρ−1 v, u = z ρ v + 2ρz ρ−1 v + ρ(ρ − 1)z ρ−2 v.Подставляя в (196), будем иметь для новой функции v уравнениеv + p1 (z)v + q1 (z)v = 0,(197)где⎫a22ρ + a1a3⎪+ 2 + 3 + ...,⎪⎪zzz⎪⎪⎬ρ(ρ − 1) + a1 ρ + b2(2α + a0 )ρ + b1+q1 (z) =+⎪zz2⎪⎪⎪⎪a2 ρ + b 3a3 ρ + b4⎭+++...z3z4p1 (z) = 2α + a0 +(198)Гл. V.
Линейные дифференциальные уравнения508[116Определим теперь ρ из того условия, чтобы коэффициент q1 (z) несодержал члена с z −1 , т. е. чтобы(2α + a0 )ρ + b1 = 0, ρ = −αa1 + b1.2α + a0(199)При этом мы считаем, что уравнение (195) имеет различные корни,откуда следует, что 2α + a0 = 0.Новое уравнение для v будет2ρ + a1v + 2α + a0 ++ . . . v +z 2a2 ρ + b3ρ + (a1 − 1)ρ + b2++...v = 0. (200)+z2z3Этому уравнению мы сможем формально удовлетворить ужерядом видаc2c1v = c0 ++ 2 + ...(201)zzДифференцируя, подставляя в левую часть уравнения и применяя метод неопределенных коэффициентов, получим систему уравнений, из которых последовательно определяются c1 , c2 , .
. ., а c0будет играть роль произвольного множителя. Напишем первое изэтих уравнений:−(2α + a0 )c1 + [ρ2 + (a1 − 1)ρ + b2 ]c0 = 0,откудаc1 =ρ2 + (a1 − 1)ρ + αa2 + b2c0 .2α + a0Окончательно получаем выражение видаc2c1+ 2 + ... ,w = eαz z ρ c0 +zz(202)(203)которое формально удовлетворяет уравнению (193). Если квадратное уравнение (195) имеет различные корни, то, используя каждыйиз них, мы построим вышеуказанным образом два выражения вида116]Формальные ряды в окрестности иррегулярной особой точки509(203). Но, как оказывается, бесконечный ряд, входящий в выражение (203), будет, вообще говоря, рядом, расходящимся при всякомзначении z.Покажем это на одном частном примере. Возьмем уравнениеa1b2w + 2 w = 0 (a0 = 0).w + a0 +(204)zzВ данном случае мы можем считать α = ρ = 0 и, подставляяв левую часть уравнения (204) ряд вида (201), найдем следующиеформулы для определения коэффициентов:[n(n + 1) − na1 + b2 ]cn − (n + 1)a0 cn+1 = 0.Возьмем отношение двух последовательных членов ряда (201).Пользуясь предыдущей формулой, получим для этого отношенияследующее выражение:cn+1 cnn(n + 1) − na1 + b2 1: n =,n+1zz(n + 1)a0zиз которого непосредственно следует, что при любом заданном zупомянутое отношение стремится к бесконечности вместе с n, и,следовательно, построенный бесконечный ряд не может сходитьсяни при каком z.Рассмотрим теперь тот случай, когда уравнение (196) имеет двукратный корень.
При этом 2α + a0 = 0 и уравнение (196) имеет вид a2ba1b1+ 2 + . . . u ++ 22 + . . . u = 0.(205)u +zzzzВводя новую независимую переменную t =d2 u+dt2√z, получим уравнение2a1 − 1 2a22a3du+ 2 + 3 + ...+tttdt4b34b2+ 4b1 ++ 2 + . . . u = 0,tt510Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения[117и для него квадратное уравнение (195) имеет вид α2 + 4b1 = 0,и если b1 = 0, то мы имеем для уравнения рассмотренный вышеслучай различных корней уравнения (195).Если же b1 = 0, то точка w = ∞ является регулярной особойточкой уравнения (205) или же неособой точкой.Уравнение (112) является частным случаем уравнения (193).Для его решений мы получили асимптотические разложения (179)и (181), причем уравнения (117) для (112) совпадают с уравнением(195), а p и q совпадают с (−ρ1 ) и (−ρ2 ).
Нетрудно показать, чтополученные нами разложения (203) совпадают, с точностью до постоянного множителя, с асимптотическими разложениями (179) и(181). Таким образом, в случае уравнения (112) полученные формальные ряды являются асимптотическими представлениями некоторых решений этого уравнения. Это же будет иметь место и дляобщего уравнения (193).
Асимптотические представления решенияэтого уравнения мы будем строить по методу последовательныхприближений.117. Построение асимптотических разложений методомпоследовательных приближений. Рассмотрим уравнение (200)и будем считать сначала 2α + a0 = −1. Перепишем его в видеv − v =11p1 (z)v + 2 q1 (z)v,zz(206)где p1 (z) и q1 (z) — ряды, расположенные по целым неотрицательным степеням z −1 , сходящиеся в некоторой области вида |z| > r.Сначала мы будем рассматривать z на луче z > r. Отметимследующий факт: уравнениеv0 − v0 = f (z),где f (z) непрерывна и интегралzf (z)dz∞117]Построение асимптотических разложений.
. .511существует, имеет единственное решение, равное единице приz = +∞, и это решение выражается формулойzv0 (z) = 1 + eze−xzf (x) dx −∞f (x) dx.∞Интегралы берутся по промежутку (z, +∞), и z > r. Если f (x) ≡ 0,то v0 ≡ 1.Легко видеть, что дифференциальное уравнение (206) вместе суказанным условием при z = ∞ равносильно следующему интегродифференциальному уравнению:zv(z) = 1 +∞11(ez−x − 1) p1 (x)v (x) + 2 q1 (x)v(x) dx.xx(207)Интегрируя по частям, получаемzv(z) − 1 = eze∞где−x 1xzp2 (x)v(x) dx +∞1q2 (x)v(x)dx,x211q1 (x) − p1 (x) + p1 (x) + p1 (x),xxq2 (x) = −q1 (x) + xp1 (x) − p1 (x)p2 (x) =(208)(209)и p2 (x), q2 (x) — ряды того же типа, что и p1 (x), q1 (x), сходящиесяпри |z| > r. Применим к уравнению (208) метод последовательныхприближений, обозначая для краткости письма правую часть егочерез A[v]:v1 = 1, vn − 1 = A[vn−1 ].(210)Нетрудно видеть, что все vn (z) имеют производные всех порядковпри |z| > r и стремятся к единице при z → +∞.
Из (210) следуетvn (z) − vn−1 (z) = A[vn−1 − vn−2 ].(211)Фиксируем какое-либо r0 > r, и пусть mk = max |vk (z) − vk−1 (z)|при z, меняющемся на промежутке i0 (r0 z < +∞). Существует,Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения512[117очевидно, такая постоянная M > 0, что |p2 (z)| и |q2 (z)| M напромежутке i0 . Предыдущая формула дает на этом промежуткеez Mmn−1|vn (z) − vn−1 (z)| z∞e−x∞dx + M mn−1z1dx,x2(212)zоткуда2Mmn−1 .(213)zФиксируя r1 > r0 так, чтобы иметь r1 > 2M , получим на промежутке i1 (r1 z < +∞)mn mn qmn−1 (0 < q < 1).Отсюда следует, что ряд1 + [v2 (z) − v1 ] + [v3 (z) − v2 (z)] + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
