1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Рассмотрим уравнениеy + λ2 p(x)y = 0,(249)где p(x) — положительная непрерывная периодическая функция на бесконечном промежутке (−∞, +∞). Для любого конечного промежутка мы можемприменить формулу (248), но нельзя утверждать, что решения уравнения (249)будут ограниченными функциями на всем бесконечном промежутке, хотя первые два слагаемых правой части дают, очевидно, ограниченную функцию навсем бесконечном промежутке, ибо p(x) m > 0, где m — некоторая постоянная, на всем бесконечном промежутке в силу периодичности. Оказывается,что в рассматриваемом случае может иметь место следующий факт: при однихзначениях λ все решения уравнения (249) — ограниченные функции на бесконечном промежутке, а при других значениях λ этого свойства ограниченностивсех решений уже не будет. Более подробно мы об этом будем говорить в дальнейшем, при исследовании уравнений с периодическими коэффициентами.Совершенно аналогично случаю p(x) > 0 можно рассмотреть и случайp(x)<0 на конечном промежутке a x b, и вместо тригонометрическихфункций, входящих в формулу (248), получатся показательные функцииy1 (x) = 4y2 (x) = 4C1−p(x)C2−p(x)λeex √−p(t) dta−λ+Ox √−p(t) dta 1,λ+O 1.λ(250)Переходим теперь к более сложному случаю, когда p(x) в уравненииy + [λ2 p(x) + r(x)]y = 0(251)меняет знак на рассматриваемом промежутке.
Не ограничивая общности, можем считать, что x = 0 находится внутри (a, b) и p(x) = xp1 (x), где p1 (x) > 0при a x b. В данном случае основным «эталонным» уравнением являетсяуравнение Эйриw (x) − xw (x) = 0.(252)Относительно гладкости p(x) и r(x) делаются прежние предположения.
Рассмотрим сначала случай 0 x b, т. е. p(x) 0. Будем искать решениеуравнения (251) в видеy(x) = A(x)w[ω1 (x)],где w(x) — любое решение уравнения (252), а функции A(x) и ω1 (x) выбираютсятак, чтобы в полученном после подстановки в (251) уравнении сократилисьчлены с положительными степенями большого параметра λ. Таким путем мыпридем к приближенному решению уравнения (251):21y= (253)ω λ 3 ω(x) ,ω (x)524Гл. V. Линейные дифференциальные уравнениягдеω(x) =32x [11923p(x)dx.(2531 )0Функция (253) в точности удовлетворяет уравнениюy + [λ2 p(x) + r0 (x)]y = 0,гдеA (x)A(x)(254)1.ω (x)При любом r(x) уравнение (251) можно записать в видеr0 =иA(x) = y + [λ2 p(x) + r0 (x)]y = f (x)y,(2511 )гдеf (x) = r0 (x) − r(x).Функция f (x) непрерывна при 0 x b.В дальнейшем мы будем придерживаться и пользоваться результатами иобозначениями из [118].Т е о р е м а 1.
Существуют решения уравнения (251), имеющие при0 x b вид21Y1 (x, λ) = v λ 3 ω(x) [1 + e1 (x, λ)],ω (x)(255)21u λ 3 ω(x) [1 + e2 (x, λ)],Y2 (x, λ) = ω (x)где ek (x, λ) непрерывны при 0 x b, λ > 0, и имеют место оценкиC(k = 1, 2),(256)λгде постоянная C не зависит ни от x, ни от λ.Напомним, что v(x) и u(x) — вещественные решения уравнения (252), причем v(x) → 0 и u(x) → +∞ при x → +∞.Наметим доказательство утверждения для Y1 (x, λ). Для Y2 (x, λ) оно аналогично. Применяя метод вариации произвольных постоянных к уравнению(2511 ), получим для решений уравнения (251), которое совпадает с (2511 ), интегральное уравнениеxy1 (x)y2 (t) − y2 (x)y1 (t)f (t)y(t) dt,(257)y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) +W (y1 , y2 )|ek (x, λ)| bгде y1 (x) и y2 (x) — решения уравнения (254):21v λ 3 ω(x) ;y1 (x) = ω (x)21u λ 3 ω(x) ,y2 (x) = ω (x)(2571 )119]Асимптотика при большом значении параметра525и W (y1 , y2 ) — определитель Вронского этих двух решений.
Для него нетрудно2получить W (y1 , y2 ) = λ 3 . Положим C1 = 2, C2 = 0 и введем в уравнение (257)вместо y(x) новую функцию z(x):y(x) = y1 (x)z(x).(258)Для z(x) получим уравнение2z(x) = 1 + λ− 3x y1 (t)y2 (t) − y12 (t)by2 (x)f (t)z(t) dt.y1 (x)(259)Выбор нижнего предела интегрирования (b > x) служит для оценки вычитаемого в квадратной скобке. При доказательстве теоремы для Y2 (x, λ) в уравнении (257) надо положить C1 = 0, C2 = 1 и выбрать нижний предел интегрирования равным нулю. При дальнейшем доказательстве используется следующаяЛ е м м а.
Если в интегральном уравнении на конечном промежуткеxz(x) = F (x) +K(x, t)z(t)dt(260)cс непрерывным в квадрате c x d, c t d ядром и непрерывной функциейF (x) выполнено условиеd|K(x, t)|dt M < 1(c x d),(261)cто уравнение (259) имеет единственное решение z(x), причемz(x) = F (x) + R(x),гдеM· max |F (x)|.(262)1 − M cxdКроме того, если K(x, t) непрерывно зависит от параметра λ, который меняется на конечном или бесконечном промежутке, причем выполнено условие (261) и M не зависит от λ, то z(x) будет непрерывной функцией переменных x и λ.Доказательство леммы легко проводится методом последовательных приближений.Из упомянутой леммы следует, что для доказательства сформулированнойтеоремы достаточно установить оценку|R(x)| b y1 (t)y2 (t) − y12 (t) y2 (x) · |f (t)|dt Cλ− 13 ,y (x) xгде C не зависит ни от x, ни от λ.1(263)Гл. V.
Линейные дифференциальные уравнения526[119Кратко наметим путь получения этой оценки. Буквой C будем обозначатьразличные постоянные (не зависящие от λ). Из определения ω(x) следует, что[ω (x)]−1 C1 , и, принимая во внимание формулы (2571 ) и (237), получаем11|y1 (t)y2 (t)| C2 [ω(t)]− 2 λ− 3 ,откуда следуетbb|y1 (t)y2 (t)f (t)|dt 111C3 λ− 3 [ω(t)]− 2 dt C4 λ− 3 .(264)0xИнтегралJ1 =b y2 (x) 2 y (x) y1 (t)|f (t)|dt1xимеет еще меньший порядок по λ. Переходим к его оценке" ! 2 u λ 3 ω(x) b! 2"" v2 λ 3 ω(t) dt.J1 C5 ! 2 v λ 3 ω(x) x22Положив λ 3 ω(x) = α, λ 3 ω(t) = β, получим∞2J1 C6u(α) − 2λ 3v(α)λ 3ω(b)v2 (β)α2dβ C0 λ− 3ω (t)v2 (β)dβαv(α)u(α).Легко проверить, что u v − v u = 1.
Используя это и применяя к написаннойвыше дроби правило Лопиталя, получим, что ее предел при α → +∞ равенпределу u2 (α)v2 (α), а в силу (237) этот предел равен нулю. Из указанных вышеоценок непосредственно следует и требуемая оценка. Сформулированная вышелемма дает для решения интегрального уравнения (259) 1z(x) = 1 + O,λоткуда в силу (258) следует утверждение теоремы 1.Для случая a x 0 (p(x) 0) функция ω(x) определяется равенствомω(x) = −32x 2−p(x)dx3.(2532 )0На всем промежутке a x b функция ω(x) является гладкой и ω (x) > 0.Функции Yj (x, λ) (j = 1, 2), входящие в теорему 1, имеют, очевидно, смысли на промежутке a x 0.
Используя асимптотику, выражаемую формулами(237), получаем:119]Асимптотика при большом значении параметра527Т е о р е м а 2. Решения Y1 (x, λ), Y2 (x, λ) уравнения (251) имеют приa x b, λ > 0 вид 111Y1 (x, λ) = + v(t)O,v(t) + u(t)Oλλω (x) 111+ v(t)O,u(t) + u(t)OY2 (x, λ) = λλω (x)где t = λ2/3 ω(x) и O(1/λ) — функции x и λ, допускающие оценку O 1 C ,λ λпричем C не зависит ни от x, ни от λ.Доказательство этой теоремы, основанное на исследовании интегральногоуравнения (257), мы подробно приводить не будем.
Отметим лишь, что интегральное уравнение для Y1 (x, λ) имеет видbY1 (x, λ) = y1 (x) +xy1 (x)y2 (t) − y2 (x)y1 (t)f (t)Y1 (t, λ) dtW (y1 , y2 )и интеграл представляется в виде суммы двух интегралов по промежуткам(0, b) и (x, 0). В первом из интегралов можно использовать асимптотикуY1 (x, λ) из теоремы 1, после чего этот интеграл приводит к выражению 11y1 (x) 1 + O+ y2 (x)O,λλа в интеграле по промежутку (x, 0) вводится вместо Y1 (x, λ) новая искомаяфункция:Y1 (x, λ)V1 (x, λ) = .2y1 (x) + y22 (x)З а м е ч а н и е. Отметим еще, что появление u(t) в остаточном членеY1 (x, λ) связано с тем, что в точках x, где v(t) = 0, первый член формулыдля Y1 (x, λ) не является главным.Можно было бы вместо u(t) и v(t) использовать и решения w1 (t) и w2 (t)уравнения Эйри [118], имеющие комплексные значения при вешественном t.Результат получился бы следующий:Т е о р е м а 3.
При a x b, λ > 0 существуют решения уравнения (251)Z1 (x, λ), Z2 (x, λ), непрерывные при a x 0, λ > 0 и такие, чтоZj (x, λ) = 1ω (x)wj (t)[1 + gj (x, λ)],2t = λ 3 ω(x),(265)ω(x) определена формулами (2531 ) и (2532 ), wj (t) — функции Эйри, и gj (x, λ)имеют оценкуC|gj (x, λ)| .λ528Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения[120Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1, нонесколько проще.120. Уравнения с периодическими коэффициентами.Рассмотрим линейное уравнение второго порядка, коэффициентыкоторого суть периодические функции независимого переменного.Теория таких уравнений во многом аналогична изложенной вышетеории уравнений с аналитическими коэффициентами.
Мы будемпока считать как коэффициенты, так и независимое переменное вещественными. Итак, пусть имеется уравнениеy (x) + p(x)y (x) + q(x)y(x) = 0,(266)где p(x) и q(x) — вещественные непрерывные функции вещественного переменного x, имеющие период ω, т. е.p(x + ω) = p(x),q(x + ω) = q(x).(267)Непрерывность коэффициентов гарантирует нам тот факт, чтовсякое решение уравнения (266), определяемое некоторыми начальными условиями, существует при всех вещественных значениях x.Пусть y1 (x) — некоторое решение уравнения, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
