1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Тогда на указанномпромежутке y2 (x) > y1 (x).Доказательство первого утверждения указано в [II, 31]. Переходим к доказательству второго утверждения.Умножая первое из уравнений на y2 , второе на y1 и вычитаяполученные уравнения почленно, получимd (y y1 − y1 y2 ) = [q1 (x) − q2 (x)]y1 y2 .(286 )dx 2На промежутке a < x < b решения yk (x), удовлетворяющие условиям (286), положительны в силу первого утверждения, и отношениеy2 /y1 , равное единице при x = a, в силу (286 ) возрастает, откуда иследует второе утверждение леммы.Л е м м а 2.
Если q(x) ≡/ 0 и уравнение Хилла имеет не обращающееся в нуль ω-периодическое решение y(x), тоωq(x) dx < 0.(287)0Д о к а з а т е л ь с т в о. Подставляя q(x) = − yy и интегрируя почастям, получимω ω 2ωω1 yy dy = − −q(x)dx = −dx.yyy0000536Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения[121В силу периодичности y(x) внеинтегральный член исчезает, и изполученной формулы следует (287).Введем понятие выпуклого множества функций.
Множество Mвещественных непрерывных функций q(x) называется выпуклымпри соблюдении следующего условия: если функции q1 (x) и q2 (x)принадлежат M , то и функцияq(x) = sq1 (x) + (1 − s)q2 (x)при всех s, удовлетворяющих условию 0 < s < 1, также принадлежит M . Переходим к основной для дальнейших доказательствлемме.Л е м м а 3. Пусть M — некоторое выпуклое множество ω-периодических, вещественных и непрерывных функций q(x) такое,что (I) для q(x) из M уравнение (275) не имеет ω-периодическихи ω-антипериодических решений; (II) множество M содержитфункцию q(x) ≡ c2 , тождественно равную положительной постоянной. Тогда при q(x) из M для соответствующей характеристической постоянной Ляпунова выполнено неравенство |A| < 1.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть q(x) из M . Положим qs (x) =(1 − s)c2 + sq(x).
Выпуклость множества M означает, что qs (x) тожеиз M при 0 s 1. Для уравнения (275) с коэффициентом qs (x)постоянная A = A(s) является функцией s. Покажем, что A(s) будет непрерывной функцией s. Любое решение y(x, s) уравнения(275) с начальными значениями y(0), y (0), не зависящими от s, будет непрерывной (и даже целой) функцией s. Это сразу следуетиз равномерной при 0 x ω, 0 s 1 сходимости к решениюy(x, s) последовательности yn (x, s), определенной соотношениями[II, 50]yn+1(x, s) = −qs (x)yn (x),yn+1(0, s) = y (0)y0 (x, s) ≡ y(0),yn+1 (0, s) = y(0),(n = 0, 1, 2, .
. .).yn (ω, zs)При этом yn (ω, s),будут непрерывными (и даже целыми) функциями s. Следовательно, непрерывными (и даже целыми)функциями s будут y(ω, s), y (ω, s), а значит, и определенная формулой (279) функция A = A(s).121]Условия устойчивости и неустойчивости. . .537Как было показано в предыдущем пункте, из предположения(I) следует, что при 0 s 1 выполнено A(s) = ±1. Из предпо2 2ложений (I) и (II) следует, что c2 = nωπ2 , так как для уравнения2 2(275) с коэффициентом q(x) = nωπ2 имеем A = (−1)n . Выше было2 2показано, что для уравнения с коэффициентом q(x) = c2 = nωπ2выполнено |A| < 1.
Итак, |A(0)| < 1 и A(s) = ±1 при 0 s 1.Следовательно, |A(s)| < 1 при 0 s 1 и, в частности, |A(1)| < 1,что и утверждалось.Отметим, что утверждение леммы 3 остается справедливым приболее общих предположениях, например, когда условие выпуклостимножества M заменено условием связности. Для дальнейшего, однако, достаточно сформулированного утверждения.К р и т е р и й Н. Е. Ж у к о в с к о г о. Если для некоторого n =0, 1, 2, . . .
выполненоn2 π 2(n + 1)2 π 2<q(x)<,ω2ω2(288)то все решения уравнения (275) ограничены при −∞ < x < +∞ идля этого уравнения |A| < 1.Д о к а з а т е л ь с т в о. Множество M вещественных ω-периодических функций q(x), удовлетворяющих соотношениям (288), очевидно, выпукло, и выполнено также условие (II) леммы 3. Покажем,что выполнено условие (1). Пусть η(x) — решение уравнения (275)для некоторого q(x) из M такое, что η(x+ω) = ±η(x). Решение η(x)непременно имеет нули.
Действительно, если η(x + ω) = −η(x), тоη(x) меняет знак и, следовательно, имеет нули. Если η(x+ω) = η(x),то η(x) имеет нули по лемме 2. Пусть x1 < x2 — какие-либо два последовательных нуля функции η(x). Будем считать для определенности, что η(x) > 0 при x1 < x < x2 . Построим решения ηn (x)2 2и ηn+1 (x) уравнения (275) с коэффициентами q(x) ≡ nωπ2 и q(x) ≡(n+1)2 π 2ω2и с начальными условиямиηn (x1 ) = ηn+1 (x1 ) = 0;ηn (x1 ) = ηn+1(x1 ) = η (x1 ) > 0.Расстояния между соседними нулями у решений ηn (x), ηn+1 (x) буωдут, очевидно, ωn и (n+1).
По лемме 1 графики функций ηn+1 (x),538Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения[121η(x), ηn (x) расположены так, какпоказано на рис. 70, т. е.x1 +ωω< x2 < x1 + .n+1nТаким образом, расстояние dмежду любыми соседними нулями решения η(x) удовлетворяетнеравенствуωω<d< .n+1n(289)Рис.
70.Поскольку η(x1 +ω) = 0, то на интервале x1 x x1 + ω длины ωукладывается целое число (обозначим его через k) отрезков междусоседними нулями решения η(x). Длины dj этих отрезков должныудовлетворять соотношению (289). Легко убедиться в том, что этоневозможно. Действительно, имеем d1 + d2 + . . . + dk = ω. Складывая соответствующие неравенства (289), получим kω/(n + 1) < ω <kω/n, n < k < n + 1, что невозможно, так как k — целое число.Итак, выполнено условие (I) леммы 3. Из леммы 3 поэтому следует справедливость критерия Жуковского.Отметим, что, несколько уточняя приведенные рассуждения,легко заменить (288) более общим условием, а именно заменить2 2в (288) знаки < на , но при этом потребовать, чтобы q(x) ≡/ nωπ222πи q(x) ≡/ (n+1).
При этом по-прежнему |A| < 1.ω2В работе В. А. Я к у б о в и ч а (Матем. сб., т. 37 (79), вып. 1, 1965)установлено следующее обобщение критерия Н. Е. Жуковского:неравенство |A| < 1 имеет место, если выполнено неравенствоn2 π 2r (x)(n + 1)2 π 2r (x)− 1 q(x) − 2,44r1 (x)r1 (x)r2 (x)r2 (x)(290)где r1 (x), r2 (x) — какие-либо произвольные, дважды непрерывно дифференцируемые ω-периодические положительные функции,121]Условия устойчивости и неустойчивости.
. .539нормированные условиемω0ωdx(x) =r120dx= 1.r22 (x)При этом предполагается, что q(x) не совпадает тождественнони с левой, ни с правой частью неравенства (290). Историческипервым достаточным условием устойчивости для уравнения Хилла было следующее условие, установленное А. М. Ляпуновым (см.Л я п у н о в А.
М. Общая задача об устойчивости движения (1894)):Неравенство |A| < 1 имеет место, еслиωq(x) 0,q(x)dx 4.ω(291)0При этом считается, что q(x) ≡/ 0.Л е м м а 4. Пусть a < b — последовательные нули произвольного решения уравнения (275), в котором q(x) 0.
Тогдаb(b − a)q(x) dx > 4.(292)aД о к а з а т е л ь с т в о. Предполагается, очевидно, что y(x) ≡/ 0.Можно считать, что y(x) > 0 при a < x < b, и пусть y(c) = max y(x).a<x<bСуществуют точки x1 и x2 , принадлежащие промежуткам a <x1 < c и c < x2 < b и такие, чтоy(c)y(c) − y(a)== y (x1 );c−ac−ay(b) − y(c)−y(c)== y (x2 ). (293)b−cb−cПри a x b имеем (−y ) = q(x)y 0 и, интегрируя, получимx2x2q(x) dx =x1x11(−y )dx >yy(c)x2y (x1 ) − y (x2 ).(−y ) dx =y(c)x1(294)540Гл. V.
Линейные дифференциальные уравнения[121В подынтегральном выражении (−y ) 0 и y > 0, а знаменатель мы заменили его максимумом y(c). При этом вместо мыпоставили >. Оправдаем это. Если бы вместо > стоял знак =, то в(x)(x)силу непрерывности y и y мы должны были бы иметь yy(c)≡ yy(x)в промежутке i (x1 x x2 ), и надо привести это тождествок противоречию. Из указанного тождества следует, что в точкахпромежутка i или y ≡ 0, или y(x) ≡ y(c). Докажем, что y = 0внутри i, а тем самым и на концах.
Пусть существует такая точкаx = x0 (x1 < x0 < x2 ), в которой y (x0 ) < 0. Мы должны при этомиметь y(x0 ) = y(c), y (x0 ) = 0 и y (x) < 0 при всех x, достаточноблизких к x0 . При этом из формулы Тейлора y(x) = y(x0 )+ 12 y (x ),x0 < x < x, следует, что при x, близких к x0 и отличных от x0 ,мы имеем y (x) = 0 и y(x) = y(x0 ) = y(c), что противоречит указанному выше тождеству, и, следовательно, из него следует, чтоy (x) = 0 при x1 x x2 , т.
е. в этом промежутке y (x) = const,что противоречит (293). Таким образом, доказано наличие знака >в (294).Используя (293) и (294), получимbx2q(x) dx aq(x)dx >x111+.c−a b−cПри изменении c в промежутке a < c < b правая часть достигаетминимального значения 4/(b − a) в случае c − a = b − c, т. е.114+,c−a b−cb−aоткуда и следует (292).Переходим к доказательству критерия (291). Применим лемму 3. Множество функций q(x), удовлетворяющих условиям (291),очевидно, выпукло.
Условие (II) леммы выполнено. Покажем, что иусловие (I) выполнено. Предположим, что имеется ω-периодическоеили ω-антипериодическое решение y(x), и приведем это предположение к противоречию. Согласно лемме 2 y(x) имеет нули и расстояние d между соседними нулями a и b удовлетворяет неравен-121]Условия устойчивости и неустойчивости. . .541ству d ω. Согласно лемме 4d=b−a>4bq(x) dxa ω4.q(x) dx0По второму из условий (291) правая часть не меньше ω, откудаd > ω. Это противоречие указывает на выполнение условия (II)леммы 3, и из последней следует достаточность критерия (291) длявыполнения условия |A| < 1∗ .Как показал М. Г.
Крейн, для выполнения неравенства |A| < 1вместо (291) достаточны следующие менее ограничительные условия:ωωq(x)dx 0, ω [q(x)]+ dx 4,00где[q(x)]+ =q(x),если q(x) 0,0,если q(x) < 0,и предполагается, что q(x) ≡/ 0. Этот критерий доказывается по тойже схеме, что и выше.Приведем еще следующие критерии (Якубович В. А. ДАНСССР, т. 74, № 5, 1950), являющиеся по своему характеру промежуточными между критериями А. М. Ляпунова и Н. Е.
Жуковского:если для некоторого n = 0, 1, 2, . . . выполненоq(x) n2 π 2;ω2ω q(x) −ω0n2 π 2πdx 2n(n + 1)π tgω22(n + 1)∗ Приведенное доказательство близко к доказательству Ж. Борга (Amer.J. of Math., 69, N 1 (1949)), который установил, что |A| < 1 при q(x) ≡/ 0,ωωq(x) dx 0,0|q(x)| dx 4.ω0542Гл.
V. Линейные дифференциальные уравнения[121илиπ 2 (n + 1)2;q(x) ω2ω ω0(n + 1)2 π 2−q(x)dx (n + 1)π 2ω2и(n + 1)2 π 2n2 π 2,q(x)≡/,ω2ω2то |A| < 1. Для n = 0 первый из критериев переходит в критерий A. М. Ляпунова. Можно показать, что эти критерии являютсяточными: при сколь угодно малом увеличении постоянных в правых частях неравенств, содержащих интегралы, всегда можно найти функцию q(x), для которой выполнены соответствующие условия, но |A| > 1.Другие критерии устойчивости уравнения Хилла получены М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
