1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 82
Текст из файла (страница 82)
+w(z) = w(0) 1 +2·3(2 · 5)(3 · 6)(2 · 5 · 8)(3 · 6 · 9)47zz 10z+ w (0) z ++++ . . . . (229)3·4(3 · 6)(4 · 7)(3 · 6 · 9)(4 · 7 · 10)Применим к уравнению (228) преобразование Лапласа. Проделывая все указанные в [108] вычисления, придем к формулеz 3w(z) = Ce− 3 +zz dz (230)lпри условииe− z33ezz= 0.l(231)518Гл.
V. Линейные дифференциальные уравненияНа плоскости z функция e−[118z 33быстро стремится к нулю в секторахπππ2π4π | − ε; | arg z − − ε,| arg z | − ε; | arg z −6363 6(232)где ε > 0 — любое малое число. В соответствии с этим решения уравнения (228)при любом комплексном z определяются обычно следующим образом: z 3 z 311wk (z) = √ezz − 3 dz (k = 1, 2); v(z) = √ezz − 3 dz .(233)π2 πil3lkarg z 4π3=из бесконечности в точку z = 0, а затемКонтур l1 , идет по лучупо лучу arg z = 0 на (+∞); l2 — из бесконечности по лучу arg z = 2πв точку3z = 0, а затем из начала по лучу arg z = 0 на (+∞); l3 — из бесконечностипо лучу arg z = 4π, а затем по лучу arg z = 2πна бесконечность. Как легко33видеть,w1 (z) − w2 (z).(234)v(z) =2iИз определения wk (z) следует, что w1 (z) = w2 (z) и, в частности, при z вещественном w1 (z) = w2 (z), откуда следует, что функция v(z) вещественна привещественном z.
Второе вещественное решение при вещественном z определимформулойw1 (z) + w2 (z)u(z) =,2и отсюда следует при любом zw1 (z) = u(z) + v(z)i.Функции u(z) и v(z) обычно называются функциями Эйри. Иногда они обозначаются следующим образом:u(z) = Bi(z),v(z) = Ai(z).Пользуясь определениями wk (z), нетрудно получить значения функций иих производных при z = 0:√√ππ2 π2 πw1 (0) = 2 ei 6 ; w (0) = 4 e−i 6 ,2433Γ 333 Γ 3(235)w2 (0) = w1 (0); w2 (0) = w1 (0),w1 (0) = u(0) + v(0)i;w1 (0) = u (0) + v (0)i.Уравнение (228) можно преобразовать в уравнение Бесселя (131) приn = ± 13 [II, 42].
Принимая во внимание вид разложения (229) и формулы (141)и (235), получимπu(−z) =z J− 1 (x) − J 1 (x) , 2 33332(2361 )x=z"31√ !v(−z) =πz J− 1 (x) + J 1 (x)333118]иФункции Эйри519"π !z I− 1 (x) + I 1 (x) ,333"1√ !v(z) =πz I− 1 (x) − I 1 (x) ,332u(z) =где(2362 )1Ik (x) = e− 2 kπi Jk (xi).Из асимптотики функций Бесселя можно получить асимптотику функцийЭйри. Выпишем соответствующие результаты, считая z > 0 и большим:1 2 3/23w1 (z) = z − 4 e 3 z1 + O z− 2,1 2 3/231 + O z− 2,u(z) = z − 4 e 3 z31 − 1 − 2 z 3/21 + O z− 2,z 4e 32*+ 2 z 3/2 + π i1341 + O z− 2,w1 (−z) = z − 4 e 313π2 3,z2 ++ O z− 2u(−z) = z − 4 cos3413π2 3.z2 ++ O z− 2v(−z) = z − 4 sin34v(z) =(237)Отметим, что из вида уравнения (228) непосредственно следует, что все еговещественные решения — колеблющиеся при z < 0 и неколеблющиеся при z > 0[II, 31].
Из написанных выше формул следует, что u(z) → +∞ и v(z) → 0 приz → +∞. При z > 0 функции u(z) и v(z) положительны.Отметим возможность видоизменения контуров интегрирования при определении функций v(z) и u(z) при вещественном z. Лучи arg z = (4π/3 иarg z = (2π/3, участвующие в контуре l3 , интегрирование по которому определяет v(z), можно сместить на мнимую ось. Доказательство этого аналогичнодоказательству леммы Жордана [60]. Кратко наметим его. Надо доказать, чтоинтегралыezz3− z3CR1dz ezzи3− z3dz CR2по дугам окружностей z = R1 eiϕ и z = R2 eiψ , где3ππ2π4π ϕиψ ,3223стремятся к нулю при R1 , и R2 → +∞. При помощи элементарных преобразований это сводится к тому, что выражениеπ6I =R0e|z|R sin ω−R33sin 3ωdω(238)Гл. V.
Линейные дифференциальные уравнения520[119стремится к нулю при R → +∞. Используя неравенстваππ0 ω ,sin ω sin 3ω; cos ω cos66π6I<Rω= π61cos ω (|z|R− 1 R3 ) sin ωR(|z|R− 13 R3 ) sin ω 3edω=eππ13cos 6cos 6 |z|R − 3 Rω=00непосредственно получаем то, что надо было доказать. Таким образом, имеемпри вещественном z1v(z) = √2 πi+i∞e3zz − z3−i∞1dz = √2 πx3dx =cos zx +3+∞−∞1= √π∞0x3dx.cos zx +3Совершенно аналогично для u(z) при вещественном z получим∞31x3zx− x3u(z) = √edx.+ sin zx +π3(239)(240)0Можно показать, что все корни v(z) и v (z) находятся на луче arg z = π.* Отметим,+ что если w(z) есть какое-либо решение уравнения (228), то иw ze±2π i3есть также решение этого уравнения.
В этом легко убедитьсяна основании формулы (229) или пользуясь заменой независимой переменнойz = e±2π3iτ . Иногда вместо уравнения (228) пишут уравнениеw1 (z) + zw1 (z) = 0.(241)Легко видеть, что если w(z) удовлетворяет уравнению (228), то w(−z) удовлетворяет последнему уравнению. Подробное изложение результатов, касающихся функций Эйри, их приложений и таблиц, содержится в книге академикаВ. А. Фока (Fock V. A., Elektromagnetic Diffraction and Propagation Problems.London: Pergamon Press, 1965), которой мы пользовались при изложении настоящего материала.
В упомянутой книге w1 (z) обозначается через w(z)2 .119. Асимптотика при большом значении параметра. Прежде чемпереходить к аналитической теории систем линейных дифференциальных уравнений, мы рассмотрим два вопроса для линейных уравнений второго порядка без предположения аналитичности коэффициентов уравнений, а именно:2 Можно также упомянуть более современные книги, а именно: Олвер Ф.Асимптотика и специальные функции (1990), а также Справочник по специальным функциям, под ред. М.
Абрамовица и И. Стиган (1979).119]Асимптотика при большом значении параметра521асимптотику решений уравнений при больших значениях параметра, входящего в уравнения, и уравнения с периодическими коэффициентами. Начнемс первого вопроса, который мы рассмотрим кратко, не останавливаясь на подробных доказательствах.Мы будем рассматривать уравнение видаy + [λ2 p(x) + r(x)]y = 0,(242)где функции p(x) и r(x) — вещественные функции, определенные на конечномпромежутке i0 (a x b), и λ > 0 — параметр.
Отметим, что уравнение болееобщего видаu + q(x)u + [λ2 p(x) + r1 (x)]u = 0приводится к случаю (242) заменойu = ye−q(x)dx.В дальнейшей будем предполагать, что p(x) непрерывна с производными довторого порядка на замкнутом промежутке i0 и r(x) — непрерывная функция.Существенную роль при исследовании решений уравнения (242) при большихзначениях λ играет знак p(x).Рассмотрим сначала тот случай, когда p(x) > 0 на промежутке i0 . Прибольших λ коэффициент λ2 p(x) является превалирующим, и целью дальнейшего преобразования уравнения (242) является такое его преобразование, прикотором этот превалирующий коэффициент приведется просто к λ2 .
Для этоговместо x введем новую независимую переменную τ и вместо y — новую функцию v по формуламxτ =p(t) dt, v = 4 p(x)y.aИнтервал i0 (a x b) преобразуется в некоторый новый интервал i1(α τ β), а уравнение (242), как нетрудно проверить, приводится к видуd2 v+ λ2 v = s(τ )v,dτ 2(243)где5 p2 (x)r(x)1 p (x)−−4 p2 (x)16 p3 (x)p(x)есть непрерывная на i1 функция. Напомним, что неоднородное уравнениеs(τ ) =d2 v+ λ2 v = f (τ )dτ 2имеет общее решение [II, 34]v(τ ) = C1 sin λτ + C2 cos λτ +1λτsin [λ (τ − t)]f (t) dt,τ0(244)522Гл. V. Линейные дифференциальные уравнения[119где τ0 — любое фиксированное значение из промежутка i1 .
В случае уравнения(243) роль f (τ ) играет s(τ )v(τ ), и уравнение (244) приводится к интегральномууравнениюv(τ ) = C1 sin λτ + C2 cos λτ +1λτsin[λ(τ − t)]s(t)v(t)dt,(245)τ0к решению которого можно применить метод последовательных приближений.В качестве нулевого приближения беремv0 (τ ) = C1 sin λτ + C2 cos λτ,а последующие поправки определяются формуламиvn+1 (τ ) =1λτsin [λ (τ − t)]s(t)vn (t) dt.τ0Непрерывная функция s(t) ограничена на промежутке i1 , т.
е. |s(t)| M , гдеM > 0 — некоторая постоянная. По индукции нетрудно доказать неравенство|vn (τ )| |C1 | + |C2 | M n |τ − τ0 |n,n!λ(246)из которого следует, что рядv0 (τ ) +∞vn (τ )(247)n=1равномерно сходится на промежутке i1 . Его сумма удовлетворяет уравнению(245), т.
е. уравнению (243). Далее из оценок (246) следует, что ∞vn (τ ) = O(λ−1 )n=1равномерно относительно τ . Таким образом, имеемv(τ ) = v0 (τ ) +∞vn (τ ) = C1 sin λτ + C2 cos λτ + O(λ−1 )n=1или, возвращаясь к исходным переменным x и y, получаем асимптотику решений уравнения (242) при больших λ: x xC2C1p(t) dt + p(t) dt + O(λ−1 ). (248)y(x) = sin λcos λ44p(x)p(x)x0x0Мы могли бы вместо конечного промежутка a x b рассматривать и бесконечный промежуток в одну или обе стороны. При этом остаточный член имеетравномерную оценку |O(λ−1 )| A/λ, где A — положительная постоянная во119]Асимптотика при большом значении параметра523всяком конечном промежутке изменения x, но величина A зависит от выбораконечного промежутка и может беспредельно возрастать при его расширении.В связи со сказанным выше сделаем одно замечание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
