1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 47
Текст из файла (страница 47)
в данномслучае функция приобретает множитель e2(a−1)πi , отличный от единицы, еслиa не целое число. Таким образом, начало координат является точкой разветвления нашей подынтегральной функции. Чтобы сделать функцию однозначной,проведем из точки z = 0 разрез вдоль положительной части вещественной оси.На разрезанной таким образом плоскости T наша подынтегральная функциябудет уже однозначной, и, чтобы определить ее вполне, нам надо задать аргумент (−z) в какой-либо точке плоскости T .
Согласимся, например, считать,что на верхнем берегу разреза, где z положительно, аргумент отрицательногочисла (−z) равен (−π). При обходе по замкнутому контуру вокруг начала мыпопадаем с верхнего берега разреза на нижний, причем аргумент (−z) получает274Гл.
III. Применение теории вычетов, целые и дробные функции [62дополнительное слагаемое 2π, так что мы должны считать на нижнем берегуразреза аргумент (−z) равным π. Обозначая модуль величины z через x, будемиметь(−z) = xe−iπна верхнем берегу,(−z) = xeна нижнем берегуiπи, следовательно,(−z)a−1 = xa−1 e−i(a−1)π(−z)a−1=xa−1 i(a−1)πeна верхнем берегу,на нижнем берегу.(39)Выберем теперь контур l интегрирования для интеграла (38). Возьмем законтур интегрирования замкнутую кривую, состоящую из следующих четырех частей: отрезка (ε, R) верхнего берега разреза, окружности CR с центромв начале и радиусом R, пробегаемой против часовой стрелки, отрезка (R, ε)нижнего берега разреза и, наконец,окружности Cε с центром в начале и радиусом ε, пробегаемой по часовой стрелке(рис.
60). Чтобы иметь возможность интегрировать по положительной части вещественной оси, будем предполагать, чторациональная дробь Q(z) не имеет полюсов на положительной части вещественной оси. Согласно основной теореме о вычетах, величина интеграла (38) будет равна произведению 2πi на сумму вычетовподынтегральной функции относительновсех полюсов рациональной дроби Q(z),которые будут в то же время и полюсамидля подынтегральной функции. Мы приРис. 60.этом считаем, что ε взято настолько малым и R настолько большим, что все упомянутые полюсы находятся внутриобласти, ограниченной нашим контуром интегрирования. Покажем теперь, чтоинтегралы по окружностям CR и Cε стремятся к нулю при R → ∞ и ε → 0.Действительно, применяя обычную оценку, будем иметьa−1 2πR · Ra−1 max |Q(z)| = 2πRa max |Q(z)|.(−z)Q(z)dzна CRна CRCRНо по условию z a Q(z) → 0 при |z| → ∞, и, следовательно, выражение,стоящее справа, действительно стремится к нулю при R → ∞.
Точно так же наокружности Cε будем иметь оценку (−z)a−1 Q(z)dx < 2πεa max |Q(z)|,Cεна CR62]Примеры интегралов от многозначных функций275и так как по условию z a Q(z) → 0 при z → 0, то последнее выражение такжестремится к нулю при ε → 0. Таким образом, в пределе у нас останутся лишьинтегралы по верхнему и нижнему берегам разреза, причем значение подынтегральной функции на этих двух берегах определяется по формулам (39), и этодает нам следующую формулу:limR[xa−1 e−iπ(a−1) Q(x) − xa−1 eiπ(a−1) Q(x)]dx = 2πir,ε→0,R→∞ εгде черезr мы обозначили сумму вычетов функции (−z)a−1 Q(z) относительно всех ее полюсов, лежащих на конечном расстоянии.Принимая во внимание, что e−iπ = eiπ = −1, можно переписать предыдущую формулу в виде(eiπa − e−iπa )∞xa−1 Q(x)dx = 2πir0или (согласно формулам Эйлера)∞xa−1 Q(x)dx =0πr.sin aπ(40)Формула (40) дает возможность вычислить многие определенные интегралы, для которых первообразная функция не выражается в конечном виде.
Напомним еще раз те условия, которым должна подчиняться функция Q(z) длятого, чтобы эта формула имела место. Функция Q(z) должна быть рациональной дробью, которая не имеет полюсов на положительной части вещественной оси и, кроме того, удовлетворяет условиям:z a Q(z) → 0приz→0иz → ∞.Рассмотрим в качестве частного примера интеграл∞0xa−11+xdx(0 < a < 1).(41)В данном случае, как нетрудно видеть, функцияQ(z) =11+zудовлетворяет всем поставленным выше условиям и имеет единственный полюсz = −1. В этом полюсе функция(−z)a−11+z276Гл. III. Применение теории вычетов, целые и дробные функции [62будет иметь вычет, который вычисляется по правилу: числитель делить на производную от знаменателя, т.
е. этот вычет будет равенr = (−z)a−1 |z=−1 .Заметим, что при вычислении значения функции (−z)a−1 в точке z = −1,мы должны руководиться тем определением этой многозначной функции, которое было дано выше, а именно на верхнем берегу разреза аргумент (−z) равен(−π), и, следовательно, при полуобходе вокруг начала на отрицательной частивещественной оси аргумент (−z) будет равен нулю. Иначе говоря,r = 1.Окончательно для интеграла (41), согласно формуле (40), получаем следующее значение:∞ a−1πxdx =.(42)1+xsin aπ0В качестве следующего примера интеграла от многозначной функции возьмемz2 A+2z1CB+ 2 dz,zz(43)причем мы считаем, что трехчлен A + 2B/z + C/z 2 имеет вещественные коэффициенты и вещественные различные корни z = z1 и z = z2 , где 0 < z1 < z2 .Будем считать, кроме того, что A < 0, откуда непосредственно следует,что трехчлен будет положительным при z1 < z < z2 .
В (43) интегрированиесовершается по отрезку z1 z z2 вещественной оси, и радикал считаетсяположительным на этом отрезке. Подынтегральная функцияA(z − z1 )(z − z2 )CB(44)A+2 + 2 =zzzбудет иметь в точках z1 и z2 точки разветвления первого порядка. Если мыпроведем разрез вдоль отрезка (z1 , z2 ) вещественной оси, то функция (44)будет регулярной и однозначной на разрезанной таким образом плоскости T[19].Будем считать радикал положительным на нижнем берегу разреза.
Чтобыпопасть на верхний берег, мы должны обойти одну из точек разветвления, и наэтом верхнем берегу радикал будет иметь отрицательное значение [19]. Возьмем наш интеграл по всему контуру разреза в положительном направлении,т. е. возьмем интеграл от функции (44) по нижнему берегу в направлении отz1 к z2 и по верхнему берегу в направлении от z2 к z1 . Первая часть этого интеграла даст нам, очевидно, интеграл (43). При интегрировании по верхнемуберегу подынтегральная функция изменит знак, но и направление интегрирования перейдет в противоположное, и, следовательно, величина интеграла поверхнему берегу будет такой же, что и по нижнему, т.
е. величина интегралапо всему контуру разреза будет равна удвоенной величине интеграла (43).62]Примеры интегралов от многозначных функций277Согласно теореме Коши, мы можем, не меняя величины интеграла, непрерывно деформировать наш замкнутый контур при условии не выходить из тойобласти, где функция (44) регулярна. Если l — какой-либо замкнутый контур,содержащий внутри себя упомянутый выше разрез, и такой, что точка z = 0,являющаяся полюсом функции (44), находится вне l, то из предыдущих рассуждений следует 1CBJ=A + 2 + 2 dz.(45)2zzlОпределим теперь вид разложения функции (44) вблизи z = ∞ и z = 0. Впервом случае мы можем написать 1√2CCBB+A+2 + 2 = A 1+ 2zzAzAz 2и, применяя формулу бинома Ньютона1 , получим√CBB1+ ...
.(46)A+2 + 2 = A 1+zzAz√Определим значение радикала A в этой формуле. Обратимся для этого кправой части формулы (44). Она по условию положительна на нижнем берегуотрезка (z1 , z2 ). Для того чтобы с этого нижнего берега попасть на отрезок(z2 , +∞) вещественной оси, надо обойти точку z = z2 против часовой стрелки.При этом аргумент разности (z − z2 ) увеличится на π, а аргумент выражения(44) — на π/2, т. е. вместо нуля этот аргумент станет равным π/2.
Иначе говоря,функцию (44) надо считать положительно мнимой на отрезке (z2 , +∞) вещественной оси. (Положительно мнимым√ мы называем число ai при a > 0.) Из(46) при этом следует, что радикал A надо считать положительно мнимым.Совершенно так же, чтобы попасть с нижнего берега отрезка (z1 , z2 ) наотрезок (0, z1 ), надо обойти точку z = z1 по часовой стрелке, и после такого обхода аргумент выражения (44) будет (−π/2), т. е. это выражение будетотрицательно мнимым на отрезке (0, z1 ).Напишем теперь разложение функции (44) вблизи z = 0:√ 12CBzAz 2BC1+ 2+A+2 + 2 =zzzCCили, согласно биному Ньютона,√ CBBC1 + z + ... ,(47)A+2 + 2 =zzzC√и, согласно предыдущим рассуждениям, C надо считать отрицательно мнимым.
Напомним, что по условию A < 0 и из равенства z2 > z1 > 0 вытекает,что и C < 0.1 Имеетсяв виду разложение в формулу Маклорена для квадратного корня.278Гл. III. Применение теории вычетов, целые и дробные функции [63Согласно теореме Коши, интеграл от функции (44) по большому замкнутому контуру L в окрестности z = ∞ равен сумме интегралов по контуру l,упомянутому выше, и по контуру λ, обходящему вокруг z = 0, причем каждый из интегралов берется против часовой стрелки. Интегралы по L и λ равныпроизведению 2πi на коэффициент при z −1 в разложениях (46) и (47), и, следовательно, √ CBBA + 2 + 2 dz = 2πi √ − C ,zzAlи формула (45) дает нам окончательно значение нашего интеграла (43):z2 J=A+2z1√CBB+ 2 dz = πi √ − C .zzA(48)63.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
