1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Дифракция плоской волны. Рассмотрим плоскость (x, y), на которой сделан вырез вдоль полупрямой y = x, где x > 0. Положим, далее, что воставшейся части плоскости при t < 0 мы имеем плоскую волну, которая распространяется параллельно OX со скоростью a1 так, что в момент t = 0 онадоходит до вершины выреза (начала координат). Положим, что эта плоскаяволна имеет следующую элементарную форму:u=1приx<1t;au=0приx>1t,a(190)т. е.
позади фронта распространения u имеет постоянное значение единица, авпереди фронта, куда возмущение еще не дошло, u = 0.В данном случае при t < 0 функция u удовлетворяет уравнению (173)и, кроме того, будет являться, очевидно, решением однородного уравнения,зависящим только от ξ и η и определяемым условиями:u=1приξ<1;au=0приξ>1;a(191)фронт этой волны распространяется со скоростью 1/a, как и должно быть дляволнового уравнения (173).Рассмотрим теперь вопрос о дифракции плоской волны (190) относительноупомянутого выреза, причем будем считать, что и после дифракции, т. е. приt > 0, волна будет представляться однородным решением уравнения (173), т.
е.вещественной частью некоторой аналитической функции f (z) комплексного переменного z, определяемого уравнением (189). Такое предположение являетсявполне естественным, поскольку линия, которая вызывает дифракцию, является вырезом с вершиной в начале. Будем считать, что на обеих сторонах вырезадолжно быть выполнено условиеu=0(на вырезе).(192)В момент t = 0 наша плоская волна дойдет до вершины, и затем будетиметь место явление дифракции. Рассмотрим некоторый положительный момент времени t > 0.
Принимая во внимание, что скорость распространениявозмущения для случая волнового уравнения (173) равна 1/a, мы будем иметьв указанный момент следующую картину возмущений. Прежде всего мы будем54]Дифракция плоской волны245иметь прямолинейный фронт ABCD, разорванный на две части препятствием,через которое этот фронт прошел. Линия этого фронта перпендикулярна к осиX, причем OB = 1/a t.
Дальше мы будем иметь прямолинейный фронт, который будет создаваться волной, отраженной по обычному закону от границыOG (рис. 51). Это будет прямая EC, параллельная оси X. Кроме того, наличие вершины O создает добавочное возмущение в круге с центром в началеи радиусом 1/a t. Основным пунктом задачи и является определение функции u внутри этого круга. Отметим сначала ту картину значений u, котораябудет иметь место вне этого круга. Спереди от линии ABF внизу выреза OGмы будем иметь, очевидно, u = 0.
Сверхутого же выреза, очевидно, u = 0 спереди отлинии CD. Кроме того, в части плоскости,ограниченной контуром ECF E, к падающей волне будет присоединяться отраженная, и в силу предельного условия (192) мыбудем иметь и здесь u = 0. В части плоскости, лежащей вне упомянутого круга позади фронта волны, всюду u = 1, за исключением указанной области ECF E.
Круг сцентром в начале и радиусом 1/a t есть какраз круг (184). Только в данном случае онразрезан по радиусу arctg (η/ξ) = π/4.Переходя на плоскость z, согласно (189) будем иметь единичный кругРис. 51.|z| 1, разрезанный по радиусу arg z =π/4. Как мы уже видели выше, радиусам круга (184) соответствуют радиусыединичного круга |z| < 1 с тем же центральным углом.Принимая во внимание упомянутые выше значения u и предельные условияи переходя на плоскость z, мы придем к следующей задаче: найти функциюf (z), регулярную в разрезанном круге |z| < 1 и −7π/4 < arg z < π/4, такую,чтобы ее вещественная часть обращалась в нуль на обоих берегах разреза, т. е.на радиусахπ7πarg z =и arg z = − ,44а также на дугах3π7− π < arg z < −42и0 < arg z <π,4и была равна единице на остальной части окружности |z| = 1.
Нетрудно написать в явном виде решение этой задачи.Повернув плоскость z вокруг начала на угол 74 π:w 1 = ei7π4z,получим круг |w1 | < 1 и 0 arg w1 2π, разрезанный вдоль радиуса w1 = 0.При извлечении квадратного корня этот разрез перейдет в отрезок (−1, 1)вещественной оси, и весь круг перейдет в верхнюю часть единичного круга.246Гл. II. Конформное преобразование и плоское поле[54Таким образом, преобразованиеw=√w 1 = ei7π81z2переводит наш разрезанный круг плоскости z в верхний полукруг плоскости w.Граничные условия для искомой функции f (w) при этом будут: вещественнаячасть f (w) равна нулю на отрезке (−1, 1) вещественной оси, иRe[f (eiϕ )] = 0приRe[f (eiϕ )] = 1приπи87π< ϕ < π.880<ϕ<7π < ϕ < π,8Таким образом, f (w) преобразует отрезок (−1, 1) вещественной оси в отрезок мнимой оси и по принципу симметрии f (w) аналитически продолжима внижнюю часть единичного круга, причем в точках w, симметричных относительно вещественной оси, она принимает значения, симметричные относительно мнимой оси [24].Это приводит нас к следующему равенству:Re[f (e−iϕ )] = −Re[f (eiϕ )].Приняв это во внимание, мы переходим к следующим граничным условиям дляf (w) на окружности единичного круга:⎫π79π⎪Re[f (eiϕ )] = 0, − < ϕ <иπ < ϕ < π⎪⎪8888 ⎪⎪⎪⎬7ππ(193)<ϕ<,Re[f (eiϕ )] = 1,⎪88⎪⎪⎪⎪π7π⎪⎭<ϕ<− .Re[f (eiϕ )] = −1, −88Для построения решений этой предельной задачи рассмотрим функциюα−w1 α − w α−w1ln= ln + arg,iβ−wiβ −wβ−w(194)где α и β — точки единичной окружности,находящиеся на концах одного и того жедиаметра AB (рис.
52). Пусть M — переменная точка w. Вещественная частьargα−w= arg(α − w) − arg(β − w)β−wпредставляет собою угол, образованныйвектором M A с вектором M B и отсчитыРис. 52.ваемый от M B. Функция (194) однозначнаи регулярна в круге |w| < 1. При w = 0 ее значение, с точностью до кратного2π, равно π. Мы будем считать его равным π и, таким образом, фиксируем54]Дифракция плоской волны247определенную ветвь функции (194) в круге |w| < 1. При таком выборе ветвибудем иметьα−w11 − α−1 w1ln= π + ln=iβ−wi1 − β −1 w11= π + ln(1 − α−1 w) − ln(1 − β −1 w),iiгде для обоих логарифмов берутся главные значения, определяемые обычнымстепенным рядом.
Если w попадает на дугу AP B, то упомянутый угол BM Aбудет равен π/2, а на дуге AQB он будет равен 3π/2, т. е. при сделанном выбореоднозначной ветви функции (194) в круге |w| < 1 ее вещественная часть будетравна π/2 на дуге AP B и 3π/2 на дуге AQB.Применим этот результат к функции7πψ(w) =7π1ei 8 − we−i 8 − w1ln −i π+ ln i π.iie 8 −we 8 −wОбозначая через M1 , M2 , M3 и M4 точкиππe−i 8 , ei 8 , e−i7π8, ei7π8,мы можем утверждать, что вещественная часть ψ(w) равна 2π на дугах M1 M2 иM3 M4 , равна π на дуге M1 M3 , и 3π на дуге M2 M4 . Принимая это во внимание,мы непосредственно получаем решение предельной задачи (193) в следующемвиде:1f (w) = ψ(w) − 2.πВозвращаясь к прежней переменной z, имеем решение задачи дифракции внутри круга1x2 + y 2 < 2 t2aв виде i 7π7π 1 7π7π 1 e 8 − ei 8 z 2 e−i 8 − ei 8 z 21U = Reln − 2.π7π 1 π7π 1 πie−i 8 − ei 8 z 2 ei 8 − ei 8 z 2Предыдущие рассуждения не являются строго обоснованными, и само понятие об элементарной плоской волне u, равной единице позади фронта и нулювпереди фронта, представляется на первый взгляд несколько искусственным.Однако можно показать, что всякую плоскую волну можно представить в видеинтеграла, содержащего элементарную плоскую волну.
Полученный результатможно с помощью этих соображений распространить на дифракцию самой общей плоской волны, приведя эту задачу к рассмотренной задаче.Рассмотрим общий вид плоской волны, движущейся параллельно оси X.Такая волна задается функцией f (1/a t − x), причем считаем, что f (τ ) = 0при τ < 0. Функция f (1/a t − x), очевидно, удовлетворяет уравнению (173).Выше нами рассмотрен тот элементарный частный случай, когда f (τ ) = 1 приГл. II. Конформное преобразование и плоское поле248[54τ > 0 и f (τ ) = 0 при τ < 0. В этом частном случае функцию f (τ ) обозначимчерез u(τ ), как это уже было сделано в формуле (190):0 при τ < 0,u(τ ) =1 при τ > 0.Положим теперь, что f (τ ) есть непрерывная функция, имеющая непрерывную производную и равная нулю при τ 0. Мы можем написать∞f (τ ) =u(τ − λ)f (λ)dλ.0Действительно, принимая во внимание определение u(τ ) и условие f (0) = 0,получим∞τu(τ − λ)f (λ)dλ =f (λ)dλ = f (τ ) − f (0) = f (τ ).00Таким образом, можно написатьf1t−xa=∞ ∞ 1t − aλt − x − λ f (λ)dλ =− x f (λ)dλ.uuaa00Как видно из этой формулы, падающая плоская волна общего типа оказывается «суммою» (точнее, интегралом) элементарных падающих волн:t − aλu− x f (λ)dλ.aЕсли через U (x, y, t) мы обозначим полученный выше результат дифракции элементарной волны, то для случая падающей волны f (1/a t − x) будемиметь решение вида∞V =U (x, y, t − aλ)f (λ)dλ.0Ограничимся рассмотрением результата дифракции относительно началакоординат и через U (x, y, t) обозначим именно этот результат дифракции.При t > 0 он имеет место в круге с центром в начале и радиусом 1/a t, т.
е.мы должны считать U (x, y, t) = 0 при t 0 для любых (x, y) и, кроме того,U (x, y, t) = 0 при x2 +y 2 1/a2 t2 для t > 0. Таким образом, в выражении дляV интеграл по λ будет распространен фактически по конечному промежуткуизменения λ.При помощи приведенного выше метода может быть решена задача дифракции относительно угла любой величины плоской волны, падающей в произвольном направлении.55]Отражение упругих волн от прямолинейной границы24955. Отражение упругих волн от прямолинейной границы. В случаеплоской задачи теории упругости составляющие смещения u и v могут бытьвыражены с помощью формулu=∂ϕ∂ψ+,∂x∂yv=∂ϕ∂ψ−,∂y∂x(195)где функция ϕ называется обычно потенциалом продольных волн, а функцияψ — потенциалом поперечных волн.
Эти потенциалы должны удовлетворятьволновым уравнениям видаa2∂2ϕ∂2ϕ∂2ϕ=+,∂t2∂x2∂y 2∂2ψ∂2ψ∂2ψ=+,22∂t∂x∂y 2ρρa=, b=,λ + 2μμb2где(196)(197)(198)причем ρ есть плотность среды, λ и μ — упругие постоянные Лямэ. Числа 1/aи 1/b дают, как известно из теории упругости, скорость распространения продольной и поперечной волн, и формула (195) представляет собою разбиениевозмущения общего типа на возмущения продольного и поперечного типа.Приведем еще формулы, которые выражают напряжение в нашем упругомтеле через потенциалы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
