1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Формула Шварца. Вышеуказанное приложение аналитических функций комплексного переменного к задачам гидродинамики и электростатики по существу было основано на той теснойсвязи, которая существует между гармоническими функциями ианалитическими функциями комплексного переменного. Мы указывали на эту связь уже раньше в [2].Формулируем еще раз основные моменты этой связи: вещественная и мнимая части аналитической функции суть гармонические функции, и, наоборот, всякую гармоническую функциюможно рассматривать как вещественную часть некоторой аналитической функции, и при этом ее мнимая часть определяетсяс точностью до постоянного слагаемого, т.
е. сама функция повещественной части определяется с точностью до чисто мнимого постоянного слагаемого. Как мы упоминали раньше [II, 204],в случае ограниченной области гармоническая функция определяется единственным образом своими предельными значениями наконтуре этой области (задача Дирихле). Таким образом, принимаяво внимание сказанное выше, мы можем утверждать, что регулярная в некоторой области B с контуром l функция f (z) определяется с точностью до чисто мнимого постоянного слагаемого позаданным значениям ее вещественной части на контуре l.
В общем случае любой области мы не имеем простой формулы, котораябы давала нам решение этой задачи, т. е. определяла бы регулярную функцию по заданным контурным значениям ее вещественнойчасти. В случае круга такую формулу построить нетрудно, к чемумы сейчас и переходим.Пусть имеется круг с центром в начале и радиусом R. Пусть,далее, u(x, y) — вещественная часть искомой аналитической функции. Эта гармоническая функция определяется своими контурными значениями u(ϕ) при помощи интеграла Пуассона, который, как218Гл.
II. Конформное преобразование и плоское поле[48мы знаем, имеет следующий вид [II, 204]:1u(x, y) = u(r, ϑ) =2ππu(ϕ)−πR2 − r 2dϕ (r < R).R2 − 2rR cos(ϕ − ϑ) + r2(118)Нетрудно видеть, что ядро этого интеграла Пуассона, т. е. дробь,стоящая под знаком интеграла, представляет собою вещественнуючасть некоторой аналитической функции, а именно: iϕR2 − r 2Re + z(z = reiϑ = x + iy).= ReR2 − 2rR cos(ϕ − ϑ) + r2Reiϕ − zЕсли мы подставим под знак интеграла вместо ядра интегралаПуассона написанную аналитическую функцию комплексного переменного z, то в результате получится функция комплексного переменного z, вещественная часть которой совпадает как раз с u(x, y).Эта функция будет иметь вид1f (z) = u(x, y) + iv(x, y) =2ππu(ϕ)−πReiϕ + zdϕ.Reiϕ − z(119)Полагая в этой формуле z = 0, мы получим чисто вещественное значение для f (z), т. е. формула (119) дает то решение нашейзадачи, которое имеет вещественное значение в начале.
Если мыобозначим через Ci мнимую часть искомой функции в начале, тообщее решение задачи будет иметь вид1f (z) =2ππu(ϕ)−πReiϕ + zdϕ + Ci.Reiϕ − z(120)Эта формула и называется обычно формулой Шварца.Если мы отделим мнимую часть у дроби, стоящей под знакоминтеграла: iϕRe + z2rR sin(ϑ − ϕ)Im= 2,iϕR − 2rR cos(ϕ − ϑ) + r2Re − z48]Формула Шварца219то получим выражение мнимой части регулярной функции внутри круга через контурные значения ее вещественной части:1v(x, y) =2πiπu(ϕ)−π2rR sin(ϑ − ϕ)dϕ + C.R2 − 2rR cos(ϕ − ϑ) + r2(121)Все сказанное выше имеет тесную связь с понятием о сопряженных тригонометрических рядах.Пусть∞a0 +(an cos nϕ + bn sin nϕ)2n=1— ряд Фурье функции u(ϕ), представляющей предельные значениявещественной части f (z).
При этом, как мы знаем [II, 205], можнопредставить саму эту вещественную часть внутри круга не интегралом Пуассона, а рядом вида∞u(x, y) = u(r, ϑ) =a0 +(an cos nϑ + bn sin nϑ)rn .2n=1(122)Для мнимой части мы будем иметь сопряженный тригонометрический ряд [25]v(x, y) = v(r, ϑ) = C +∞(−bn cos nϑ + an sin nϑ)rn .(123)n=1Если функция u(ϕ) имеет достаточно хорошие свойства, например имеет первую производную, удовлетворяющую условиям Дирихле, то ряд (123), так же как и ряд (122), будет равномерно сходящимся во всем замкнутом круге, и функция v(r, ϑ) будет гармонической внутри круга и непрерывной в замкнутом круге.
Ееназывают обычно функцией, сопряженной с u(r, ϑ) [2], и то женазвание сохраняется и для ее предельных значений v(1, ϕ) по отношению к u(ϕ).Гл. II. Конформное преобразование и плоское поле220[49Положим, что два интеграла Шварца дают одну и ту же регулярную внутри круга функцию12ππu1 (ϕ)−π1Reiϕ + zdϕ =2πReiϕ − zπu2 (ϕ)−πReiϕ + zdϕ,Reiϕ − z(124)где u1 (ϕ) и u2 (ϕ) — непрерывные вещественные функции. Нетрудновидеть, что эти функции совпадают, так как они являются предельными значениями одной и той же гармонической функции, а именно вещественной части нашей регулярной функции.
Таким образом,тождество (124) относительно z вполне равносильно тождествуu1 (ϕ) = u2 (ϕ) относительно ϕ. В этом, по существу, и состоит теорема Гарнака, о которой мы упоминали в [8].49. Ядро ctg (s–t)/2. Применим сейчас основную теорему о предельныхзначениях интеграла типа Коши [29] к случаю окружности |z| = 1 с центром вначале и радиусом единица. Положим, что на этой окружности дана вещественная функция u(τ ), где τ = eis , удовлетворяющая условию Липшица. Мы можем, пользуясь формулой Шварца [48], построить регулярную внутри окружности функцию, вещественная часть которой имеет предельные значения u(τ )на самой окружности:u(reiϕ ) + v(reiϕ )i =12ππu(τ )−πили, принимая во внимание, что dτ = iτ ds,1u(reiϕ ) + v(reiϕ )i =2πiτ +zdsτ −zu(τ )|τ |=1(z = reiϕ )(125)τ +zdτ.τ (τ − z)Полагая τ + z = (τ − z)+ 2z и разбивая наш интеграл на два интеграла получимu(reiϕ ) + v(reiϕ )i =12ππu(τ )ds +−π2z2πi|τ |=11u(τ )·dτ.ττ −zПоложим, что точка z =стремится к некоторой точке ξ = eit окружности|z| = 1.
Пользуясь теоремой о предельном значении интеграла типа Коши [29],получим предельное значение нашей функции:reiϕ1u(e ) + v(e )i =2πitπu(τ )ds + ξit−π2ξu(ξ)+ξ2πi|τ |=11u(τ )·dτττ −ξ49]Ядро ctgилиu(eit ) + v(eit )i =12πs−t2221πu(τ )ds + u(ξ) +−π12ππu(τ )−π2ξds,τ −ξ(126)но2eitt−s2ξ= is,= −1 + i ctgτ −ξe − eit2и, отделяя в формуле (126) мнимую часть, получаем выражение предельныхзначений мнимой части через вещественную часть:v(eit ) =12ππu(eis ) ctg−πt−sds,2причем написанный интеграл надо понимать в смысле главного значения. Будем писать u(s) и v(t) вместо u(eis ) и v(eit ):v(t) =12ππu(s) ctg−πt−sds.2(127)Напомним, что формула (125) даст ту регулярную внутри круга |z| < 1 функцию, мнимая часть которой равна нулю в центре круга. Принимая во внимание,что значение гармонической функции в центре круга равно среднему арифметическому ее значений на окружности [II, 204], можем написатьπv(t)dt = 0.(128)−πФункцию u(s) можно считать периодической с периодом 2π, и функция v(t)получается также периодической, а в формуле (127) мы могли бы брать запромежуток интегрирования любой промежуток длины 2π.
Функция ctg z имеет при z = 0 простой полюс с вычетом, равным единице [21], и мы можемвыразить ядро линейного преобразования (127) через ядро Коши:1t−s1ctg=−+ P (t − s),22s−t(129)где P (z) — аналитическая регулярная функция во всех точках отрезка−2π < z < 2π. Совершенно так же, как и в [28], можно показать, что еслипериодическая функция u(s) удовлетворяет условию Липшица с показателемα, то v(t) удовлетворяет также условию Липшица с тем же показателем, если α < 1, и с любым показателем, меньшим единицы, если α = 1.
Согласно(129) это утверждение вытекает также из аналогичного утверждения для ядраКоши.Мы можем применить к функции v(t) линейное преобразование (127) иполучим таким образом некоторую новую функцию w(t1 ), удовлетворяющуюГл. II. Конформное преобразование и плоское поле222условию Липшица:w(t1 ) =12ππv(t)ctg−π[49t1 − tdt.2Функция w(t1 ) дает предельные значения мнимой части, если за предельныезначения вещественной части принять v(t), причемπw(t1 )dt1 = 0.(130)−πС другой стороны, если умножить регулярную функцию (125) на (−i), то получим регулярную функцию v(reiϕ ) − u(reiϕ )i. Но заданием вещественной частимнимая определяется с точностью до постоянного слагаемого, и мы можем поэтому написатьw(t1 ) = −u(t1 ) + C.Для определения постоянной C проинтегрируем обе части этого равенства попромежутку (−π, π) и примем во внимание (130):π0=−u(t1 )dt1 + 2πC−πи окончательноw(t1 ) =12ππv(t) ctg−πt1 − t1dt = −u(t1 ) +22ππu(s)ds,(131)−πт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
