1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Не приводя вывода, дадим лишь окончательный результат. Пользуясь обозначениями формулы (161), будем иметьXx + Yy = 4Re[ϕ (z)],(171)2Xy + i(Xx − Yy ) = −2i[ψ (z) + zϕ (z)].При помощи этих формул решение статических плоских задач теории упругости при заданных напряжениях на контуре также сводится к решению предельной задачи теории функций комплексного переменного.Выяснение связи теории функций комплексного переменного с плоскимистатическими задачами теории упругости было дано проф.
Г. В. Колосовым вработе «Об одном приложении теории функций комплексного переменного кплоской задаче математической теории упругости». Систематическое применение функций комплексного переменного к задачам теории упругости можнонайти в книге Н. И. Мусхелишвили «Некоторые основные задачи математической теории упругости» (1966).52. Волновое уравнение и аналитические функции. Мывидели в томе II, что при распространении колебаний, как акустических так и электромагнитных, основное значение имеет уравнение 2∂2u∂2u ∂2u2 ∂ u(172)=c+ 2 + 2 ,∂t2∂x2∂y∂zкоторое называется обычно волновым уравнением.
Мы будем рассматривать сейчас лишь плоский случай, т. е. когда искомая функция u не зависит от одной из координат, например от координатыz. В этом случае волновое уравнение будет иметь вид2∂2u ∂2u12∂ u2ac = 2 ,(173)=+ 2∂t2∂x2∂yaгде u — функция переменных t, x и y. Пользуясь аналитическимифункциями комплексного переменного, мы можем выделить неко-234Гл. II. Конформное преобразование и плоское поле[52торый класс решений уравнения (173), имеющий важное применение в физике, причем пользование аналитическими функциямизначительно упрощает все операции внутри этого класса решений.Построим некоторое вспомогательное уравнение, которое играетосновную роль во всем дальнейшем:l(τ )t + m(τ )x + n(τ )y + p(τ ) = 0,(174)где l(τ ), m(τ ), n(τ ) и p(τ ) — некоторые аналитические функции комплексного переменного τ .
Уравнение (174) определяет τ как функцию переменных t, x и y. Положим теперь, что у нас имеется некоторая аналитическая функция f (τ ), которая в конечном счете является функцией переменных t, x и y. Выведем формулы для производных от этой функции. Обозначая через δ производную от левойчасти уравнения (174) по переменной τ и применяя обычные правила дифференцирования сложных и неявных функций, мы получимбез труда следующие выражения для производных функции τ :∂τl(τ )=− ;∂tδm(τ )∂τ=− ;∂xδn(τ )∂τ=− .∂uδПри вычислении производных второго порядка надо иметь ввиду, чтоδ = l (τ )t + m (τ )x + n (τ )y + p (τ )зависит, например, от t как непосредственно, так и через посредство τ :∂2τ∂ l(τ ) l(τ ) l(τ )l (τ )2l(τ )l (τ ) l2 (τ ) =+=− 3 δ ,∂t2∂τ δ δδ 2δ 2δчто может быть записано следующим образом:∂2τ1 ∂ l2 (τ ).=∂t2δ ∂τδСовершенно аналогично получается∂2τ∂2τ1 ∂ m2 (τ )1 ∂ n2 (τ );;= = ∂x2δ ∂τδ∂y 2δ ∂τδ52]Волновое уравнение и аналитические функции235∂2τ1 ∂ m(τ )n(τ )= .∂x∂yδ ∂τδЗаданная аналитическая функция f (τ ) зависит от t, x и y черезпосредство τ , и ее производные определяются по правилу дифференцирования сложных функций.
Принимая во внимание предыдущие формулы, получим 2∂ 2 f (τ )∂τ∂2τl2 (τ )1 ∂ l2 (τ ),= f (τ )+ f (τ ) 2 = f (τ ) 2 + f (τ ) ∂t2∂t∂tδδ ∂τδчто можно записать так:1 ∂l2 (τ )∂ 2 f (τ )f (τ ) ,= ∂t2δ ∂τδи совершенно аналогично∂ 2 f (τ )∂ 2 f (τ )1 ∂m2 (τ )1 ∂n2 (τ )f (τ )f (τ ) ;;= = ∂x2δ ∂τδ∂y 2δ ∂τδ∂ 2 f (τ )1 ∂m(τ )n(τ )= f (t).∂x∂yδ ∂τδПолагая u = f (τ ) и подставляя в (173), мы получим уравнениевида1 ∂m2 (τ ) + n2 (τ ) − a2 l2 (τ )f (τ )= 0,δ ∂τδоткуда следует, что f (τ ) есть решение уравнения (173), если коэффициенты уравнения (174) удовлетворяют соотношениюm2 (τ ) + n2 (τ ) = a2 l2 (τ ).(175)Если хотим получить вещественное решение, то мы можем взятьлишь вещественную часть f (τ ), которая в отдельности должна удовлетворять уравнению (173) так же, как и мнимая часть.Введем в рассмотрение трехмерное пространство (S) с координатами (t, x, y).
Если в некоторой области B этого пространствауравнение (174) дает для τ вещественные значения, то в предыдущих рассуждениях не надо даже считать функцию f (τ ) аналитической функцией, так как ее аргумент принимает лишь вещественные236Гл. II. Конформное преобразование и плоское поле[53значения. Достаточно предположить, что f (τ ) есть произвольнаяфункция вещественного переменного, имеющая непрерывные производные до второго порядка.Предыдущие рассуждения приводят к следующей теореме, которая определяет класс решений уравнения (173), о котором мыговорили выше.53.
Основная теорема. Если в некоторой области B пространства (S) уравнение (174) при условии (175) определяет τкак комплексную функцию переменных t, x и y, то вещественная и мнимая части любой аналитической функции f (τ ) даютрешение уравнения (173). Если же τ в некоторой области естьвещественная функция (t, x, y), то произвольная вещественнаяфункция от τ с непрерывными производными до второго порядкадает решение уравнения (173).Если l(τ ) = 0, то, деля обе части (174) на l(τ ), можем считатьl(τ ) = 1.
Кроме того, мы можем принять m(τ ) за новую комплексную переменную (−θ). При этом условие (175) даст n2 (τ ) = a2 − θ2 ,так что уравнение (174) может быть переписано, например, в формеt − θx + a2 − θ2 y + p(θ) = 0,(176)где p(θ) — любая аналитическая функция θ. Вместо f (τ ) мы должны писать, конечно, при этом f (θ).Остановимся более подробно на рассмотрении того частногослучая, когда p(θ) = 0.
В этом случае уравнение (176) имеет видx yt − θx + a2 − θ2 y = 0 или 1 − θ + a2 − θ2 = 0,(177)ttи отсюда θ определяется как функция лишь от двух аргументов:yx(178)ξ= , η= .ttВ данном случае и построенные нами решения f (θ) уравнения(173) будут функциями аргументов (178), т. е. это будут однородныефункции t, x и y нулевого измерения. Такие функции, как известно,определяются соотношениемu(kt, kx, ky) = u(t, x, y),53]Основная теорема237которое должно иметь место тождественно. Можно показать, что и,наоборот, любое такое однородное решение уравнения (173) можетбыть получено указанным выше путем. Будем называть в дальнейшем эти решения просто однородными решениями.Исследуемболее подробно уравнение (177). Входящий в него√радикал a2 − θ2 будет, как мы знаем [19], однозначной функциейна плоскости θ с разрезом (−a, a) вдоль вещественной оси.
Фиксируем значение упомянутого радикала условием, чтобы он былположительным на верхней части мнимой оси, т. е. при θ = ib, гдеb > 0. Это условие равносильно тому, чтобы упомянутый радикалбыл отрицательно мнимым при θ > a или положительно мнимымпри θ < −a на вещественной оси.
В этом нетрудно убедиться, следя за непрерывным изменением аргумента упомянутого радикала.Уравнение (177) мы можем переписать в виде1 − θξ + a2 − θ2 η = 0.(179)Освобождаясь от радикала и решая полученное квадратноеуравнение, получим для θ выражениеxt − iy t2 − a2 (x2 + y 2 )ξ − iη 1 − a2 (ξ 2 + η 2 )=.(180)θ=ξ 2 + η2x2 + y 2Мы считаем при этом, что имеет место неравенствоξ 2 + η2 <или, что то же,1a2(181)1 2t .(182)a2В формуле (180) радикал надо понимать арифметически. В этомлегко убедиться, пользуясь самим уравнением (179), где радикалдолжен иметь определенное значение. Действительно, если мы положим в уравнении (179) ξ = 0, то для√θ получим чисто мнимыезначения, и в силу (179) знак радикала a2 − θ2 должен быть противоположным знаку η, т.
е. если, например, η < 0, то согласнопоставленному выше условию θ должно находиться на верхней части мнимой оси, что и совпадает с тем выбором знака в формулеx2 + y 2 <238Гл. II. Конформное преобразование и плоское поле[53(180), который мы сделали, считая радикал в этой формуле положительным.При фиксированных значениях ξ и η мы имеем в силу (178)прямую пространства (S), проходящую через начало. Будем рассматривать только ту часть этой прямой, на которой t > 0, и назовем такую полупрямую лучом. В силу условия (181) или (182) этилучи образуют конический пучок с вершиной в начале и с угломarctg (1/a) при вершине, причем осью пучка является ось t.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
