1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Выяснивосновы теории конформного преобразования, мы переходим теперьк приложению теории функций комплексного переменного в гидродинамике. Пусть имеется плоское установившееся движение жидкости, обладающее потенциалом скорости ϕ(x, y) и функцией токаψ(x, y) [II, 77]. Напомним, что при этом составляющие скорости вкаждой точке выражаются по формуламvx =∂ϕ(x, y),∂xvy =∂ϕ(x, y)∂y(92)и разностьψ(x1 , y1 ) − ψ(x0 , y0 ) = ψ(M1 ) − ψ(M0 )(93)дает количество жидкости, протекающей за единицу времени через произвольный контур, соединяющий точки M0 и M1 . Течение43]Плоское установившееся течение жидкости203считается не зависящим от времени и одинаковым во всех плоскостях, параллельных плоскости XY , причем плотность жидкостимы приняли за единицу. Точнее говоря, выражение (93) дает количество жидкости, протекающей в единицу времени через цилиндрическую поверхность, параллельную оси Z, высотой единица, имеющую направляющей некоторый контур l плоскости XY , соединяющий M0 (x0 , y0 ) и M1 (x1 , y1 ).
Как мы видели, функции ϕ(x, y) иψ(x, y) связаны между собой соотношениями∂ϕ∂ψ=,∂x∂y∂ϕ∂ψ=−,∂y∂xкоторые в точности совпадают с уравнениями Коши—Римана. Мыможем поэтому утверждать, что функция комплексного переменногоf (z) = ϕ(x, y) + iψ(x, y)(94)будет иметь производную в области, занятой текущей жидкостью.Эта функция называется обычно комплексным потенциалом течения.Как упоминалось уже раньше, функции ϕ(x, y) и ψ(x, y) могут быть многозначными, а именно могут приобретать постоянныеслагаемые при обходе некоторой точки или, более общо, некоторойдыры, которая находится внутри рассматриваемой области. Дляфункции ψ(x, y) эта многозначность указывает на наличие источника в соответствующей точке, а для функции ϕ(x, y) — на наличиеэлементарного вихря в этой точке.
В таких случаях функция f (z)будет также многозначной функцией, т. е. она будет получать постоянные слагаемые при обходе некоторых точек (или дыр).В силу (92) вектору скорости соответствует комплексное число∂ϕ∂ϕ∂ϕ∂ψ+i=−i.∂x∂y∂x∂xПоследнее выражение совпадает, очевидно, с величиной, сопряженной с производной f (z) [2]. Итак, величина, сопряженная спроизводной, дает вектор скорости течения.Рассмотрим изотермическую сетку, соответствующую функциям (94):ϕ(x, y) = C1 , ψ(x, y) = C2 .(95)204Гл. II.
Конформное преобразование и плоское поле[43Первое семейство линий представляет собою семейство линий равного потенциала скорости или, как говорят, семейство эквипотенциальных линий. Второе семейство (линии тока), как нетрудно видеть, представляет собою семейство траекторий жидких частиц.Действительно, как мы знаем, второе семейство будет ортогонально первому, но вектор скорости, равный grad ϕ(x, y), направлен какраз по нормали соответствующей линии первого из семейств (95).Таким образом, в данном установившемся движении в каждой точке вектор скорости направлен по касательной к линии второго изсемейств (95), проходящей через эту точку, т.
е. действительно этосемейство есть семейство линий тока, и эти линии тока в установившемся движении дают траектории жидких частиц.До сих пор мы ограничивались лишь кинематическими соображениями и убедились, что всякая кинематическая возможная картина движения задается комплексным потенциалом, представляющим собою регулярную функцию, и, наоборот, всякий такой комплексный потенциал дает кинематически возможную картину движения. Покажем теперь, что мы сможем таким образом удовлетворить и уравнениям гидродинамики, причем из этих уравненийполучим величину давления. Напишем уравнения гидродинамикидля нашего случая плоского установившегося течения, считая, чтовнешние объемные силы имеют потенциал U (x, y).
Приняв во внимание (92), получим два уравнения гидродинамики и уравнениенепрерывности [II, 127]:∂ϕ ∂ 2 ϕ ∂ϕ ∂ 2 ϕ∂U1 ∂p=−,+∂x ∂x2∂y ∂x ∂y∂xρ ∂x∂ϕ ∂ 2 ϕ∂ϕ ∂ 2 ϕ1 ∂p∂U+−,=∂x ∂x ∂y∂y ∂y 2∂yρ ∂y∂2ϕ ∂2ϕ+= 0,∂x2∂y 2где ρ — плотность жидкости и p(x, y) — давление. Уравнение непрерывности, очевидно, удовлетворено, так как вещественная часть регулярной функции есть функция гармоническая. Первые два урав-44]Примеры205нения могут быть переписаны в виде 2 2 1∂ 1 ∂ϕ∂ϕ− U + p = 0,+∂x 2∂x∂yρ 2 2 ∂ 1 ∂ϕ1∂ϕ− U + p = 0.+∂y 2∂x∂yρОтсюда следует, что выражение, стоящее в фигурных скобках,должно быть постоянной величиной, и мы получаем таким образомследующий интеграл:12∂ϕ∂x2+∂ϕ∂y2 1− U + p = C,ρ(96)откуда и определяется величина давления p(x, y).
В случае отсутствия объемных сил и полагая ρ = 1, получаем формулу11p = C − |V|2 = C − |f (z)|2 ,22(97)где через |V| мы обозначили величину скорости.Заметим, что если вместо f (z) = ϕ + iψ возьмем комплексныйпотенциал if (z) = −ψ + iϕ, то эквипотенциальные линии перейдутв линии тока, и наоборот. Таким образом, всякая изотермическаясетка регулярной функции дает по существу две различные картины течения жидкости.44. Примеры.
I. Все примеры изотермических, сеток, которые мы приводили раньше, можно теперь истолковать с точки зрения гидродинамики, причем, как было только что указано, каждый такой пример даст две гидродинамические картины.Перейдем теперь к рассмотрению некоторых новых примеров. Начнем сослучая элементарной функцииf (z) = A ln(z − a) = A ln |z − a| + iA arg(z − a),где a — некоторая точка на плоскости и A — вещественная постоянная. В данном случае эквипотенциальные линии будут окружности с центром a, и линиитока будут прямые, выходящие из этой точки.
При обходе этой точки функцияf (z) приобретает постоянные слагаемые i2πA, и, таким образом, мнимая частькомплексного потенциала ϕ(x, y) (функция тока) будет приобретать слагаемые206Гл. II. Конформное преобразование и плоское поле[442πA, т. е. будем иметь в точке a источник интенсивности 2πA. Вектор скоростибудет определяться комплексным числомf (z) =A.z−aЕсли обозначить через ρ и ϕ модуль и аргумент комплексного числа z − a,то вектору скорости будет соответствовать комплексное число A/ρ eiϕ . Отсюда,между прочим, непосредственно следует, что при приближении к источникускорость будет стремиться к бесконечности и что при положительном A этаскорость будет направлена от источника на бесконечность, т. е.
мы будем иметьв данном случае именно источник, а не cток.Рассмотрим теперь более общую функциюz − az−a + iA arg z − a ,f (z) = A ln= A ln (98)z−bz −bz−bгде a и b — две различные точки плоскости и A — вещественная постоянная. Вданном случае изотермическая сетка будет определяться уравнениямиz − az−a z − b = C1 , arg z − b = C2 .Как мы знаем, первому из этих уравнений соответствует семейство окружностей, относительно которых a и b суть симметричные точки, а второму уравнению — семейство окружностей, проходящих через точки a и b [33].
В данномслучае мы будем иметь в точке a источник интенсивности 2πA, а в точке b —сток такой же интенсивности.II. Положим, что точки a и b находятся в точках (−h) и 0 вещественнойоси, и возьмем A = 1/h. При этом функция (98) будет иметь видf (z) =ln(z + h) − ln z.hПереходя к пределу при h → 0, мыполучим комплексный потенциал, характеризующий так называемый дипольв начале координат:f1 (z) =1.zКак нетрудно проверить (рис. 45),в данном случае изотермическая сеткабудет состоять из окружностей, прохоРис. 45.дящих через начало координат и касающихся оси Y (эквипотенциальные линии), и из окружностей, проходящих через начало и касающихся оси X (линиитока) [33].44]Примеры207III.
Рассмотрим функциюf (z) = iA ln(z − a) = −A arg(z − a) + iA ln |z − a|,где A, как и раньше, — вещественная постоянная. В этом случае линиямитока будут окружности с центром a, а прямые, выходящие из точки a, будут эквипотенциальными линиями. При обходе точки a в положительном направлении вещественная часть f (z) (потенциал скорости) получит приращение — 2πA, и мы будем иметь в точке A элементарный вихрь интенсивности — 2πA.IV. Возьмем функциюk1f (z) =z+,(99)2zкоторую мы уже исследовали в [35]. Отделяя вещественную и мнимую частиполучим уравнение линий тока в видеky=Cy− 22x + y2илиky(x2 + y 2 − 1) − 2C(x2 + y 2 ) = 0.В общем случае это будут некоторые кривые третьего порядка. В частномслучае, при C = 0, имеем окружность x2 +y 2 = 1 и ось y = 0.
Будем рассматривать только часть плоскости вне упомянутой окружности. Мы можем сказать,что одна из линий тока будет состоять из отрезков (−∞, −1) и (1, ∞) осиy = 0 и упомянутой окружности. Мы имеем, таким образом, в данном случаетечение жидкости вне окружности с обтеканием этой окружности. Вычисляяпроизводную1kf (z) =1− 2 ,2zвидим, что скорость течения на бесконечности равна k/2 (k считается вещественным) и что эта скорость равна нулю в точках z = ±1, т. е. в тех точках,где прямолинейные отрезки линий тока выходят на окружность.Добавим к нашей функции логарифмический член и составим таким образом новую функцию1kf1 (z) =z+− iA ln z.(100)2zМнимая часть второго слагаемого также сохраняет постоянное значение наупомянутой выше окружности, т. е.
эта окружность и в случае комплексногопотенциала (100) является одной из линий тока, но только в рассматриваемом случае при обходе вокруг этой окружности потенциал скорости получает208Гл. II. Конформное преобразование и плоское полеРис. 461 .[44дополнительное слагаемое 2πA, т. е. в случаепотенциала (100) мы имеем обтекание нашейокружности при наличии элементарного вихря.На рис.
461 , 462 и 463 , изображен вид линий тока при различных значениях постоянной A/k. Вслучае течения, изображенного на рис. 462 , точки входа и выхода линии тока на обтекаемойокружности сливаются.V. Как мы видели раньше [35] для функцииf (z) = arccos z/k изотермическая сетка будет состоять из софокусных эллипсов и гипербол с фокусами ±k на вещественной оси. Эта сетка изображена на рис. 47. Если за линии тока взять гиперболы, то получим картину течения через отверстие (−k, k) на вещественной оси. Если же залинии тока взять эллипсы, то получится картинаобтекания эллипса или отрезка (−k, k).VI.
Часто при исследовании гидродинамической картины бывает удобнее задавать не комплексный потенциал w = f (z), а обратную функцию z = ϕ(w). Рассмотрим один пример такогорода. Пусть комплексный потенциал задан обратной функциейz = w + ew .Рис. 462 .Отделяя вещественную и мнимую частиz = x + iy,w = ϕ + iψ,мы будем иметьx = ϕ + eϕ cos ψ,y = ψ + eϕ sin ψ.Полагая ψ = C, получим уравнение линийтока в параметрической форме:x = ϕ + eϕ cos C,Рис. 463 .y = C + eϕ sin C,где ϕ — переменный параметр. Рассмотрим двелинии тока, а именно линию тока, соответствующую C = π, и линию, соответствующую C = −π.В первом случае будем иметьx = ϕ − eϕ ;y = π.Как нетрудно видеть, в данном случае линия тока будет представлять собою двойной отрезок −∞ < x −1 прямой y = π.
Точно так же при C = −π45]Задача полного обтеканияРис. 47.209Рис. 48.получим двойной2 отрезок −∞ < x −1 прямой y = −π. Кроме того, очевидно, что при C = 0 линией тока будет служить сама ось y = 0. На рис. 48изображены линии тока для настоящего случая.45. Задача полного обтекания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
