1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Если мы возьмем другое значение функции (301 ), то получится часть плоскости, лежащая внеуказанной окружности, если взять ρ0 > 1. Точно так же одно иззначений функции (301 ) конформно преобразует часть плоскостиw, лежащую между двумя ветвями гиперболы (33), на угол плоскости z, определяемый неравенствами: ϕ0 arg z π − ϕ0 , где0 < ϕ0 < π/2.Подробное рассмотрение конформных отображений, связанныхс кривыми второго порядка, имеется в книге И. И. Привалова «Введение в теорию функций комплексного переменного».36]Двуугольник и полоса17536. Двуугольник и полоса. Рассмотрим двуугольник, образованный двумя дугами окружностей C1 и C2 (рис.
35). Пусть ψ —угол этого двуугольника и α1 и α2 — координаты его вершин. Совершая дробно-линейное преобразованиеz − α1w1 =,z − α2мы переводим точки α1 и α2 в w1 = 0 и w1 = ∞, так чтодуги, образующие двуугольник, переходят в полупрямые, идущие из начала на бесконечность, а сам двуугольник в результате преобразования будет представлять собою угол величиныψ с вершиной в начале. Если мы затем совершим преобразоπ/ψвание w2 = w1 , то величина угла станет равной π, и уголпревратится в полуплоскость. Умножая еще затем w2 на множитель вида eiϕ0 , мы можем достигнуть того, чтобы эта полуплоскость была верхней полуплоскостью, ограниченной вещественной осью.
Собирая вместе все проделанные преобразования, получим окончательно формулу, дающую преобразованиенашего двуугольника в верхнююполуплоскость:π/ψiϕ0 z − α1w=e.(36)z − α2Здесь ϕ0 есть некоторое вещественное число, зависящее отрасположения нашего двуугольника.
Совершая еще над w дробно-линейное преобразование, указанное в [33], мы можем преобразовать наш двуугольник в единичный круг.Рис. 35.Выше был рассмотрен двуугольник, заключающийся внутри контура, образованного двумядугами окружности. На рис. 35 можно рассматривать часть плоскости, находящуюся вне замкнутого контура, так же, как двуугольник, ограниченный дугами окружностей. Но угол этого двуугольника будет уже, конечно, не ψ, а (2π − ψ).176Гл. II.
Конформное преобразование и плоское поле[36Мы предполагали в предыдущем, что угол двуугольника отличен от нуля. Рассмотрим теперьслучай угла, равного нулю. Положим, что две окружности C1и C2 взаимно касаются изнутри (рис. 36). При этом ограниченная часть плоскости, находящаяся внутри замкнутого контура, и будет давать нам двуугольник с углом, равным нулю.
Точно так же, если две окружностивзаимно касаются извне (рис. 37),то часть плоскости, находящаясявне этих окружностей, тоже дает двуугольник с углом, равнымнулю. Если α — координата точки касания, то, совершая дробнолинейное преобразованиеРис. 36.w1 =1,z−αмы преобразуем окружности в параллельные прямые, и сам двуугольник перейдет в полосу, ограниченную этими двумя паралРис. 37.лельными прямыми. Совершаязатем преобразование подобия, атакже параллельный перенос и поворот, т. е. некоторое линейноепреобразование, всегда можно добиться того, чтобы эта полоса была ограничена двумя наперед заданными параллельными прямыми, например прямымиy=0и y = 2π.Поставим теперь себе задачу найти регулярную функцию, которая преобразовывала бы эту полосу в верхнюю полуплоскость. Мы36]Двуугольник и полоса177знаем, что функция w = ez преобразует нашу полосу во всю плоскость w с разрезом (0, +∞) вдоль положительнойчасти веществен√ной оси.
Совершая затем преобразование w, получим, очевидно,верхнюю полуплоскость, т. е. окончательно функция, преобразующая нашу полосу в верхнюю полуплоскость, будет w = ez/2 .Из предыдущего непосредственно следует также, что самафункция ez преобразует в верхнюю полуплоскость полосу, ограниченную прямыми y = 0 и y = π. Совершая над переменнойez дробно-линейное преобразование, преобразующее верхнюю полуплоскость в единичный круг [33], получим функциюw=ez − i,ez + i(37)преобразующую полосу, ограниченную прямыми y = 0 и y = π, вединичный круг.Рассмотрим более подробно один частный случай двуугольника,а именно верхний полукруг, построенный на отрезке (−1, 1) вещественной оси, как на диаметре. Функция2z+1w=(38)z−1преобразует вершины этого двуугольника z = −1 и z = 1 в точкиw = 0 и w = +∞, а диаметр и полуокружность переходят при этомв две прямые, причем угол между этими двумя прямыми будетвдвое больше соответствующего угла в полукруге, т.
е. будет просторавен π.Иначе говоря, наши две полупрямые образуют одну прямую, аименно, как нетрудно видеть, вещественную ось, причем при обходеконтура полукруга против часовой стрелки мы двигаемся по вещественной оси от −∞ к +∞, т. е. функция (38) преобразует наш полукруг в верхнюю полуплоскость. Совершая еще дробно-линейноепреобразование (26), получим функцию(z + 1)2 − i(z − 1)2,(z + 1)2 + i(z − 1)2преобразующую наш полукруг в единичный круг.178Гл. II. Конформное преобразование и плоское поле[3737. Основная теорема.
В предыдущем был рассмотрен рядслучаев конформного преобразования односвязной области в полуплоскость или единичный круг, при этом мы имели как случаиограниченной односвязной области (полукруг), так и случаи односвязной области, содержащей бесконечно далекую точку внутрисебя (внешность эллипса, внешность двуугольника).
Поставим общую задачу о преобразовании любой заданной односвязной областина плоскости z, например, в единичный круг на плоскости w илина полуплоскость. Исключим при этом два случая, а именно тотслучай, когда данная область есть вся плоскость z, включая бесконечно далекую точку, и тот случай, когда эта область есть всяплоскость, за исключением одной точки, например бесконечно далекой точки. Во всех остальных случаях, как оказывается, всегдасуществует регулярная функция w = f (z) внутри заданной односвязной области B, преобразующая эту область в единичный круг|w| < 1. Но мы можем затем при помощи дробно-линейного преобразования переводить этот единичный круг в самого себя и будемполучать таким образом новые конформные преобразования области B в единичный круг.
Отметим внутри нашей области некоторуюопределенную точку A, и пусть при преобразовании, совершаемомфункциейw = f (z),(39)эта точка переходит в точку α, лежащую внутри единичного круга. Совершая над этим кругом подходящим образом выбранноедробно-линейное преобразование, мы можем всегда перевести точку α в начало, не меняя единичного круга [33]. Новое преобразование будет переводить точку A в начало. Кроме того, поворачиваяединичный круг вокруг начала, мы можем достигнуть того, чтобылинейные элементы при переходе точки A в начало не поворачивались, т.
е. чтобы f (z) была положительной величиной в точке A.Таким образом, имея одно конформное преобразование области Bв единичный круг, мы можем построить и бесчисленное множествотаких преобразований, и среди них будет существовать такое преобразование, которое преобразует любую наперед заданную точкуA внутри B в центр единичного круга и не меняет направлений вэтой точке. Можно показать, что при этих дополнительных услови-37]Основная теорема179ях функция, совершающая конформное преобразование, определяется уже единственным образом, а именно имеет место следующая,основная в теории конформного преобразования теорема:Т е о р е м а Р и м а н а.
Если B — некоторая данная односвязная область на плоскости z (за указанными выше двумя исключениями) и z0 — некоторая точка внутри B, то существует однаопределенная регулярная внутри B функция f (z), преобразующаяB в единичный круг так, что z0 переходит в начало, и значениепроизводной f (z0 ) положительно.Мы не приводим доказательства этой теоремы. Заметим, чтофункция, о которой говорится в ней, только в исключительных случаях выражается через элементарные функции. В дальнейшем мызаймемся практически важным вопросом приближенного построения указанной функции.Сделаем одно важное добавление к теореме Римана. Если граница области есть простая замкнутая кривая [5], причем относительно функций x = x(t) и y = y(t), входящих в ее параметрическое представление, предполагается лишь непрерывность, то f (z)будет непрерывной вплоть до границы l и будет преобразовыватьэту границу в окружность |w| = 1.
Функция z = ϕ(w), обратнаяw = f (z), будет регулярной внутри круга |w| < 1 и непрерывнойвплоть до окружности |w| = 1, которую она будет преобразовыватьв границу B.Как указывалось выше, функция, совершающая конформноепреобразование данной области B в единичный круг, определяется вполне лишь при наличии дополнительного условия, о которомговорится в формулировке теоремы Римана. Можно заменить этодополнительное условие другим, причем будем в дальнейшем считать, что наш контур области таков, что функция, совершающаяконформное преобразование, непрерывна вплоть до контура.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
