1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 32
Текст из файла (страница 32)
е. вблизиточки t = a2 имеет место разложениеα2 − 1f (t)=+ P (t − a2 ),f (t)t − a2где P (t − a2 ) есть функция, регулярная в точке t = a2 .Аналогично мы убедимся, что функция (42) имеет в каждойточке ak вещественной оси полюс первого порядка с вычетом (αk −1). Никаких других особых точек на конечном расстоянии нашафункция, как мы знаем, не имеет, а потому разностьf (t) αs − 1−f (t) s=1 t − asn(43)будет регулярной и однозначной функцией на всей плоскости.
Выясним теперь поведение функции (43) на бесконечности. Как мывидели выше, функция f (t) на бесконечности стремится к определенному значению, а именно к координате b∞ той точки стороныAn A1 , которая соответствует t = ∞, и, следовательно, в окрестности бесконечно далекой точки имеем разложение видаf (t) = b∞ +c2c1+ 2 + ...ttОтсюда непосредственно следует, что для функции f (t)/f (t) вокрестности бесконечности имеем разложение видаf (t)d1d2=+ 2 + ...,f (t)ttГл. II. Конформное преобразование и плоское поле186[38т.
е. эта функция стремится к нулю при t → ∞. Таким образом,функция (43), регулярная на всей плоскости, стремится к нулю приt → ∞, а следовательно, ограничена на всей плоскости. Согласнотеореме Лиувиля [9], выражение (43) должно быть величиной постоянной, и так как мы только что видели, что оно должно стремиться к нулю при t → ∞, то отсюда следует, что эта постояннаядолжна равняться нулю.
Это приводит к равенству:f (t)α1 − 1 α2 − 1αn − 1=++ ...+.f (t)t − a1t − a2t − an(44)Интегрируя один раз, получаемln f (t) = (α1 − 1) ln(t − a1 ) + (α2 − 1) ln(t − a2 ) + . . . ++ (αn − 1) ln(t − an ) + Cилиf (t) = A(t − a1 )α1 −1 (t − a2 )α2 −1 . . .
(t − an )αn −1и, наконец, интегрируя еще раз, имеем окончательноtz = f (t) = A(t − a1 )α1 −1 (t − a2 )α2 −1 . . . (t − an )αn −1 dt + B, (45)t0где A и B — постоянные. Таким образом, наша задача решена и конформное преобразование верхней полуплоскости t в многоугольникс углами αk π дается формулой (45), где ak — некоторые точки навещественной оси, а A и B — комплексные постоянные.Выясним прежде всего роль этих последних постоянных. Впредыдущих рассуждениях мы использовали лишь величины угловнашего многоугольника.
Таким образом, подвергая многоугольникдвижению или даже преобразованию подобия, мы не меняем углов,и для нового многоугольника должна иметь место также формула(45). Роль постоянных A и B и сводится к тому, что мы при изменении их переходим от одного многоугольника к подобному многоугольнику. Более существенной является роль чисел ak в формуле (45). Расположение этих чисел на вещественной оси вместе38]Формула Кристоффеля187со значением постоянной A дает длины сторон многоугольника. Вдальнейшем мы вернемся еще к этому вопросу.При выводе формулы (45) предполагалось, что всем вершинаммногоугольника соответствуют точки вещественной оси, лежащиена конечном расстоянии.
Положим теперь, что одной из вершин,например вершине An , соответствует бесконечно далекая точка.Совершая, например, в формуле (45) замену переменной интегрирования t = −1/t + an и пользуясь соотношениемα1 + α2 + . . . + αn = n − 2,(46)легко показать, возвращаясь к прежним обозначениям, что в этомслучае формула имеет видtz = f (t) = A(t−a1 )α1 −1 (t−a2 )α2 −1 . . . (t−an−1 )αn−1 −1 dt+B.
(47)t0При помощи дробно-линейной функции, преобразующей полуплоскость в круг |τ | < 1, можно показать, что конформное преобразование упомянутого круга в многоугольник выражается формулой, по виду совпадающей с (45):τz = f (τ ) = A(τ − a1 )α1 −1 (τ − a2 )α2 −1 . . . (τ − an )αn −1 dτ + B, (48)0где ak (k = 1, . .
. , n) — точки, лежащие на окружности |τ | = 1.В указанных выше формулах нижний предел не играет роли ивлияет лишь на постоянную B. Аргументы разностей t − ak и τ − akнадо фиксировать хотя бы в одной точке одного из промежутков(ak , ak+1 ), считая, например, arg(t − a1 ) = 0 при a1 < t < a2 . Приэтом они определяются на всей полуплоскости (или во всем круге).Выше мы исходили из некоторого многоугольника на плоскостиt и вывели формулы для функции, преобразующей полуплоскостьили круг в этот многоугольник.
Будем теперь исходить из этихформул. Рассмотрим, например, формулу (45), где ak — некоторыеточки вещественной оси и αk — числа, удовлетворяющие условиям188Гл. II. Конформное преобразование и плоское поле[390 < αk < 2 и соотношению (46).Можно показать, что при этомформула (45) преобразует верхнюю полуплоскость плоскости tв некоторую область плоскостиz без точек разветвления (однолистную или многолистную), контур которой — ломаная линия суглами αk π.На рис.
40 изображен семиугольник, который является двулистным в заштрихованной части.Рис. 40.Заключение, совершенно аналогичное только что сформулированному, имеет место и по отношению к формулам (47) и (48).39. Частные случаи. Начнем с наиболее простого случая треугольника. Пользуясь дробно-линейным преобразованием плоскости t, мы всегда можем привести задачу к тому случаю, когдавершинам треугольника соответствуют точки t = 0, 1 и ∞. Приэтом мы должны воспользоваться формулой (47), полагая a1 = 0 иa2 = 1, и получим таким образом формулуτz=Aτ α1 −1 (τ − 1)α2 −1 dτ + B .(49)0В этом случае в нашей формуле остались лишь произвольныепостоянные A и B , не играющие существенной роли и связанные сподобным преобразованием треугольника. Сравнительная простотаформулы (49) соответствует тому факту, что всякие два треугольника с одинаковыми углами будут обязательно подобны один другому.
В случае четырехугольника это обстоятельство уже не будетиметь места, и в общей формуле для четырехугольника с заданными углами мы будем иметь под знаком интеграла неопределенныйпараметр, который зависит от длин сторон многоугольника.39]Частные случаи189Формула (49) применима и к случаю безграничного треугольника суглами π2 , π2 и 0. Такой треугольникпредставляет собою, очевидно, полуРис. 41.полосу, ограниченную двумя параллельными полупрямыми и отрезком, перпендикулярным к ним(рис. 41).
Полагая в формуле (49) α1 = α2 = 1/2, будем иметьτz=A0dτ+ B.τ (τ − 1)Остановимся еще подробно на случае прямоугольника. Положим что вершины этого прямоугольника B имеют координаты(рис. 42):ω1ω1ω1ω1− ,,+ iω2 , −+ iω2 ,2222где ω1 и ω2 — заданные вещественные положительные числа.Возьмем правую половину этого прямоугольника с вершинами0, ω1 /2, ω1 /2 + iω2 , iω2 , и положим, что она конформно отображена на правую половину верхней полуплоскости t, т. е.
на туполовину верхней полуплоскостиt, точки которой имеют положительную вещественную часть.При этом мы можем считать, чтовершинам 0, ω1 /2 и iω2 соответРис. 42.ствуют точки 0,1 и ∞ контураупомянутой правой части верхней полуплоскости. При этом вершине ω1 /2 + iω2 будет соответствовать некоторая точка вещественной оси, лежащая между точками 1 и ∞. Обозначим эту точкучерез 1/k, где 0 < k < 1. В силу принципа симметрии левой половине нашего прямоугольника будет соответствовать левая половина верхней полуплоскости t, причем вершинам −ω1 /2, −ω1 /2 + iω2будут соответствовать точки t = −1 и t = −1/k. Из предыдущих190Гл. II. Конформное преобразование и плоское поле[39рассуждений непосредственно вытекает, что всегда можно такимобразом нормировать наше конформное преобразование верхнейполуплоскости в прямоугольник B, чтобы точкам t = −1, 0, 1, ∞соответствовали точки z = −ω1 /2, 0, ω1 /2, iω2 , и при этом точкамt = 1/k и t = −1/k будут соответствовать значения z = ω1 /2 + iω2и z = −ω1 /2 + iω2 .
Можно теперь применить к нашему случаюформулу (45), полагая a1 = −1/k; a2 = −1; a3 = 1; a4 = 1/k иα1 = α2 = α3 = α4 = 1/2.Мы получаем таким образом, принимая во внимание, что приt = 0 и z = 0, формулу видаz = At0dt2(1 − t )(1/k 2 − t2 )или формулу видаtz=A0dt.2(1 − t )(1 − k 2 t2 )(50)При значениях t, лежащих внутри отрезка −1 < t < 1 вещественной оси, мы должны иметь отрезок вещественной оси(−ω1 /2, ω1 /2) в плоскости z.
Отсюда следует, что в формуле (50)мы можем считать A положительной постоянной и должны братьрадикал равным единице при t = 0. Дальнейшие значения этогорадикала в верхней полуплоскости получатся единственным образом, так как этот радикал будет регулярной функцией в этой полуплоскости и не будет там иметь точек разветвления. Принимая вовнимание, что вершинам ω1 /2 и ω1 /2 + iω2 соответствуют значенияt = 1 и t = 1/k, мы получим следующие формулы:⎫1⎪⎪ω1dt⎪=A ,⎪⎪222⎪2(1 − t )(1 − k t ) ⎪⎬0(51)⎪1/k⎪⎪dt⎪⎪.⎪ω2 = A⎪(t2 − 1)(1 − k 2 t2 ) ⎭139]Частные случаи191Длины сторон нашего прямоугольника равны ω1 и ω2 , и можнопостроить уравнение для определения параметра k, входящего подзнак интеграла, зная отношение длин сторон нашего прямоугольника1ω1 : ω2 = 20dt:(1 − t2 )(1 − k 2 t2 )1/k1dt.
(52)(t2 − 1)(1 − k 2 t2 )Определив отсюда k, мы сможем найти A из одного из уравнений (51).Интеграл, входящий в формулу (50), не выражается через элементарные функции и называется эллиптическим интегралом первого рода в форме Лежандра. Будем дальше заниматься такимиинтегралами и не будем сейчас разбирать подробнее вопрос об определении k из уравнения (52). Мы привели предыдущее рассуждениелишь для того, чтобы более отчетливо выяснить вопрос об определении постоянных в формуле Кристоффеля.Рассмотрим еще один частный случай. Пусть на плоскости zмы имеем правильный n-угольник A1 A2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
