1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Пусть z — комплексная координата A и w — комплексная координата A1 . Положим, что C есть окружность с центром B (z = a) и радиусом R.Векторы BA и BA1 должны иметь один и тот же аргумент, а произведение их длин должно равняться R2 . Нетрудно видеть, что этоприводит к следующей формуле, выражающей w через z:w−a=R2,z−a(27)168Гл. II. Конформное преобразование и плоское поле[33т. е.
отображение в окружности выражается дробно-линейнойфункцией от z:az + (R2 − aa)w=z−aи, следовательно, является конформным преобразованием второго рода. Рассмотрим теперь отображение в прямой. Положим, чтопрямая проходит через начало иобразует угол ψ с положительным направлением вещественнойоси (рис. 31).
При этом точка zперейдет, очевидно, в точку w стем же модулем |w| = |z| и с аргументом arg w = 2ψ − arg z, т. е.в этом случае преобразование может быть написано в видеw = ei2ψ z,(28)и оно будет выражаться простолинейной функцией от z. Какнетрудно видеть, тот же результат получим и при отображении влюбой прямой.Если произвести последовательно два отображения в различных окружностях или прямых, то в окончательном результате получится некоторое дробно-линейное преобразование.
Рассмотримболее подробно тот случай, когда производятся последовательнодва отображения в пересекающихся прямых. Можно всегда считать, что точка пересечения находится в начале координат. Пусть,далее, ψ1 и ψ2 суть углы, образованные этими прямыми с положительным направлением вещественной оси. Последовательно проводя эти отображения, мы перейдем от точки z к точке w1 и от точкиw1 к точке w по формуламРис. 31.w1 = ei2ψ1 z,w = ei2ψ2 w 1 .Подставляя выражение w1 в правую часть второй формулы, мыбудем иметь окончательное преобразование от z к w в видеw = ei2(ψ2 −ψ1 ) z,34]Функция w = z 2169и это будет вращение вокруг начала на угол 2(ψ2 − ψ1 ), т. е.
два последовательных отображения в пересекающихся прямых дают вращение плоскости вокруг точки пересечения на угол, равный удвоенному углу, образованному этими прямыми. Точно так же нетруднопоказать, что два последовательных отображения в параллельныхпрямых дают параллельный перенос плоскости.34. Функция w = z 2 . Мы уже исследовали раньше (в другихобозначениях) функциюw = z2(29)и видели, что она преобразует плоскость z в двулистную римановуповерхность на плоскости w с точками разветвления первого порядка w = 0 и w = ∞. Установим теперь только вид изотермическихсеток на плоскостях z и w.
Отделяя вещественную и мнимую части,получимw = u(x, y) + iv(x, y) = (x + iy)2 = (x2 − y 2 ) + i2xy.Изотермическая сетка на плоскости z будет состоять из двухсемейств равнобочных гипербол (рис. 32):x2 − y 2 = C1 ;2xy = C2 .Рассмотрим теперь изотермическую сетку на плоскости w. Полагая в формулах:u = x2 − y 2 ;v = 2xy,x = C1и исключая y, а затем полагая y = C2 и исключая x, мы получимдва семейства парабол (рис.
33):v 2 = 4C12 (C12 − u);v 2 = 4C22 (C22 + u),которые являются преобразованием прямых x = C1 и y = C2 плоскости z.Мы можем, очевидно, рассматривать изотермическую сетку, образованную этими параболами,как изотермическую сетку на плос√кости z для функции w = z, обратной функции (29).170Гл. II. Конформное преобразование и плоское полеРис. 32.[34Рис.
33.Рассмотрим на рис. 32 какую-либо равнобочную гиперболу,изображенную пунктиром, для которой ось OX является вещественной осью. Ее уравнение будет x2 − y 2 = C1 , где C1 — некоторая положительная постоянная. Возьмем ее правую ветвь. Еслив уравнении x2 − y 2 = C увеличивать C от C1 до (+∞), то будут получаться гиперболы, изображенные пунктиром, правые ветви которых лежат правее правой ветви гиперболы x2 − y 2 = C1 ,и из сказанного выше непосредственно следует, что функция (29)конформно преобразует часть плоскости z, лежащую внутри правой ветви гиперболы, на полуплоскость u C1 плоскости w.
Совершенно аналогично функция (29) конформно преобразует частьплоскости z, лежащую внутри левой ветви гиперболы x2 − y 2 = C1 ,на полуплоскость u C1 .Рассмотрим теперь на рис. 33 какую-либо параболу, изображенную пунктиром. Ее уравнение имеет вид v 2 = 4C22 (C22 + u), и ейсоответствует на плоскости z прямая y = C2 , причем постояннуюC2 мы можем считать положительной, поскольку в уравнение параболы входит только C22 . Если в уравнении v 2 = 4C 2 (C 2 + u) увеличивать C от C2 до (+∞), то будут получаться параболы, изображенные пунктиром и лежащие левее√параболы v 2 = 4C22 (C22 + u),и отсюда следует, что функция z = w конформно преобразуетчасть плоскости w, лежащую вне параболы v 2 = 4C22 (C22 + u), наполуплоскость y C2 плоскости z.35]Функция w = k/2(z + 1/z)17135.
Функция w = k/2 z + 1/z . Рассмотрим преобразованиеплоскости, совершаемое функцией1kz+,(30)w=2zгде k — некоторое заданное положительное число. Посмотрим, вочто перейдет сетка полярных координат плоскости z, т. е. во чтоперейдут окружности |z| = ρ с центром в начале, и во что перейдетпучок прямых arg z = ϕ, проходящих через начало. Подставляя вформулу (30) z = ρeiϕ и отделяя вещественную и мнимую части,получим равенства1k1kρ+cos ϕ; v =ρ−sin ϕ.(31)u=2ρ2ρРассмотрим окружность ρ = ρ0 . Нетрудно исключить ϕ из уравнений (31), что приводит к уравнениюu2v2+= 1,k 2 /4(ρ0 + 1/ρ0 )2k 2 /4(ρ0 − 1/ρ0 )2(32)т.
е. упомянутая окружность переходит на плоскости w в эллипс сполуосямиkk 11 a=ρ0 +; b = ρ0 − ,2ρ02ρ0причем в выражении для b мы пишем абсолютное значение, потомучто разность может быть как положительной, так и отрицательной. Уравнения (31) при ρ = ρ0 дают, очевидно, параметрическоеуравнение этого эллипса.
В случае единичной окружности ρ = 1уравнения (31) дают u = k cos ϕ и v = 0, т. е. эллипс вырождается в отрезок (−k, k) вещественной оси, пробегаемой два раза или,как мы будем говорить, в двойной отрезок. При уменьшении ρ отединицы до нуля эллипсы будут беспредельно расширяться и покроют всю плоскость, и, таким образом, внутренности единичногокруга будет соответствовать вся плоскость w с разрезом (−k, k).Точно так же при увеличении ρ от единицы до бесконечности мыполучим такие же беспредельно расширяющиеся эллипсы, т. е. части плоскости z, находящейся вне единичного круга, будет также172Гл.
II. Конформное преобразование и плоское поле[35соответствовать вся плоскость w с разрезом (−k, k). Полная плоскость z перейдет в двулистную риманову поверхность на плоскостиw с точками разветвления w = −k и w = k. В соответствии с этимфункция, обратная (30):√w ± w2 − k 2z=,(301 )kбудет двузначной и будет иметь упомянутые точки разветвления.Обратимся к более подробному рассмотрению эллипсов (31). Фокусы этих эллипсов находятся на вещественной оси, и их абсциссы вычисляются,как известно, через полуоси a и b по формуле√c = ± a2 − b2 . В данном случае будем иметь 22k21k21ρ0 +ρ0 −−= ±k,c=±4ρ04ρ0т. е. при всяком значении ρ0 фокусы будут находиться на концахотрезка (−k, k), или, иначе говоря, эллипсы (32) будут софокусными.Посмотрим теперь, во что перейдут прямые ϕ = ϕ0 .
Исключаяиз уравнений (31) переменную ρ, будем иметьk2u2v2− 2 2= 1,2cos ϕ0k sin ϕ0(33)т. е. получим семейство гипербол с полуосями a = k| cos ϕ0 | иb = k| sin ϕ0 |. Покажем, что эти гиперболы будут софокусны рассмотренным выше эллипсам. Как известно, у гипербол (33) фокусынаходятся на вещественной оси,√и абсциссы фокусов выражаютсячерез полуоси по формуле c = ± a2 + b2 . В данном случае c = ±k,т.
е. действительно эллипсы и гиперболы софокусны. Гиперболы,соответствующие координатным осям плоскости zπ3πϕ = 0,, π и,22вырождаются в ось u = 0 и в отрезки (−∞, −k) и (k, +∞) вещественной оси. Таким образом, мы можем окончательно сказать,35]Функция w = k/2(z + 1/z)173что сетка полярных координат плоскости z переходит в результате преобразования (30) в сетку софокусных эллипсов и гипербол,имеющих фокусы в точках ±k (рис. 34).Рис. 34.Нетрудно построить функцию, для которой сетка софокусныхэллипсов и гипербол будет служить изотермической сеткой. Дляэтого напомним то, что мы раньше знали относительно преобразования, совершаемого показательной функцией [19]:w = ez ,имеющей период 2πi. Из формулыw = ex eyiнепосредственно вытекает, что линии x = x0 переходят в окружности с центром в начале и радиусом ex0 , а линии y = y0 переходят впрямые ϕ = y0 , проходящие через начало, т.
е. функция ez преобразует сетку декартовых координат плоскости z в сетку полярныхкоординат плоскости w.Рассмотрим функцию видаw1 = eiz = eix e−y ,(34)174Гл. II. Конформное преобразование и плоское поле[35имеющую период 2π. Из написанной формулы непосредственно вытекает, что и для этой функции сетка декартовых координат переходит в сетку полярных координат, но только линии y = y0 переходят в окружности и линии x = x0 — в прямые.Рассмотрим теперь функциюkeiz + e−iz1w=w1 += k cos z.(35)=k2w12В результате преобразования (34) сетка декартовых координатперейдет в сетку полярных координат, и затем в результате преобразования (35) сетка полярных координат перейдет в вышеуказанную сетку софокусных эллипсов и гипербол. Но применениеупомянутых двух преобразований от z к w1 и от w1 к w дает вокончательном результате преобразование w = k cos z; таким образом, функция k cos z переводит сетку декартовых координат всетку софокусных эллипсов и гипербол, т.
е. эта последняя сетка является изотермической сеткой на плоскости w для функцииw = k cos z. Если бы мы стали рассматривать обратную функциюw = arccos z/k, то для нее сетка софокусных эллипсов и гиперболбыла бы изотермической сеткой на плоскости z.Совершенно так же, как и в предыдущем номере, мы можемполучить из предыдущих рассуждений некоторые результаты, касающиеся конформных преобразований. Одно из значений функции (301 ) преобразует плоскость w с разрезом (−k, k) во внутренность единичного круга плоскости z. Та же функция преобразуетчасть плоскости, находящуюся вне эллипса (32), при каком-либофиксированном ρ0 , во внутреннюю часть круга с центром в начале и радиусом ρ0 , где ρ0 < 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
