1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Совершенно так же, как и в [27], можно показать,что интеграл (158) существует, если функция ω(τ ) удовлетворяет на L условиюЛипшица:|ω(τ2 ) − ω(τ1 )| k|τ2 − τ1 |α (0 < α 1).(160)Пользуясь доказанной в [27] теоремой о замене переменных, нетрудно показать, что если в некотором параметрическом уравнении контура τ (t) =x(t) + y(t)i функции имеют непрерывные производные до второго порядка иτ (t) = 0, то главное значение интеграла (158) сводится к главному значениюинтегралаβω[τ (t)]τ (t)dt,τ (t) − τ (t0 )αгде (α, β) — промежуток изменения параметра t, и значение t = t0 соответствует точке τ = ξ. Если ω(τ ) тождественно равна единице, то для интеграла (158)мы имеем первообразную функцию ln(τ − τ0 ) и непосредственно получаем дляслучая замкнутого контураdτ= πi,(161)τ −ξLпричем всегда считаем, что интегрирование по замкнутому контуру происходит против часовой стрелки.
Совершенно так же, как и в случае прямолинейного отрезка, можно утверждать, что при условии (160) формула (158) определяет функцию f (ξ), непрерывную во всех внутренних точках L, если это —незамкнутая кривая, и вообще во всех точках L, если это — замкнутая кривая. Имеет место, как и в случае отрезка, более точная теорема, доказаннаяИ. И. Приваловым:При наличии условия (160) функция f (ξ) удовлетворяет на замкнутойкривой L условию Липшица с тем же α, если α < 1, и с любым показателем,меньшим единицы, если α = 1.
Если L — незамкнутая кривая, то же имеетместо для f (ξ) на любой замкнутой дуге кривой лежащей внутри L.Докажем эту теорему для случая отрезка. Для контурных интегралов доказательство аналогично. Сделаем предварительно несколько замечаний об условии Липшица. Прежде всего нетрудно видеть, что условие Липшица|f (ξ + Δξ) − f (ξ)| k|Δξ|α(162)достаточно проверить для достаточно малых значений |Δξ|. Действительно,пусть (162) установлено при |Δξ| m, где m — некоторая положительная постоянная.
Если |Δξ| m, то отношение|f (ξ + Δξ) − f (ξ)||Δξ|αостается ограниченным, т. е.|f (ξ + Δξ) − f (ξ)| k1 |Δξ|α(|Δξ| m),140Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[28где k1 — некоторая постоянная. Выбирая наибольшую из двух постоянных k иk1 , мы получаем условие Липшица для всех допустимых значений Δξ. Пусть,далее, β < α 1. При значениях Δξ, по модулю меньших единицы, мы имеем|Δξ|β > |Δξ|α , а потому, если f (ξ) удовлетворяет условию Липшица с показателем α, то тем более она удовлетворяет условию с показателем β. Положим, чтодве функции f1 (ξ) и f2 (ξ) удовлетворяют условию Липшица с одним и тем жепоказателем α. Нетрудно видеть, что их сумма и произведение удовлетворяюттакже условию с тем же самым показателем.
Для суммы это непосредственно вытекает из того, что модуль суммы меньше или равен сумме модулей, а вслучае произведения мы можем написатьf1 (ξ + Δξ)f2 (ξ + Δξ) − f1 (ξ)f2 (ξ) = f2 (ξ + Δξ)[f1 (ξ + Δξ) − f1 (ξ)]++ f1 (ξ)[f2 (ξ + Δξ) − f2 (ξ)],откуда и следует непосредственно наше утверждение о произведении.Перейдем теперь к доказательству высказанной выше теоремы. Мы имеемbf (ξ) =aиbf (ξ) =aω(t)dt,t−ξb−ξω(t) − ω(ξ)dt + ω(ξ) ln,t−ξξ−aгде ω(t) удовлетворяет условию Липшица с некоторым показателем α. Положим, что ξ принадлежит некоторому промежутку l, лежащему внутри (a, b). Вовтором слагаемом правой части множитель ω(ξ) удовлетворяет условию Липшица с показателем α, а второй множитель имеет ограниченную производнуюи тем самым удовлетворяет условию Липшица с показателем единица.
Такимобразом все произведение удовлетворяет условию Липшица с показателем α, итеорему достаточно доказать для функцииbψ(ξ) =aω(t) − ω(ξ)dt,t−ξвыраженной обычным несобственным интегралом. Нам надо оценить модульразностиb ψ(ξ + Δξ) − ψ(ξ) =aω(t) − ω(ξ)ω(t) − ω(ξ + Δξ)−dt,t − ξ − Δξt−ξ(163)считая |Δξ| достаточно малым.
Выделим из промежутка интегрирования часть(ξ − ε, ξ + ε), где ε = 2|Δξ|, и оценим модуль интеграла (163) по этой частипромежутка. Пользуясь условием (160), получим оценкуξ+εkξ−ε(|t − ξ − Δξ|α−1 + |t − ξ|α−1 )dt.28]Главное значение интеграла (продолжение)141Интеграл от второго слагаемого можно представить в видеξξ+ε(ξ − t)α−1dt +ξ−ε(t − ξ)α−1 dt =1 α(2 |Δξ|α + 2α |Δξ|α ).αξТаким же образом можно поступить и с интегралом от первого слагаемого,и модуль интеграла (163) по промежутку (ξ − ε, ξ + ε) будет иметь оценкуk1 |Δξ|α , где k1 — некоторая постоянная.
Остается оценить интеграл (163) посумме промежутков (a, ξ − ε) и (ξ + ε, b). Для этого представим подынтегральную функцию в виде[ω(t) − ω(ξ + Δξ)]Δξ1− [ω(ξ + Δξ) − ω(ξ)].(t − ξ)(t − ξ − Δξ)t−ξ(164)Пользуясь (160), получаем следующую оценку для интеграла от модуля второгослагаемого: ξ−εb b−ξdtdt |Δξ|α k2 |Δξ|α ,k|Δξ|α + = k lnt−ξt− ξξ − aaξ+εгде k2 — некоторая постоянная. При этом надо иметь в виду, что написанныйлогарифм остается ограниченным по модулю при изменении ξ в упомянутомвыше промежутке l.
Остается оценить интеграл от первого слагаемого выражения (164) по сумме промежутков (a, ξ − ε) и (ξ + ε, b). Займемся оценкойинтеграла по одному первому промежутку. Для второго промежутка оценкабудет буквально такой же. В силу (160) мы имеем следующую оценку для первого слагаемого выражения (164):Δξk|Δξ|[ω(t) − ω(ξ + Δξ)]=(t − ξ)(t − ξ − Δξ) |t − ξ||t − ξ − Δξ|1−α=k|Δξ|.|t − ξ|2−α |1 − Δξ/(t − ξ)|1−αПри изменении t на промежутке (a, ξ − ε) мы имеем (ξ − 1) ε, т.
е.(ξ − t) 2|Δξ|, и, следовательно, |Δξ| : |t − ξ| 1/2, а поэтому1 − Δξ 1 .t−ξ2Таким образом, при изменении t в промежутке (a, ξ − ε) модуль первого слагаемого выражения (164) не превышает21−α k|Δξ|(ξ − t > 0),(ξ − t)2−αи модуль интеграла от упомянутого первого слагаемого имеет оценку21−α k|Δξ|ξ−εadt.(ξ − t)2−α(1641 )142Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[28Если α < 1, то мы имеем требуемую оценку:k1121−α k|Δξ| −|Δξ|α .+1−α(ξ − a)1−α21−α |Δξ|1−α1−αТаким образом, при α < 1 нужная оценка разности (163) получена. Если α = 1,то оценка (1641 ) имеет видk|Δξ|[ln(ξ − a) − ln(2|Δξ|)],и при α = 1 разность (163) имеет оценку видаk3 |Δξ| + k4 |Δξ| ln1,|Δξ|где k3 и k4 — некоторые постоянные.
Принимая во внимание, что ln 1/|Δξ| приΔξ → 0 растет слабее, чем любая отрицательная степень |Δξ|, мы можем написать1k3 |Δξ| + k4 |Δξ| ln k5 |Δξ|β ,|Δξ|где β — любое число, удовлетворяющее условию 0 < β < 1, и теорема доказанаи для случая α = 1.Исследуем теперь поведение функции f (ξ) при приближении точки ξ к концам отрезка, например к концу t = α. Мы, как и выше, считаем, что ω(t) удовлетворяет условию Липшица с показателями α на всем замкнутом отрезке(a, b).
Положим сначала, что ω(a) = 0. При этом мы можем продолжить функцию нулем для t < a, т. е. можем считать ω(t) = 0 при t < a. При этом ω(t)будет определена на некотором отрезке (a1 , b), где a1 < a, и условие Липшицапри указанном продолжении не нарушится. Интегралba1ω(t)dt =t−ξbaω(t)dtt−ξбудет давать прежнюю функцию f (ξ), и, принимая во внимание, что точкаt = a находится внутри отрезка (a1 , b), мы можем, на основании доказанноговыше, утверждать, что f (ξ) удовлетворяет условию Липшица с показателем α(считаем α < 1) и на любом отрезке (a, b1 ), где b1 < b. Положим теперь, чтоω(a) = 0.Мы можем написатьbf (ξ) =aω(t) − ω(a)dt + ω(a)t−ξbadt.t−ξВ первом интеграле числитель обращается в нуль при t = a, и этот интегралдает функцию, удовлетворяющую условию Липшица с показателем α вплотьдо ξ = a.
Второе слагаемое правой части равно, как мы видели в [27]ω(a) ln(b − ξ) − ω(a) ln(ξ − a).28]Главное значение интеграла (продолжение)143Уменьшаемое в этой разности удовлетворяет условию Липшица с показателем единица вплоть до ξ = a.Таким образом, окончательно в окрестности ξ = a функция f (ξ) представляет собою сумму−ω(a) ln(ξ − a) + f1 (ξ),где f1 (ξ) удовлетворяет условию Липшица с показателем α вплоть до ξ = a.Аналогично рассматривается и конец ξ = b, и в этом случае получаетсяω(b) ln(b − ξ) + f2 (ξ),где f2 (ξ) удовлетворяет условию Липшица вплоть до ξ = b.Поведение f (ξ) вблизи концов отрезка рассматривалось и при более общихпредположениях относительно ω(t).
Приведем только результат, доказательство которого можно найти в книге Н. И. Мусхелишвили «Сингулярные интегральные уравнения», содержащей впервые проведенное подробное исследование интегралов типа Коши.Т е о р е м а. Пусть ω(t) удовлетворяет условию Липшица (152) с показателем α на любом замкнутом отрезке (a , b ), содержащемся внутри (a, b),причем постоянная k может зависеть от выбора отрезка (a b ) (k можетбеспредельно возрастать при a → a или b → b). Пусть, далее вблизи концовa и b функция ω(t) представима в видеω(t) =ω ∗ (t),(t − c)γ(165)где c означает a или b, γ = γ1 + γ2 i (γ = 0), причем 0 γ1 < 1 иω ∗ (t) удовлетворяет некоторому условию Липшица вплоть до t = c.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
