1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Приэтом f (ξ) удовлетворяет условию Липшица с показателем α, если α < 1,и с любым показателем, меньшим единицы, если α = 1, на любом замкнутом отрезке, лежащем внутри (a, b), и в окрестности ξ = c имеетвидf (ξ) = ±πctg γπω ∗ (c)+ f1 (ξ),(ξ − c)γпричем, если γ1 = 0, то f1 (ξ) удовлетворяет некоторому условию Липшицавплоть до ξ = c, а если γ1 = 0, тоf1 (ξ) =f ∗ (ξ),|ξ − c|γ0где f ∗ (ξ) удовлетворяет условию Липшица вплоть до ξ = c и γ0 < γ1 ; знак«+» относится к случаю c = a, и знак «–» — к случаю c = b.Это предложение имеет место и в том случае, если прямолинейный отрезок заменен любой достаточно гладкой дугой с концами t = a и t =b, причем интегрирование ведется в этом случае по комплексной переменной t.144Гл.

I. Основы теории функций комплексного переменного[29Отметим, что если γ = 0, то имеет место указанный выше результат:1+ f1 (ξ),ξ−cгде f (ξ) удовлетворяет условию Липшица вплоть до ξ = c.f (ξ) = ±ω(c) ln29. Интегралы типа Коши. Рассмотрим интеграл типа Коши [8]1ω(τ )dτ(166)F (z) =2πiτ −zLпри прежних предположениях относительно ω(τ ) и L. Положим, что z находится не на L. Если L — замкнутый контур, то этот интеграл определяет дверазличные регулярные функции внутри и вне L.

Если контур незамкнутый, тоF (z) регулярна вне L. В обоих случаях F (∞) = 0. Если z = ξ лежит на контуре,то мы имеем интеграл в смысле главного значения и можем переписать его ввиде1ω(ξ)1ω(τ )dτω(τ ) − ω(ξ)dτ =+dτ,2πiτ −ξ2πiτ −ξ2πiτ −ξLт. е.

в силу (161),12πiLLL11ω(τ )dτ = ω(ξ) +τ −ξ22πiω(τ ) − ω(ξ)dτ.τ −ξL(167)Считая сначала, что контур замкнутый, докажем теорему: если z стремитсяк некоторой точке ξ, лежащей на L, то интеграл (166) имеет предел11ω(τ )± ω(ξ) +dτ,(168)22πiτ −ξLпричем знак «+» берется, если z → ξ изнутри L, и знак «–», если z → ξизвне.

Разберем стремление изнутри. Интеграл (166) мы можем переписать ввидеω(ξ)11ω(τ )dτω(τ ) − ω(ξ)dτ =+dτ(169)2πiτ −z2πiτ −z2πiτ −zLили12πiLLL1ω(τ )dτ = ω(ξ) +τ −z2πiLω(τ ) − ω(ξ)dτ.τ −zИсследуем разность11ω(τ ) − ω(ξ)ω(τ ) − ω(ξ)dτ −dτ =2πiτ −z2πiτ −ξLL=12πiLω(τ ) − ω(ξ) z − ξ·dτ.τ −ξτ −z(170)29]Интегралы типа Коши145По обе стороны от точки ξ отложим дуги малой длины η. Образуемую этими дугами часть контура обозначим через L1 , а остальную часть — через L2 .Обозначая разность (170) одной буквой Δ, можем написать11ω(t) − ω(ξ) z − ξω(τ ) − ω(ξ) z − ξΔ=·dτ +·dτ.(171)2πiτ −ξτ −z2πiτ −ξτ −zL1L2Положим, что z стремится к ξ по нормали к контуру L. При этом расстояниеот z до ξ будет меньше, чем расстояние от z до других точек контура, т. е.|z − ξ| |τ − z|.

Кроме того, dτ = [x (s) + y (s)i]ds, причем |x (s) + y (s)i| = 1.Оценивая обычным образом первый из интегралов формулы (171), получимs0 +η 1 ω(τ ) − ω(ξ) z − ξ kds·dτ , 2πiτ −ξτ −z 2π|τ (s) − τ (s0 )|1−αs0 −ηL1где s = s0 соответствует точке τ = ξ. Принимая во внимание, что отношениедлины хорды |τ (s) − τ (s0 )| к длине дуги |s − s0 | стремится к единице, можемутверждать, что последний интеграл будет сходящимся, и, следовательно, прилюбом заданном положительном ε мы можем выбрать η настолько малым, чтобы модуль интеграла по L1 , был меньше ε/2. Закрепив таким образом η, мыбудем иметь уже обычный интеграл по L2 , в котором |τ − ξ| и |τ − z| остаютсябо́льшими некоторого положительного числа, а потому интеграл L2 будет помодулю меньше ε/2 при всех z, достаточно близких к ξ.

Ввиду произвольностиε мы можем утверждать, что разность (171) стремится к нулю при z → ξ понормали, т. е.11ω(τ ) − ω(ξ)ω(τ ) − ω(ξ)limdτ =dτz→ξ 2πiτ −z2πiτ −ξLили в силу (161)limz→ξ12πiLL1ω(τ ) − ω(ξ)dτ =τ −z2πiL1ω(τ )dτ − ω(ξ),τ −ξ2и формула (169) дает требуемый результат:111ω(τ )ω(τ )dτ = ω(ξ) +dτ.limz→ξ 2πiτ −z22πiτ −ξL(172)LВ случае стремления извне доказательство проводится буквально так же, только надо иметь в виду, что1, если z внутри L,1dτ=(173)2πiτ −z0, если z вне L.LДо сих пор мы предполагали, что z → ξ по нормали. Можно показать, чтоформула (172) сохранит свою силу и при любом стремлении z к ξ. Для этого достаточно показать, что при предельном переходе на контур по нормалиГл.

I. Основы теории функций комплексного переменного146[29стремление интеграла (166) к пределу (168) имеет место равномерно при всехзначениях ξ на контуре L. Ограничимся рассмотрением окружности |z| = 1.Пока считаем, что z → ξ по нормали. В данном случае τ = eiϕ , ξ = eiϕ0 иds = dϕ. Нетрудно показать, что если 0 x π/2, то sin x 2/π x. Пользуясьэтим, можно написать|ϕ − ϕ0 |2|τ − ξ| = 2 sin |ϕ − ϕ0 | (|ϕ − ϕ0 | < π),2πи модуль интеграла по L будет меньшеk2πϕ0 +ηϕ0 −ηkπ 1−α dϕ= 1−α α21−α |ϕ − ϕ0 |1−α2πϕ0 +ηϕ0kdϕ= 1−α α ηα .(ϕ − ϕ0 )1−α2π αНа контуре L2 , если z достаточно близка к ξ,11|τ − ξ| > sin η; |τ − z| > sin η; |ω(τ ) − ω(ξ)| 2M,22где M — наибольшее значение |ω(τ )| на L.

Полагая δ = |z − ξ|, получим 1 ω(τ ) − ω(ξ) z − ξ 1 8M δ8M δ·dτ (2π − 2η) 2πiτ −ξτ −z 2π sin2 ηsin2 ηL2и окончательноk8Mηα +δ.21−α π α αsin2 ηСначала выбирается η так, чтобы первое слагаемое было меньше ε/2, и затем при таком фиксированном η второе слагаемое будет меньше ε/2, еслиδ < (ε sin2 η) : (16M ). В эти оценки не входит ξ, и, следовательно, разность(171) стремится к нулю равномерно относительно ξ, когда z по радиусу стремится к окружности.

Следовательно, в формуле (172) предельный переход также имеет место равномерно относительно ξ. Отсюда следует, между прочим,что и правая часть формулы (172) и интеграл (166) представляют собой непрерывную функцию от ξ [I, 145]. В [27] мы упоминали о том, что эта функцияудовлетворяет условию Липшица.Обозначим правую часть формулы (172) через ω1 (ξ) и положим, что z → ξлюбым образом. Пусть ξ — переменная точка окружности, лежащая на одномрадиусе с z.

Очевидно, что ξ −ξ → 0 и |z −ξ | → 0. Пользуясь доказанным вышеутверждением о равномерности предельного перехода в (172) при стремленииz по радиусу к ξ, можем утверждать, что при любом заданном положительномε для всех z, достаточно близких к ξ, будем иметь 1 ω(τ )ε dτ − ω1 (ξ ) < . 2πiτ −z2|Δ| LС другой стороны, в силу непрерывности ω1 (ξ) для всех z, достаточно близкихк ξ, мы имеем |ω1 (ξ) − ω1 (ξ )| < ε/2, а потому 1 ω(τ )dτ − ω1 (ξ) < ε 2πiτ −zL29]Интегралы типа Коши147для всех z, достаточно близких к ξ.

Ввиду произвольности ξ это и показывает, что в формуле (172) предельный переход имеет место при любом законестремления z к ξ изнутри, и притом равномерно относительно ξ. Иначе говоря, мы можем утверждать, что функция F (z), определяемая интегралом (166)внутри окружности, будет непрерывной вплоть до окружности, причем ее предельные значения на окружности определяются формулой (172). То же самоесправедливо при стремлении извне.Это же свойство интеграла типа Коши может быть доказано и для любогозамкнутого контура L при указанных в [28] предположениях относительно x(s)и y(s).

Можно даже допустить, что L имеет конечное число угловых точек.Пусть M — угловая точка L, и положим, что при обходе по L против часовойстрелки направление касательной поворачивается в точке M на угол πθ, где−1 < θ < 1. При этом, как нетрудно видеть, в правой части формулы (161)вместо πi мы будем иметь (1 − θ)πi, и выражение (168) мы должны заменитьв точке M выражением1±θ1ω(τ )±ω(ξ) +dτ,22πiτ −ξLпричем одновременно надо брать верхние или нижние знаки.Если мы обозначим через Fi (ξ) и Fe (ξ) предельные значения на контуреL функций (166), определенных внутри и вне L, то доказанную выше теоремуможно записать в виде11ω(τ )Fi (ξ) = ω(ξ) +dτ,22πiτ −ξL(174)11ω(τ )dτ.Fe (ξ) = − ω(ξ) +22πiτ −ξLСовершенно аналогичную теорему можно доказать и для случая незамкнутогоконтура.

Ограничимся рассмотрением конечного отрезка (a, b) вещественнойоси:b1ω(t)F (z) =dt.(175)2πit−zaЕсли ω(t) тождественно равна единице, то вместо формулы (168) будемиметьb11b−zdt=ln,(176)2πit−z2πia−zaгде мы должны брать то значение логарифма, которое обращается в нуль приz = ∞. Если ξ лежит внутри отрезка (a, b), то вместо формулы (161) будемиметьb11b−ξdt=ln,2πit−ξ2πiξ−aa148Гл.

I. Основы теории функций комплексного переменного[29где значение логарифма берется вещественным. Повторяя буквально прежнеерассуждение, получимlimz→ξ12πibabω(ξ)b − z 1b−ξω(t)ω(t)dt =ln+dt.−lnt−z2πia − z z→ξξ−a2πit−ξaФункция (176) имеет разные пределы при стремлении z к ξ сверху или снизуотрезка (a, b), а именно:b − z b−ξ± πi,ln= lnz − a z→ξξ−aгде верхний знак относится к случаю стремления сверху, т. е.

от значений сположительной мнимой частью, а нижний знак — к случаю стремления снизу. При интегрировании от a до b верхняя полуплоскость находится с левойстороны, и стремление z к ξ сверху аналогично стремлению изнутри в случаезамкнутой кривой. Точно так же стремление z к ξ снизу аналогично стремлению извне в случае замкнутой кривой. Обозначая через Fi (ξ) и Fe (ξ) предельные значения функции (175) при стремлении z к ξ сверху и снизу, будем иметьформулы, аналогичные формулам (174):Fi (ξ) =11ω(ξ) +22πiba11Fe (ξ) = − ω(ξ) +22πiω(t)dt,t−ξba(177)ω(t)dt.t−ξЕсли ω(t) удовлетворяет на отрезке условиям, указанным в конце [28], а вблизиконцов имеет вид (160), то для точек z, близких к концам отрезка, имеют местоследующие предложения (см.

Характеристики

Список файлов книги