1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 22
Текст из файла (страница 22)
I. Основы теории функций комплексного переменного[2525. Ряд Тейлора на окружности круга сходимости. Рассмотрим ряд Тейлора∞ak (z − b)k(138)k=0с радиусом сходимости R. Полагая z − b = ρeiϕ , можем написатьряд (138) в виде∞ak ρk eikϕ(139)k=0или∞ak (cos kϕ + i sin kϕ)ρk .k=0Этот ряд по условию будет сходящимся при ρ < R. Что жекасается ρ = R, т.
е. самой окружности круга сходимости, то в этомслучае ничего определенного сказать о сходимости нельзя. Если мывозьмем, например, ряд1 + z + z2 + . . .(140)с радиусом сходимости R = 1, то на самой окружности круга сходимости, т. е.
при |z| = 1, модули всех членов ряда будут равныединице, и ряд будет, очевидно, расходиться на всей окружностикруга сходимости. В качестве противоположного примера рассмотрим рядzz21 + 2 + 2 + ...(141)12Для этого ряда отношение модулей последующего члена кпредыдущему будет n+1 n 2 z zn: =|z|, (n + 1)2 n2 n+1и это отношение будет стремиться к |z|, а следовательно в силу признака Даламбера радиус сходимости этого ряда будет также единица.
Подставляя z = eiϕ , получим ряд, модули членов которого будутравны положительным числам 1/n2 , образующим сходящийся ряд,25]Ряд Тейлора на окружности круга сходимости129т. е. ряд (141) сходится абсолютно и равномерно не только внутри круга сходимости, но и во всем замкнутом круге, включая егоокружность. Мы видим, таким образом, что в вопросе сходимостистепенного ряда на окружности круга сходимости обстоятельствамогут быть весьма разнообразными.Выше мы видели, что дифференцирование и интегрированиестепенного ряда не меняют круга сходимости. Но эти операции могут весьма существенным образом сказаться на сходимости этогоряда на контуре круга сходимости.
Так, например, интегрируя двараза ряд (140), получим рядz2z3z4+++ ...,1·2 2·3 3·4который, как и ряд (141), абсолютно и равномерно сходится во всемзамкнутом круге.Отметим одну теорему, которая касается суммы степенного ряда, если он сходится на окружности круга сходимости. Совершенноаналогичную теорему для случая вещественного переменного мыдоказали раньше [I, 149] и здесь не будем останавливаться на доказательстве и формулируем лишь результат.В т о р а я т е о р е м а А б е л я.
Если степенной ряд (138) сходится в некоторой точке z − b = Reiϕ0 окружности круга сходимости, то он сходится равномерно на всем радиусе arg(z −b) = ϕ0 .Отсюда непосредственно следует, что сумма ряда есть непрерывнаяфункция на всем упомянутом радиусе, т. е. что значение суммы ряда в точке окружности Reiϕ0 равно пределу, к которому стремятсявнутренние значения суммы ряда при приближении к точке Reiϕ0изнутри по радиусу. На этой теореме основано простое определениесумм некоторых тригонометрических рядов.Рассмотрим один пример. Заменим в разложенииz2z3z4z−+−+ ...1234z на (−z) и вычтем полученный ряд из предыдущего.
Таким образом получитсяразложение1+zz3z5zln=2+++ ...(142)1−z135ln(1 + z) =130Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[25с кругом сходимости |z| < 1. Положимв этом разложении z = eiϕ и отделимвещественную часть от мнимой:cos 3ϕcos 5ϕcos ϕ+++ ... +2135sin 3ϕsin 5ϕsin ϕ+++ ... .+i2135Можно показать, на чем мы не останавливаемся, что оба написанных тригонометрических ряда сходятся, еслиϕ отлично от kπ (k = 0, ±1, ±2, . . .).Определим суммы этих рядов, исходя изформулыРис. 25.ln1+z|1 + z|1+z= ln+ i arg.1−z|1 − z|1−zИз рис.
25 непосредственно получаем при z = eiϕ|1 + z| = дл. M A = 2 cos (ϕ/2),|1 − z| = дл. M A = 2 sin (ϕ/2)(0 < ϕ < π).Аргумент дроби (1 + z)/(1 − z) равен углу, образованному вектором M A свектором M A, причем при z = 0 (векторы M A и M A совпадают с векторомOA) сумма ряда (142) равна нулю, и упомянутый угол надо считать равнымнулю. При M → eiϕ точка M стремится к (−eiϕ ), и при совпадении M с eiϕуказанный угол равен π/2 (он опирается на диаметр). Мы определили, такимобразом, сумму вышенаписанных рядов:cos 3ϕϕcos ϕ++ ...ln ctg = 2213 (0 < ϕ < π),sin 3ϕπsin ϕ=2++ ...
.213Отметим еще одно обстоятельство, связанное с представлениемтригонометрического ряда в виде (139). Отделим у коэффициентовak вещественную и мнимую части: ak = αk − iβk . Подставляя вформулу (139) и отделяя у всей суммы вещественную и мнимуючасти, мы получим формулу видаf (z) =∞(αk cos kϕ + βk sin kϕ)ρk +k=0+i∞(−βk cos kϕ + αk sin kϕ)ρk . (143)k=026]Дополнительные сведения о формуле Коши131Второй тригонометрический ряд отличается от первого лишьтем, что коэффициенты при cos kϕ и sin kϕ переставлены, причему коэффициента, который стоял при sin kϕ, изменен знак.
Обычновторой тригонометрический ряд называется сопряженным с первым.26. Дополнительные сведения о формуле Коши. Используя интегралЛебега, можно получить простые законченные результаты о предельных значениях функций, регулярных в некоторой области, на границе l этой области,и об условиях применимости формулы Коши. Напомним и уточним понятия,связанные с границей. В [5] мы определили простую замкнутую кривую. Еслив параметрическом представлении такой кривой ограничиться лишь предположением в непрерывности функций x(t) и y(t), то соответствующая кривая называется замкнутой кривой Жордана. Строго доказывается, что такая криваяl является границей двух областей плоскости, из которых одна лежит внутрии другая вне l. Мы будем сейчас предполагать, что l есть гладкая кривая, такчто ее уравнение может быть записано в виде x = x(s), y = y(s), где s — длина дуги l, отсчитываемая от некоторой фиксированной точки вдоль l [4].
Еслиω(z ) есть какая-либо функция, заданная на l, то ее можно рассматривать, какфункцию ω[x(s)+ iy(s)] от s, заданную на промежутке 0 s L, где L — длинаl. Контурный интеграл по l сводится к интегралу по s:lω(z )dz =Lω[x(s) + iy(s)][x (s) + iy (s)]ds,(144)0где|x (s) + iy (s)| =x2 (s) + y 2 (s) = 1.(145)ω(z )Отделяя в ω[x(s) + iy(s)] вещественную и мнимую части:= u(s) + iv(s),мы получим два вещественных интеграла, и интеграл (144) будет иметь смысл,если u(s) и v(s) измеримы и суммируемы на промежутке 0 s L. Отметим,что x (s) и y (s) по условию непрерывны и в силу сказанного выше удовлетворяют неравенствам |x (s)| 1 и |y (s)| 1.
Таким образом, при сделанныхвыше предположениях мы определили контурный интеграл (144) по l. Сказанное, естественно, сохраняется и в случае незамкнутых кривых. Это относится, вчастности, и к интегралам типа Коши. Пусть B — область, находящаяся внутри замкнутой кривой l, и f (z) — функция, регулярная внутри B. Определимстрого понятие предельного значения f (z) в какой-либо точке z0 на l.
Кратко говоря, речь будет идти о том, что при определении предельного значениямы должны исключить стремление z к z0 из B по путям, касательным к l вточке z0 . Пусть n0 — направление внутренней нормали к l в точке z0 , т. е. тонаправление, которое в окрестности z0 принадлежит B. Пусть α̂ — угол, с вершиной z0 , растворения меньше π, биссектрисой которого является внутренняянормаль n0 .
Если f (z) имеет определенный предел при стремлении z к z0 во132Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[26всех углах указанного типа, то этот предел f (z0 ) называют обычно угловымпредельным значением f (z) в точке границы z0 .Положим, что f (z) имеет везде или «почти везде» на l угловые предельныезначения f (z0 ). Термин «почти везде» на l обозначает почти везде на промежутке 0 s L. Напомним, что точкам z на l соответствуют s из указанного промежутка (значениям s = 0 и s = L соответствует одна и та жеточка на l, что несущественно). Положим, далее, что эти предельные значенияf (z ) = f [x(s) + iy(s)] — суммируемая функция по s на промежутке 0 s L.При этом нельзя утверждать, что f (z) выражается через свои предельные значения по формуле Коши.
Для того чтобы это имело место, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:f (z )z k dz = 0 (k = 0, 1, 2, . . .).(146)lМожно при этом исходить не от функции, регулярной внутри B, а от функции f (z ), заданной на l и удовлетворяющей условиям (146). Сформулируемсоответствующую теорему.Т е о р е м а 1. Если l — гладкая кривая и f (z ) — заданная на l суммируемая функция, то условия (146) необходимы и достаточны для того, чтобысуществовала регулярная внутри B функция f (z), угловые предельные значения которой на l совпадают почти везде на l с f (z ) и которая представимаформулой Коши1f (z ) f (z) =dz (z из B).(147)2πiz − zlОтметим, что при условиях (146) интеграл, стоящий в правой части формулы (147), равен нулю, если z находится вне B.
Условия (146) связаны с функцией f (z ), определенной на l. Естественно, возникает вопрос об условиях, накладываемых на значения регулярной внутри B функции f (z), при которых f (z)имеет везде или почти везде на l угловые предельные значения и выражаетсячерез них по формуле Коши (147). Достаточным условием этого является ограниченность f (z) в B, т. е. существование такого числа M > 0, что |f (z)| Mдля всех z из B. В случае, если B есть круг |z| < 1, необходимое и достаточное условие состоит в ограниченности интегралов от |f (z)| по концентрическимокружностям |z| = r (0 < r < 1, т.
е.) в существовании такого числа M > 0, что2π|f (reiϕ )|dϕ M.0Можно доказать, что эти интегралы возрастают при возрастании r. Для любойобласти с гладкой границей имеет место следующая теорема.Т е о р е м а 2. Для того чтобы функция f (z), регулярная внутри B, имелавезде или почти везде на l угловые предельные значения f (z ), суммируемыена l, и выражалась через них по формуле Коши, необходимо и достаточно существование внутри B последовательности таких гладких замкнутых контуров27]Главное значение интегралаln , стремящихся к l, что|f (z )|ds M,133(148)lnгде M — определенное число (не зависит от n).Стремление ln к l состоит в следующем: любая замкнутая область, лежащая внутри B, находится внутри всех ln , начиная с некоторого номера n. Вдальнейшем будет показано, что область B может быть бесчисленным множеством способов конформно преобразована в круг |z| < 1 единичного радиуса, ив качестве линий ln можно брать линии, которые при каком-либо из указанныхконформных преобразований переходят в окружности |z| = r (0 < r < 1).
Еслина таких линиях условие (148) не выполнено, то не существует последовательности ln , на которой оно выполнено.Выше мы предполагали, что граница l — гладкая кривая. Достаточно предположить, что это — кусочно гладкая кривая [4]. При этом в отдельных точкахможет и не существовать касательной.Гораздо более общим предположением, при котором все сказанное вышеимеет место, является предположение, что l есть спрямляемая кривая Жордана. Определим точно это понятие. Пусть x = x(t), y = y(t) — параметрическоепредставление замкнутой кривой Жордана и α t β — какая-либо часть всего промежутка a t b (или весь этот промежуток), соответствующего параметрическому представлению. Промежутку α t β соответствует некотораядуга λ кривой l.
Произведем какое-либо разбиение указанного промежутка начасти:α = t0 < t1 < t2 l < . . . < tn−1 < tn = β,что даст некоторое разбиение дуги λ на части. Проводя через точки деленияломаную, будем иметь для ее длины выражениеσ=n−1|z(tk+1 ) − z(tk )|(z(ts ) = x(ts ) + iy(ts )).k=0Величина σ зависит от способа разбиения промежутка. Если множество значений σ при всевозможных способах разбиения имеет конечную точную верхнююграницу [I, 42], то эта граница называется длиной дуги λ. Если любая дуга λимеет в указанном смысле длину, то кривая l называется спрямляемой кривойЖордана, и для нее в этом случае можно в качестве параметра взять длину дуги s, отсчитываемую от какой-либо ее определенной точки: x = x(s), y = y(s),как это мы делали для гладкой кривой. При этом почти везде на промежутке0 s L, где L — длина всей кривой l, существуют производные x (s) и y (s),удовлетворяющие соотношению x2 (s) + y 2 (s) = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
