1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 19
Текст из файла (страница 19)
е. ряд, расположенный по целым положительным степеням (z − α). Этот ряд может быть перестроенпо целым положительным степеням (z − β), где β — любая точка изокрестности точки z = α, т. е. элемент в точке z = α дает и элементы во всех точках, достаточно близких к α.
Каждому такомуэлементу мы сопоставляем точку z, являющуюся центром соответственного круга сходимости степенного ряда (элемента). Упомянутому элементу с центром z = α мы сопоставляем именно эту точкуα. Тем элементам, которые из него получаются в близких точкахz = β, мы сопоставляем точки z = β, принадлежащие окрестностиz = α.
Совершая аналитическое продолжение, мы получаем все новые и новые элементы, а тем самым — все новые и новые точки zримановой поверхности. Если при возвращении в точку z = α получится элемент функции, который уже имелся раньше, то мы отождествим ее с прежней точкой z = α. Если же при аналитическомпродолжении при возвращении в точку z = α получим аналитический элемент (ряд, расположенный по целым неотрицательным степеням (z − α)), отличный от исходного, то полученная точка z = αсчитается отличной от исходной.
Значения функции и ее нескольких последовательных производных могут и совпадать в этих точках z = α. Речь идет о различии ряда Тейлора, рассматриваемого вцелом. Как мы указывали выше, можно совершать аналитическоепродолжение через полюс и бесконечно далекую точку. На полученной таким образом римановой поверхности полученная аналитическим продолжением функция однозначна. К этой поверхностипричисляют полюсы и точки разветвления конечного порядка регулярного или полярного типа.
В этих последних точках функцияимеет определенное конечное или бесконечное значение.Кратко говоря, аналитическое продолжение создает римановуповерхность. Полная полученная таким образом поверхность может состоять из бесчисленного множества листов. Заметим, чториманова поверхность аналитической функции f (z), естественно,не всегда может быть получена путем преобразования плоскости wпри помощи однозначной функции z = ϕ(w), как это имело местов простейших примерах из [19].110Гл.
I. Основы теории функций комплексного переменного[21Отметим, что мы лишь в самых общих чертах коснулись понятия римановой поверхности многозначной аналитической функции.Строгое изложение можно найти, например, в книгах: Weyl H., DieIdee der Riemannschen Fläche. Leipzig, 1913; Гурвиц А., Курант Р.,Теория функций.
М.: Наука, 19683 .В заключение настоящего пункта обратим внимание на то, чтопри аналитическом продолжении особые точки могут быть и неизолированными. Например, может случиться, что исходный степенной ряд непродолжим, т. е. что всякая точка окружности его кругасходимости является особой точкой. Примером такого непродолжимого степенного ряда является ряд∞z n! = z + z 1·2 + z 1·2·3 + .
. . ,n=1радиус сходимости которого равен единице.21. Теорема вычетов. Вернемся опять к разложению функции в ряд Лорана вблизи особой точки (полюса или существенноособой). В таком разложении мы выделили особо коэффициент при(z − b)−1 и дали ему особое название вычета функции в рассматриваемой особой точке. Выясним роль этого коэффициента. Итак,пусть имеется в окрестности точки b разложениеf (z) =+∞ak (z − b)k .k=−∞Проинтегрируем написанную формулу по какому-либо небольшомузамкнутому контуру l0 , окружающему точку b, на котором написанное разложение равномерно сходится:f (z)dz =l0+∞k=−∞(z − b)k dz.akl03 Также можно указать книгу Ю. В.
Сидорова, М. В. Федорюк, М. И. Шабунина «Лекции по теории функций комплексного переменного» (М.: Наука,1982, 1989).21]Теорема вычетов111Как мы видели выше [6], все интегралы, стоящие справа, будутравны нулю, кроме одного, соответствующего случаю k = −1, иэтот интеграл будет равен 2πi, т. е. мы имеемf (z)dz = a−1 · 2πi.l0Рассмотрим теперь более общий случай. Положим, что f (z) регулярна в некоторой замкнутой области B с контуром l, за исключением конечного числа точек b1 , . .
. , bm , лежащих внутри областии являющихся для функции полюсами или существенно особыми(s)точками. Обозначим через a−1 (s = 1, . . . , m) вычеты в этих особыхточках. Выделим каждую из особых точек небольшим замкнутымконтуром ls . Согласно теореме Коши можем написатьf (z)dz =m s=1 llf (z)dz.sНо, как мы видели выше, величина интеграла по каждому из(s)контуров ls равна a−1 · 2πi, и, следовательно, предыдущее равенство выражает нам величину интеграла по контуру области черезвычеты функции в особых точках, лежащих внутри области:f (z)dz = 2πilm(s)a−1 .(114)s=1Т е о р е м а в ы ч е т о в.
Если функция регулярна в замкнутойобласти, за исключением конечного числа точек, лежащих внутри области (полюсы или существенно особые точки), то интегралот функции по контуру области равен произведению 2πi на суммувычетов в указанных особых точках.В дальнейшем мы будем иметь многочисленные примененияэтой теоремы. Пока установим только некоторые теоретическиеследствия из доказанной теоремы, необходимые нам в дальнейшем.Прежде всего дадим практические правила вычисления вычета, непользуясь разложением функции в ряд Лорана.112Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[21В качестве первого примера возьмем функцию, имеющую видϕ(z),ψ(z)f (z) =(115)где ϕ(z) и ψ(z) регулярны в точке b и ψ(b) = 0, так что функция(115) имеет, вообще говоря, в точке b полюс.
Положим, кроме того,что z = b является простым корнем ψ(z), т. е. что разложение в рядТейлора функции ψ(z) начинается с члена первой степени:ψ(z) = c1 (z − b) + c2 (z − b)2 + . . . (c1 = 0).При этом функция (115) будет иметь простой полюс (первой кратности) и вблизи z = b:f (z) =ϕ(b) + ϕ (b)/1!(z − b) + . . ..(z − b)[c1 + c2 (z − b) + . . .]Из последней формулы непосредственно следует, что для вычета a−1 можно написатьa−1 = f (z)(z − b)|z=b =ϕ(b)c1или, принимая во внимание, что c1 равно ψ (b),a−1 =ϕ(b).ψ (b)(116)В качестве второго примера рассмотрим случай, когда функцияf (z) имеет в точке b полюс любого порядка m:f (z) =∞ak (z − b)k .k=−mПроизведение f (z)(z − b)m будет уже регулярной функцией в точкеb, и коэффициент a−1 будет для этого произведения коэффициентом при (z −b)m−1 , откуда, вспоминая выражение коэффициентов в22]Теоремы о числе корней113ряде Тейлора, будем иметь для вычета нашей функции следующеевыражение:a−1 =dm−11[f (z)(z − b)m ]|z=b .(m − 1)! dz m−1(117)Рассмотрим еще один пример.
Положим, что f (z) имеет в точкеb корень порядка m, т. е. ряд Тейлора нашей функции с центром bначинается с члена, содержащего (z − b)m . При этом наша функциябудет иметь вблизи точки b представлениеf (z) = (z − b)m ϕ(z)(ϕ(b) = 0),(118)где ϕ(z) регулярна в b и отлична от нуля. Составим логарифмическую производную нашей функции:f (z)mϕ (z)=+.f (z)z−bϕ(z)(119)Отсюда непосредственно видно, что точка b является простым полюсом для логарифмической производной, с вычетом, равным порядку корня самой функции f (z). Если в точке b наша функцияf (z) имеет не корень, а полюс кратности m, то точно так же имеет место формула (118), но в ней m следует заменить на (−m) ивсе последующие вычисления также сохраняются, т. е.
если в некоторой точке функция имеет полюс некоторой кратности n, то еелогарифмическая производная имеет в этой точке простой полюс свычетом (−n).22. Теоремы о числе корней. Положим, что f (z) регулярнав замкнутой области B с контуром l и на контуре не обращается внуль.
Пусть внутри области она имеет корни b1 , . . ., bm , кратностиk1 , . . . , km . Ее логарифмическая производная будет иметь в этихточках bs простые полюсы с вычетом ks , и теорема вычетов даетнам 1f (z)dz = k1 + k2 + . . . + km .(120)2πif (z)lЕсли считать всякий кратный корень столько раз, сколько единицв его кратности, то стоящая справа сумма дает общее число корней114Гл.
I. Основы теории функций комплексного переменного[22нашей функции внутри области, т. е. при наших предположенияхотносительно функции f (z) интеграл, стоящий слева, дает числокорней функции, заключающихся внутри контура l.Подынтегральная функция в этом интеграле имеет, очевидно,первообразную функцию ln f (z), и мы получим величину интеграла, определив приращение этой первообразной функции, котороеона получает при обходе контура l. При этом нужно рассматривать однозначную ветвь этой функции, что сводится, как мы знаем, к тому, чтобы при обходе контура l следить за непрерывнымизменением аргумента f (z), причемln f (z) = ln |f (z)| + i arg f (z).После обхода контура ln |f (z)| вернется к прежнему значениюи никакого приращения не получит, и, следовательно, общее приращение нашей первообразной функции будет равно произведениюi на приращение, получаемое аргументом arg f (z).
Согласно формуле (120), мы должны еще разделить приращение первообразнойфункции на 2πi и получаем окончательно следующий результат:Т е о р е м а К о ш и. Если f (z) регулярна в замкнутой области B и отлична от нуля на контуре l этой области, то числокорней этой функции внутри области равно изменению аргумента функции при обходе контура, деленному на 2π, или, иначе говоря, равно упомянутому изменению аргумента, выраженному вдолях 2π.Доказанная теорема представляется совершенно очевидной дляслучая полиномов. Возьмем для примера полином третьей степени,представим его в виде, разложенном на множители первой степени:a0 + a1 z + a2 z 2 + a3 z 3 = a3 (z − b1 )(z − b2 )(z − b3 ).Положим, что корни b1 и b2 находятся внутри контура l, а кореньb3 — вне этого контура l.
Всякой разности (z − bk ) соответствуетвектор, идущий из bk в z. При обходе точкой z контура l аргументы векторов (z − b1 ) и (z − b2 ) получат, очевидно, приращение 2π,а аргумент вектора (z − b3 ) не изменится. Таким образом, общееприращение аргумента для функции будет 4π (аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей), или в долях 2π этоприращение будет равно 2, т. е. как раз числу корней внутри l.22]Теоремы о числе корней115Установим еще одну теорему, касающуюся числа корней регулярной функции и являющуюся непосредственным следствием теоремы Коши.
Пусть, как и раньше, f (z) регулярна в замкнутой области и на контуре отлична от нуля. Положим, что имеется ещефункция ϕ(z), регулярная в замкнутой области, значение которойна контуре l по модулю меньше значений f (z), т. е.|ϕ(z)| < |f (z)| наl.(121)Заметим, что при наличии этого условия f (z) не может, очевидно, обращаться в нуль на l. Будем рассматривать две функции:f (z) и f (z) + ϕ(z).(122)Обе они удовлетворяют условиям теоремы Коши. Для первой изних это уже указано, а что касается второй, то она не может наконтуре обращаться в нуль в силу условия (121).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
