1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Таким образом, на кривой l должна существовать некоторая точка d, обладающая тем свойством, что на всемучастке bd наша функция равна нулю, а на участке dc есть точки,сколь угодно близкие к d, в которых наша функция от нуля отлична. Регулярная функция является в то же время и непрерывной, и,следовательно, в самой точке d она должна иметь корень. Но этоткорень оказывается не изолированным, ибо вся дуга bd кривой lсостоит из корней нашей функции. Но тогда из наших предыдущих рассуждений следует, что разложение в ряд Тейлора нашейфункции с центром d должно обращаться тождественно в нуль, и,следовательно, наша функция должна быть равной нулю в некотором круге с центром d, т.

е. она должна равняться нулю и нанекотором участке кривой, примыкающем к точке d и составляющем часть участка dc. Это обстоятельство противоречит тому свойству точки d, что на участке dc есть точки, сколь угодно близкие кd, где f (z) отлична от нуля.

Таким образом, высказанная теоремадоказана.18]Аналитическое продолжение87З а м е ч а н и е. При доказательстве теоремы можно было быограничиться требованием, что f (z) обращается в нуль на некоторой кривой, лежащей внутри B. При этом функция должна былабы, очевидно, обращаться в нуль и в некотором круге, имеющемцентр в одной из точек упомянутой кривой.Достаточно даже предположить, что корни f (z) имеют точкусгущения внутри B, т. е.

существует такая точка b внутри B, чтов круге с центром b и любым малым радиусом находится бесчисленное множество корней f (z). При этом в силу предыдущих соображений ряд Тейлора f (z) с центром b должен был бы обратитьсятождественно в нуль, т. е. f (z) была бы равной нулю в некоторомкруге с центром b, т. е. была бы равна нулю везде в B.С л е д с т в и е.

Положим, что две функции f1 (z) и f2 (z), регулярные внутри B, совпадают на некотором куске этой области βили на некоторой кривой. При этом разность должна быть равнойнулю в β, и, согласно доказанной теореме, она будет равной нулюи во всей области, т. е. если две функции, регулярные в некоторой области, совпадают в некоторой части этой области (или накривой), то они совпадают и во всей области.Положим, что у наших двух функций совпадают их значения изначения всех их производных в некоторой одной точке b областиB. При этом будут совпадать и их разложения в ряд Тейлора с центром в b, т.

е. наши функции будут совпадать в некотором круге сцентром b, а потому будут совпадать и во всей области, т. е. совпадение значений функций и всех производных в некоторой однойточке влечет за собой совпадение функций во всей области,где эти функции регулярны.Обратимся теперь к вопросуоб аналитическом продолжении.Пусть f1 (z) регулярна в области B1 , и положим, что нам удалось построить новую областьB2 , имеющую с B1 общую частьB1,2 (тоже область; рис. 11), иРис. 11.определить в области B2 регулярную функцию f2 (z), совпада-88Гл. I.

Основы теории функций комплексного переменного[18ющую с f1 (z) в B1,2 . Можно назвать f2 (z) непосредственным аналитическим продолжением f1 (z) из B1 в B2 , через B1,2 . Функция,определенная в B1 , как f1 (z), и в B2 , как f2 (z), дает единую регулярную функцию во всей расширенной области. Покажем, что неможет существовать двух различных аналитических продолжений.Действительно, положим, что мы имеем два различных аналитических продолжения f1 (z) из B1 в B2 через B1,2 .

Эти две функции(1)(2)f2 (z) и f2 (z), регулярные в B2 должны совпадать с f1 (z), а следовательно, и между собой в B1,2 . Но тогда в силу доказанноговыше они совпадают и во всей области B2 , т. е. дают одно и то жеаналитическое продолжение.Положим, мы имеем теперьцелую цепь областей B1 , B2 , B3 ,. . .

, причем B1 и B2 имеют общую часть B1,2 , B2 и B3 имеют общую часть B2,3 и т. д. Вобласти B2 имеется регулярнаяфункция f2 (z) совпадающая сf1 (z) в B1,2 . В области B3 имеется регулярная функция f3 (z),совпадающая с f2 (z) в B2,3 , ит. д. Здесь мы имеем аналитическое продолжение f1 (z) при помощинашей цепи областей, иРис. 12.это аналитическое продолжениеединственно.

Заметим, что, вообще говоря, области Bs могут налегать друг на друга и помимо тех частей Bk,k+1 , о которых мы упоминали выше. Рассмотрим для примера цепь, состоящую из трехобластей B1 , B2 и B3 , и положим, что B3 налегает на B1 (рис. 12).На этом налегающем куске, заштрихованном на чертеже, значенияf1 (z), определенные в B1 , и значения f2 (z), определенные в B3 , могут быть и различными. При этом будем иметь при аналитическомпродолжении многозначную функцию. Но мы можем геометрически избегнуть многозначности, а именно, если на заштрихованномкуске значения f1 (z) и f3 (z) различны, то будем считать, что этотзаштрихованный кусок состоит как бы из двух листов: одного, принадлежащего B1 , и другого, принадлежащего B3 .18]Аналитическое продолжение89Факт многозначности может встретиться уже при первом шагеаналитического продолжения. Положим, мы имеем аналитическоепродолжение f1 (z) из B1 и B2 через B1,2 (рис.

13), но B2 имеетс B1 еще общую часть β. На βзначения f2 (z) могут и не совпадать со значениями f1 (z). Совокупность всех значений, получаемых при помощи всевозможныханалитических продолжений исходной функции f1 (z), образует единую функцию, которуюназовем аналитической функцией и обозначим через f (z). Какмы уже упоминали, эта функцияf (z) может оказаться и многоРис. 13.значной.Часто вместо аналитического продолжения при помощи цепиобластей говорят об аналитическом продолжении вдоль некоторой кривой. Пусть имеется некоторая линия l, разделенная на последовательные участки: P1 Q1 , P2 Q2 , . . ., Pn Qn , так что участокPk Qk имеет с участком Pk+1 Qk+1 общую часть Pk+1 Qk (рис. 14).Положим, что эта кривая l покрыта цепью областей B1 , B2 , .

. .,Bk , . . ., так что участок Pk Qk находится внутри Bk . Обозначимчерез Bk,k+1 область, по которойперекрываются Bk и Bk+1 и которая содержит участок Pk+1 Qkлинии l. (Областей, по которымперекрываются Bk и Bk+1 , может быть несколько или дажебесчисленное множество, но мыберем именно ту из этих областей, которая содержит Pk+1 Qkвнутри себя.) Как указано нарис. 14, мы считаем, что области Bk и Bk+1 имеют общую одРис. 14.90Гл. I.

Основы теории функций комплексного переменного[18носвязную часть, содержащую отрезок Pk+1 Qk линии l. Положим, что в B1 имеется регулярная функция f1 (z) и что ее можно аналитически продолжить при помощи цепи областей B1,2 ,B2,3 , . . . , Bn−1,n . Вместо этого говорят, что f1 (z) можно продолжить вдоль линии l. Значения функции на участке P1 Q1 , (и вокрестности этого участка) нам заданы, и, применяя основнуютеорему настоящего номера, мы убедимся, как и выше, в том,что аналитическое продолжение вдоль l может быть только одно.

Оно не зависит от того, как мы разбили l на участки и какими областями с указанными выше свойствами мы покрываемлинию l.Вернемся к аналитическому продолжению вдоль l при помощиопределенной цепи областей Bk . В окрестности каждой точки линии l аналитическая функция f (z) будет иметь определенное представление в виде ряда Тейлора. Назовем этот ряд элементом функции в соответствующей точке линии l. Если мы немного деформируем линию l, оставляя неизменными концы P1 и Qn , то она невыйдет из областей Bk , и тот элемент функции f (z), который мыимеем в точке Qn , останется прежним.

Отсюда нетрудно видеть,что если вообще, сохраняя концы кривой P1 и Qn , будем ее непрерывно деформировать, причем в любом ее положении возможноаналитическое продолжение исходного элемента в точке P1 вдольлинии, то полученный в результате аналитического продолжения элемент в точке Qn будет все время одним и тем же.Положим, что при аналитическом продолжении вдоль некоторой кривой l от точки P1 мы можем совершить продолжение лишьдо некоторой точки C, а дальше аналитическое продолжение вдольэтой кривой невозможно. При этом точка C называется особой точкой нашей функции.

Отметим только одно существенное обстоятельство, а именно: если бы мы при аналитическом продолжениииз точки P1 в точку C совершили это продолжение не вдоль кривой l, а вдоль некоторой другой кривой l1 , то при этом точка Cмогла бы и не оказаться особой, т. е., вообще говоря, особая точка определяется не только своим положением на плоскости, но итем путем, которым мы к ней пришли, совершая аналитическоепродолжение (см. пример из [19]). В дальнейшем мы почти всегдабудем иметь дело с более простым случаем, когда положение осо-18]Аналитическое продолжение91бых точек может быть фиксировано заранее и не связано с путеманалитического продолжения.В непосредственной связи с предыдущим стоит одна важная втеории аналитического продолжения теорема, которая называетсятеоремой однозначности.Если аналитическое продолжение некоторого исходного элемента функции возможно по любому пути, лежащему в некоторой односвязной области B, то эти аналитические продолжениявдоль путей, принадлежащих B, дают однозначную в B функцию.Действительно, пусть исходный элемент функции определен вокрестности некоторой точки P1 и возьмем два различных пути l1и l2 аналитического продолжения из P1 в Qn .

Ввиду односвязностиобласти мы можем при помощи непрерывной деформации преобразовать контур l1 в контур l2 , не покидая области B, и при этом, согласно условию теоремы однозначности, аналитическое продолжение вдоль контура будет все время осуществимо. Но при этом, какмы упоминали выше, и окончательный результат в точке Qn будетодним и тем же, т. е. наши различные пути аналитического продолжения приводят к одному и тому же окончательному результату,и мы действительно имеем в области B однозначную регулярнуюфункцию.Проведенное выше рассуждение не является строгим. Вообщевыше мы ограничивались часто лишь простыми указаниями, невдаваясь в подробные доказательства.

Характеристики

Список файлов книги