1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Обозначим эту сумму через ϕ(z):∞ϕ(z ) 1dz .uk (z) = ϕ(z) =(54)2πiz − zk=1lЗаметим, что из доказанной выше равномерной сходимости ряда (51) во всей замкнутой области B следует, что ϕ(z) будет непрерывной в замкнутой области B, и формула (54) представляет собоюпросто формулу Коши для этой функции ϕ(z).Остается только доказать возможность почленного дифференцирования ряда (51) сколько угодно раз. Для этого помножим (53)наm!1,2πi (z − z)m+1где m — некоторое целое положительное число, и проинтегрируемпо l:m!ϕ(z )dz =2πi(z − z)m+1lu1 (z )u2 (z )m!m!dz+dz + .
. .=2πi(z − z)m+12πi(z − z)m+1llB силу формулы Коши и формулы (54) можем записать последнее выражение в виде(m)(m)ϕ(m) (z) = u1 (z) + u2 (z) + . . . ,(55)что и доказывает возможность почленного дифференцирования ряда m раз внутри области. В следующем номере мы применим эту12]Теорема Вейерштрасса61теорему к рядам частного типа, с которыми и будем иметь почтиисключительно дело в дальнейшем, а именно к степенным рядам.З а м е ч а н и е 1. Пользуясь обычной оценкой интегралов,нетрудно убедиться, что ряд (55), составленный из производных,равномерно сходится во всякой области B1 , которая вместе сосвоим контуром лежит внутри B.
Образуем для ряда (55) обычное выражениеn+p (m)uk (z).k=nПользуясь представлением производной по формуле Коши, получимn+pn+p (m)1m!uk (z) =uk (z )dz .m+12πi(z − z)k=nk=nlПусть δ — кратчайшее расстояние от контура l1 области B1до контура l (рис. 7). Применяяк написанному интегралу обычную оценку, получим n+p (m) uk (z) k=n n+pm!S · max uk (z ),m+1l2πδk=nгде S — длина контура l. Ввиду равномерной сходимости рядаРис. 7.(53), последний множитель правой части будет сколь угодно малым при больших n, что и даетравномерную сходимость ряда (55). Так же нетрудно показать, чтоесли B — односвязная область, то ряд, полученный почленным интегрированием:zau1 (z )dz +zau2 (z )dz + .
. . ,62Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[13где a — некоторая точка из B, сходится равномерно в B [ср. I,146]. Члены этого ряда — регулярные, однозначные в B функцииот z [6].З а м е ч а н и е 2. Мы могли бы формулировать теорему Вейерштрасса, пользуясь не рядами, а последовательностями функций [I,144]: если имеется последовательность sk (z) (k = 1, 2, .
. .) функций,регулярных в замкнутой области B с контуром l, и эта последовательность равномерно стремится к пределу на контуре l, то онаравномерно стремится к пределу и во всей замкнутой области B,предельная функция s(z) регулярна внутри B и при всяком целомположительном m имеем внутри B(m)lim s (z)k→∞ k= s(m) (z).13.
Степенны́е ряды. Степенны́м рядом называется ряд видаa0 + a1 (z − b) + a2 (z − b)2 + . . . ,(56)где ak и b — заданные числа. Выясним прежде всего область сходимости ряда (56). Для этого докажем следующую теорему.Т е о р е м а А б е л я. Еслиряд (56) сходится в некоторойточке z = z0 , отличной от z =b, то он сходится абсолютно вовсякой точке z, которая ближек b, чем z0 , т. е.|z − b| < |z0 − b|,Рис. 8.и сходится равномерно во всяком круге с центром b и радиусом ρ меньшим |z0 − b| (рис.
8).Из условия теоремы следует,что рядa0 + a1 (z0 − b) + a2 (z0 − b)2 + . . .13]Степенны́е ряды63сходится, и, следовательно, его общий член стремится к нулюпри беспредельном возрастании номера. Мы можем поэтому утверждать, что существует положительное число N такое, что при всяком k|ak (z0 − b)k | < N.(57)Рассмотрим теперь некоторый круг Cρ с центром b и радиусомρ, меньшим, чем |z0 − b|, так что величину этого радиуса мы можем обозначить через ρ = θ|z0 − b|, где 0 < θ < 1.
Для всякого z,принадлежащего этому кругу Cρ , мы имеем|z − b| θ|z0 − b|.(58)Оценим в круге Cρ члены ряда (56). В силу (57) и (58) можнонаписатьkkk z−b |ak (z − b) | = |ak (z0 − b) | N θk ,z0 − b откуда непосредственно следует, что в круге Cρ члены ряда (56) помодулю меньше членов убывающей геометрической прогрессии, составленной из положительных чисел, т.
е. ряд (56) сходится в кругеCρ абсолютно и равномерно. Очевидно, что всякую точку z, которая расположена ближе к b, чем z0 , мы можем считать находящейсяв некотором круге Cρ , и, следовательно, по доказанному во всякойтакой точке ряд (56) сходится абсолютно. Теорема Абеля доказанаполностью. Выясним теперь некоторые следствия этой теоремы.С л е д с т в и е I. Если ряд (56) расходится в некоторой точкеz = z1 , то он, очевидно, расходится и во всякой точке, котораяотстоит от b дальше, чем z1 . Действительно, если бы он сходилсяв такой точке, то по теореме Абеля он должен был бы сходитьсяи в точке z1 .
Мы можем, таким образом, сказать, что для ряда(56) имеет место следующий факт: из его сходимости в некоторойточке следует его абсолютная сходимость внутри окружности,проходящей через эту точку и имеющей центр b, и из его расходимости в некоторой точке — его расходимость вне окружности,проходящей через эту точку и имеющей центр b.Может случиться, что ряд (56) сходится на всей плоскости z, атакже что он сходится только при z = b. В последнем случае он64Гл. I.
Основы теории функций комплексного переменного[13сводится к одному слагаемому a0 . Если исключить эти случаи, тоиз сказанного выше следует [ср. I, 148], что для всякого ряда (56)существует такое положительное число R, что ряд сходится абсолютно при |z − b| < R и расходится при |z − b| > R, причем вовсяком круге радиуса, меньшего R, т. е. при |z − b| θR, 0 < θ < 1,сходимость ряда (56) равномерная.
Число R называется радиусомсходимости ряда (56). В исключенных выше двух случаях считают обычно R = ∞ (сходимость на всей плоскости) или R = 0(сходимость только в точке z = b). При R = ∞ сходимость на всейплоскости абсолютная и во всяком конечном круге равномерная.Заметим, что предыдущее рассуждение не дает нам равномерной сходимости во всем круге сходимости, но лишь в любом концентрическом круге меньшего радиуса. Мы будем выражать этотфакт, говоря просто, что ряд (56) равномерно сходится внутри своего круга сходимости. Вообще будем называть какой-либо ряд равномерно сходящимся внутри области B, если ряд равномерно сходится в любой замкнутой области B , лежащей вместе со своимконтуром, внутри B.
Отметим, что из приведенного выше доказательства следует, что и ряд с общим членом |ak (z − b)k | равномерносходится внутри круга сходимости ряда (56).С л е д с т в и е II. Из равномерной сходимости ряда (56) и теоремы Вейерштрасса [12] следует, что сумма ряда есть регулярнаяфункция внутри круга сходимости и что этот ряд можно почленнодифференцировать сколько угодно раз внутри упомянутого круга.Как равномерно сходящийся ряд его можно и почленно интегрировать. Кроме того, в силу абсолютной сходимости степенные рядывида (56) можно перемножать как полиномы внутри того круга,где они оба сходятся.Из предыдущего непосредственно вытекает, что почленное интегрирование и дифференцирование ряда (56) не нарушают во всякомслучае его сходимости внутри круга сходимости, т.
е. рядыa1 + 2a2 (z − b) + 3a3 (z − b)2 + . . . ,(59)a1(z − b)2 + . . .(591 )2имеют радиус сходимости во всяком случае не меньший, чем ряд(56). Нетрудно видеть, что этот радиус сходимости рядов (59) не моa0 (z − b) +14]Ряд Тейлора65жет быть и больше, чем радиус сходимости R ряда (56). Действительно, положим, например, что радиус ρ сходимости ряда (591 )будет больше R, т. е. что ρ > R. Дифференцируя этот ряд, мы, кактолько что упомянули, не уменьшаем его радиуса сходимости и возвращаемся к ряду (56), и, следовательно, ρ R, что противоречитρ > R.
Мы можем, таким образом, утверждать, что почленное дифференцирование и интегрирование ряда (56) не меняют его радиуса сходимости. Отметим в заключение, что во всем предыдущемничего не говорилось о сходимости ряда (56) на самой окружности |z − b| = R его круга сходимости. Этот вопрос мы рассмотримнесколько позже.14. Ряд Тейлора.
Выше мы видели, что сумма ряда (56) естьрегулярная функция внутри круга сходимости этого ряда. Докажем теперь обратное предложение: всякая функция f (z), регулярная в некотором круге |z − b| < R с центром b, может бытьпредставлена внутри этого круга степенным рядом вида (56), итакое представление единственно.Возьмем какую-нибудь фиксированную точку z внутри круга |z − b| < R. Проведем окружность CR1 с центром b и радиусом R1 , меньшим R, но таким,чтобы z заключалась внутри CR1(рис.
9). Мы можем выразитьf (z) по формуле Коши, интегрируя по CR1 :f (z ) 1dz . (60)f (z) =2πiz − zC R1Рис. 9.На CR1 , мы имеем |z − b| = R1 , а,с другой стороны, |z−b| < R1 , поскольку z лежит внутри CR1 . Пользуясь формулой для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, можем написать∞ (z − b)k111= ·=,z −zz − b 1 − (z − b)/(z − b)(z − b)k+1k=0(61)66Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[14причем для модулей членов этого ряда имеем (z − b)k = 1 qk q = z − b , z − b (z − b)k+1 R1и из предыдущего вытекает, что 0 q < 1.
Таким образом, бесконечный ряд (61) сходится равномерно относительно z , находящегося на CR1 . Умножая обе его части на1f (z )2πiи интегрируя по CR1 почленно, получим в силу формулы (60)∞f (z )1kf (z) =(z − b) ·dz ,2πi(z − b)k+1k=0C R1илиf (z) =∞ak (z − b)k ,(62)k=0где в силу формулы Коши [7].f (z )1f (k) (b),dz=ak =2πi(z − b)k+1k!(621 )C R1т. е. значение f (z) в любой точке внутри круга |z − b| < R, где f (z)регулярна, представляется рядом Тейлора:f (z) = f (b) +f (b)f (b)(z − b) +(z − b)2 + . . .1!2!(63)Покажем теперь, что представление f (z) степенным рядом единственно. Положим, что внутри некоторого круга с центром b функция f (z) представима рядом вида (62). Покажем, что коэффициенты ak определяются единственным образом, а именно они должны быть коэффициентами Тейлора.
Действительно, полагая в (62)z = b, получим a0 = f (b). Продифференцируем степенной ряд (62):f (z) =∞k=1kak (z − b)k−1 .14]Ряд Тейлора67Полагая z = b получим a1 = f (b). Продолжая так и дальше, получим вообщеf (k) (b),ak =k!и разложение (62) должно совпадать с рядом Тейлора (63). Такимобразом, если мы какими-либо двумя способами получили разложение одной и той же функции в степенной ряд по целым положительным степеням (z − b), то коэффициенты в обоих этих разложенияхпри одинаковых степенях (z − b) должны быть равными.Предыдущие рассуждения показывают, что ряд Тейлора (63)функции f (z) сходится внутри такого круга с центром b, внутрикоторого f (z) регулярна, и внутри этого круга сумма этого рядаТейлора равна f (z).Из выражения коэффициентов ряда Тейлора непосредственновытекает оценка величины этих коэффициентов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
