1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Заметим, что из доказательства следует, что условие (33) должно выполняться равномерно относительноz. Иными словами, полностью это условие можно формулироватьтак: при любом заданном ε существует такой Rε , что |f (z)| < ε,если |z| > Rε .Иногда приходится иметь дело с функциями, которые регулярны внутри области и имеют определенные предельные значенияпри переходе на контур области, так что во всей замкнутой области они являются функциями непрерывными, но про них нельзявсе же утверждать, что они регулярны в замкнутой области, т. е.что они остаются регулярными и при расширении области. Заметим, что для таких функций, регулярных в области и непрерывных44Гл.
I. Основы теории функций комплексного переменного[7в замкнутой области, имеют место как теорема Коши, так иформула Коши. Действительно, если мы сожмем немного контур,то функция станет регулярной и на контуре, и, например, теоремаКоши будет применима, т. е. интеграл по контуру будет равен нулю.Если мы затем будем непрерывно расширять контур с тем, чтобыон совпал со своим первоначальным положением, то и в пределеинтеграл по первоначальному контуру области будет тоже равнымнулю. Здесь, конечно, возможен переход к пределу, так как функция равномерно непрерывна в замкнутой области.Можно сказать, что почти все дальнейшие результаты настоящей главы являются непосредственным следствием формулы Коши, и мы много раз будем к ней обращаться. В настоящем номеремы приведем два примера применения этой формулы.Проведем более подробно доказательство теоремы Коши для того случая,когда f (z) регулярна внутри круга |z| < R с центром в начале и радиусом Rи непрерывна в замкнутом круге |z| R.
Функция f (z) будет регулярной взамкнутом круге |z| R1 , где R1 — любое положительное число, меньшее R.Теорема Коши применима, и мы имеемf (z)dz = 0.|z|=R1На окружности этого круга z = R1 eiϕ и dz = R1 ieiϕ dϕ, так чтоiR12πf (R1 eiϕ )eiϕ dϕ = 0.0Поскольку f (z) равномерно непрерывна в замкнутом круге [1], можно доказатьвозможность перехода к пределу под знаком интеграла при R1 → R [II, 84], ив пределе получим2πiR f (Reiϕ )eiϕ dϕ = 0,0или, переходя опять к переменной z, можем написатьf (z)dz = 0,|z|=Rчто и требовалось доказать.
Для контуров более сложного вида доказательствопредставляет бо́льшие трудности. Из теоремы Коши, как и выше, вытекаетформула Коши для функций, регулярных внутри области и непрерывных взамкнутой области.7]Формула Коши45П р и м е р I. Возьмем показательную функцию f (z) = ez . Она регулярна на всей плоскости, и мы можем применить формулу (32), взяв за l любойзамкнутый контур, внутри которого находится точка z:n!ezez =dz .2πi(z − z)n+1lБерем за l круг с центром z = z и некоторым фиксированным радиусом ρ.Мы имеемz − z = ρeiϕ ;ez = ez eρcos ϕ+iρ sin ϕ;dz = iρeiϕ dϕ;подставляя в предыдущую формулу, получаем1=n!2πρnоткуда2πρn=n!2πeρcos ϕ+iρ sin ϕ−inϕdϕ,02πeρcos ϕ+i(ρ sin ϕ−nϕ)dϕ.0Отделяя вещественную часть, получим выражение для определенного интеграла довольно сложного типа:2πeρcos ϕcos (ρ sin ϕ − nϕ)dϕ = 2π0ρn.n!(36)П р и м е р II. Рассмотрим рациональную дробьϕ(z)= f (z),ψ(z)(37)где степень полинома ψ(z), стоящего в знаменателе, выше степени полиномаϕ(z).
Такая функция удовлетворяет, очевидно, условию (33). Положим, крометого, что l есть замкнутый контур, содержащий внутри себя все корни полинома ψ(z). Мы можем утверждать после этого, что функция (37) регулярна начасти плоскости, находящейся вне контура l, и что к ней применима формулаКоши для бесконечной области. В этой формуле интегрирование по l надо производить так, чтобы область, находящаяся вне l, была слева, т. е.
по часовойстрелке. Если же будем интегрировать против часовой стрелки, то результатпеременит знак, и будем, следовательно иметьϕ(z)1ϕ(z )−=dz .(38)ψ(z)2πiψ(z )(z − z)lОбратим внимание на подынтегральную функцию в последнем интеграле.Как функция от z она перестает быть регулярной или, как говорят, имеет46Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[8особые точки внутри l там, где ψ(z ) обращается в нуль. Точка z не являетсяособой, так как она находится вне контура l (внутри бесконечной области B).Наличие упомянутых точек, являющихся корнями полинома ψ(z ), и приводитк тому факту, что величина интеграла (38) по замкнутому контуру l оказывается отличной от нуля.8.
Интегралы типа Коши. В формуле Коши (31) числительв подынтегральной функции представлял собою значение регулярной функции f (z) на контуре l. При этом, согласно формуле Коши, величина интеграла воспроизводила в точности функцию f (z)в точке, находящейся внутри области. Будем рассматривать интеграл, стоящий в формуле Коши, как некий вычислительный аппарат, и посмотрим, что он будет давать, если мы в числительего подынтегральной функции подставим какую-нибудь совершенно произвольно заданную непрерывную функцию на контуре, прокоторую ничего не известно больше того, что она задана и непрерывна на контуре.
Обозначим эту функцию через ω(z ). Величинанашего интеграла будет, очевидно, некоторой функцией от z:ω(z ) 1dz .F (z) =(39)2πiz − zlИнтеграл, стоящий справа, при сделанных общих предположениях относительно функции ω(z ) называется интегралом типаКоши. Мы можем, как и в предыдущем номере, дифференцироватьпо z под знаком интеграла сколько угодно раз и получим формулы,аналогичные формулам (32):F (n) (z) =n!2πi(z lω(z )dz ,− z)n+1(40)т.
е. F (z) есть во всяком случае регулярная функция внутри тойобласти B, которая ограничена замкнутым контуром l. Мы моглибы, конечно, считать, что z находится и вне замкнутого контура l.При этом наряду с формулой (39) мы опять имели бы формулу (40),т. е. формула (39) и для точек z вне контура l определяет некоторую регулярную функцию. Если считать, что z находится на самом8]Интегралы типа Коши47контуре, то интеграл (39) теряет смысл, так как при этом подынтегральная функция на контуре интегрирования обращается в бесконечность. Предыдущие рассуждения приводят нас к следующемурезультату: интеграл типа Коши (39) определяет две регулярныефункции — одну внутри контура l и другую вне контура.Заметим, что эти две регулярные функции будут, вообще говоря, различными.
Чтобы пояснить это обстоятельство, рассмотримнаиболее простой случай, а именно тот случай, когда «плотность»в интеграле типа Коши ω(z ) совпадает со значениями на контуре функции f (z), регулярной в замкнутой области, ограниченнойконтуром l. Итак, пусть ω(z ) = f (z ) есть функция, регулярнаяв замкнутой области, ограниченной контуром l. Если z находитсявнутри l, то применима формула Коши (31), и интеграл типа Коши1f (z ) dz(41)2πiz − zlдает нам внутри контура функцию f (z).
Положим теперь, что zнаходится вне контура l, и рассмотрим подынтегральную функциюв интеграле (41) как функцию от z . Ее числитель f (z ) регуляренвнутри и на l, а ее знаменатель z − z не обращается в нуль внутри и на l, так как z находится по условию вне l. Следовательно,мы можем применить теорему Коши и утверждать, что величинаинтеграла (41), если z находится вне l, равна нулю, т. е. в рассматриваемом случае интеграл типа Коши (41) дает f (z) если z внутриl, и нуль, если z вне l.Вернемся опять к формуле Коши (31). В этой формуле «плотность» интеграла типа Коши f (z ) совпадала со значениями самойфункции f (z) на контуре l.
В общем случае интеграла типа Коши (39), если ω(z ) задается как произвольная непрерывная функция на контуре l, это обстоятельство, конечно, не будет иметь места. Для формулы (39) мы должны различать две функции: функцию f1 (z), определенную формулой (39) внутри l, и функцию f2 (z),определенную вне l. Если z стремится к некоторой точке z , лежащей на контуре l изнутри, то возникает вопрос — будет ли вообщеf1 (z) стремиться к пределу и как этот предел будет связан со значением ω(z ). Такой же вопрос можно поставить и для функции48Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[8f2 (z), если z стремится к z извне контура. В настоящей главе мыне будем заниматься этим вопросом. При некоторых дополнительных предположениях предельные значения функций f1 (z ) и f2 (z )наверно будут существовать, но их связь с ω(z ) представляется довольно сложной.
Разность этих предельных значений, т. е., точнееговоря, разность предела f1 (z) и предела f2 (z), при стремлении z кz по нормали к кривой l будет равна в точности ω(z ). Это правило подтверждается на частном примере интеграла типа Коши вида(41). Здесь внутреннее предельное значение будет f (z ) и внешнее —нуль.Интегралами типа Коши нередко пользуются при аналитическом представлении функций. Заметим, что это представление многозначно, т. е., точнее говоря, можно одну и ту же функцию представить различными интегралами типа Коши.
Покажем это на примере. Пусть l — замкнутый контур, содержащий начало z = 0 внутри себя, и определим внутри l регулярную функцию, равную тождественно нулю. Она, конечно, может быть представлена интегралом типа Коши (39) с «плотностью» ω(z ) ≡ 0. Покажем, что этуфункцию, т. е. нуль, можно представить интегралом типа Коши с«плотностью» ω(z ) = 1/z .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
