1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Для того чтобы f (z) быларегулярна внутри B, необходимо выполнение следующих условий:u(x, y) и v(x, y) должны иметь внутри B непрерывные частныепроизводные первого порядка по x и y, и эти производные должныудовлетворять соотношениям (12).Покажем теперь, что эти условия не только необходимы, но идостаточны для регулярности f (z) внутри B.
Итак, будем считать, что высказанные условия выполнены, и докажем существование непрерывной производной f (z). Принимая во внимание непрерывность частных производных от u(x, y) и v(x, y) по x и y, можемнаписать [I, 68]u(x + Δx, y + Δy) − u(x, y) =∂u(x, y)∂u(x, y)Δx +Δy + ε1 Δx + ε2 Δy,∂x∂yv(x + Δx, y + Δy) − v(x, y) ===∂v(x, y)∂v(x, y)Δx +Δy + ε3 Δx + ε4 Δy,∂x∂yгде εk стремятся к нулю одновременно с Δx и Δy. Составляя припомощи последних выражений приращение функции f (z + Δz) −f (z) и подставляя его в отношение (4), будем иметьf (z + Δz) − f (z)= ∂u Δz ∂u ∂v∂v∂x Δx+ ∂y Δy +i ∂x Δx+ ∂y Δy +(ε1 +iε3 )Δx+(ε2 +iε4 )Δy,=Δx + iΔy2]Производная19откуда, пользуясь условиями (12), можем переписать это отношение в видеf (z + Δz) − f (z)=Δz∂u∂v(Δx + iΔy) + i ∂x(Δx + iΔy)ΔxΔy= ∂x+ ε5+ ε6,Δx + iΔyΔx + iΔyΔx + iΔyгдеε5 = ε1 + iε3 и ε6 = ε2 + iε4стремятся к нулю одновременно с Δz.Нетрудно видеть, что последние два слагаемых справа такжестремятся к нулю.
Действительно, например,Δx|Δx|ε5, Δx + iΔy = |ε5 | 2Δx + Δy 2и первый множитель стремится к нулю, а второй не превосходитединицы. Таким образом, предыдущая формула переписывается ввидеf (z + Δz) − f (z)∂u(x, y) ∂v(x, y)=+i + ε7 ,Δz∂x∂xгде ε7 стремится к нулю одновременно с Δz, а первые два слагаемыхв правой части вовсе не зависят от Δz.
Таким образом, отношение(4) стремится к определенному пределу, определяемому формулой(10). Итак, указанные выше условия для u(x, y) и v(x, y) необходимы и достаточны для регулярности f (z) внутри B. Уравнения(12) называются обычно уравнениями Коши—Римана.Напомним, что мы уже встречались с этими уравнениями, аименно таким двум уравнениям должны удовлетворять потенциал скорости и функция тока при установившемся плоском течении идеальной несжимаемой жидкости [II, 74].
Таким образом, основные уравнения теории функций комплексного переменного (12)являются в то же время и основными уравнениями при исследовании упомянутого только что случая задач гидродинамики. На этомфакте основаны многочисленные применения теории функций комплексного переменного к гидродинамике, о чем мы будем говоритьв следующей главе.20Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[2Отметим теперь одно важное обстоятельство, вытекающее изуравнений (12).
Мы увидим в дальнейшем, что в случае регулярной функции u(x, y) и v(x, y) имеют производные всех порядков.Дифференцируя первое из уравнений (12) почленно по x, второе поy и складывая, получим∂2u ∂2u+ 2 = 0.∂x2∂y(131 )Точно так же из уравнений (12) нетрудно вывести∂2v∂2v+= 0.∂x2∂y 2(132 )Отсюда видно, что вещественная и мнимая части регулярнойфункции f (z) должны удовлетворять уравнению Лапласа, т. е.должны быть гармоническими функциями. В следующей главе мытак же подробно исследуем эту связь теории функций комплексного переменного с уравнением Лапласа.Отметим еще одно важное обстоятельство, вытекающее из уравнений (13), а именно мы можем конструировать регулярную функцию, задавая произвольным образом ее вещественную часть, т. е.принимая за u(x, y) любое решение уравнения (131 ).
Покажем, чтопри этом v(x, y) определяется с точностью до постоянного слагаемого.Действительно, из уравнений (12) имеемdv =∂v∂v∂u∂udx +dy = − dx +dy,∂x∂y∂y∂xоткуда(x, y)∂u∂udx +dy + C.(14)∂y∂xОстается проверить, что написанный криволинейный интегралне зависит от пути и дает некоторую функцию своего верхнего предела [II, 71]. Напомним, что условия независимости криволинейногоинтегралаXdx + Y dyv(x, y) =−2]Производная21от пути могут быть написаны следующим образом:∂Y∂X=.∂y∂xПрименяя это к интегралу (14), получим ∂∂u∂ ∂u∂2u ∂2u−=, или+ 2 = 0,∂y∂y∂x ∂x∂x2∂yа это по условию выполнено, так как за u(x, y) мы взяли некоторуюгармоническую функцию.
Напомним, что если u(x, y) однозначна,то v(x, y) может оказаться и многозначной, если область, в котороймы применяем формулу (14), многосвязна [II, 72].Обратимся теперь к некоторым примерам. Полином есть очевидно регулярная функция на всей плоскости z. Рациональнаядробь есть регулярная функция внутри всякой области, не содержащей корней ее знаменателя. Если возьмем, например, f (z) = z 2 ,то u(x, y) = x2 − y 2 и v(x, y) = 2xy.
Нетрудно проверить, что этифункции удовлетворяют соотношениям (12).Покажем теперь, что показательная функцияez = ex (cos y + i sin y)регулярна на всей плоскости. В данном случаеu(x, y) = ex cos y,v(x, y) = ex sin y,откуда непосредственно следует∂u= ex cos y,∂x∂v= ex sin y,∂x∂u= −ex sin y,∂y∂v= ex cos y.∂yЭти частные производные непрерывны и удовлетворяют соотношениям (12). Вычисляем производную по формуле (10):(ez ) = ex cos y + iex sin y = ex (cos y + i sin y),т. е.
(ez ) = ez .22Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[3Мы получили то же правило дифференцирования показательной функции, что и для вещественного переменного. Теперь нетрудно показать, что sin z и cos z имеют также непрерывные производные на всей плоскости z. Эти производные вычисляются по тем жеправилам, что и для вещественного переменного. Действительно,применяя правила дифференцирования показательной и сложнойфункций, получим eiz − e−iz eiz + e−iz= cos z,=2i2 eiz + e−iz eiz − e−iz= − sin z.(cos z) ==i22(sin z) =3. Конформное преобразование. Выясним геометрическийсмысл понятия функциональной зависимости и производной. Положим, что функция f (z) регулярна в некоторой области B плоскости(X, Y ).
Всякому значению z из области B соответствует определенное значение w = f (z), и совокупность всех значений w = u + iv,соответствующих всем z из B, заполняет некоторую новую областьРис. 1.B1 , которую мы нарисуем на новой плоскости комплексного переменного u + iv (рис. 1). Таким образом, наша функция f (z) совер-3]Конформное преобразование23шает преобразование области B в область B1 .
Строго говоря, мыдолжны были бы более подробно исследовать зависимость между точками z и w, осуществляемую нашей функцией, и доказать,что совокупность значений w также заполняет некоторую область.В дальнейшем, имея в руках аналитический аппарат, мы займемся этим более подробным исследованием, а в настоящий моментограничимся лишь общими указаниями, которые все же дадут возможность читателю выяснить геометрический смысл вводимых понятий.
В дальнейшем будет показано, что если в некоторой точкеz производная f (z) отлична от нуля, то достаточно малый круг сцентром z перейдет в некоторую область на плоскости w, содержащую соответствующую точку w = f (z) внутри себя.Перейдем теперь к выяснению геометрического смысла модуляи аргумента производной, причем будем считать, что производнаяf (z) в рассматриваемой точке отлична от нуля. Возьмем две близкие точки z и z + Δz. Соответствующие им точки в области B1будут w и w + Δw.Возьмем отрезки M N и M1 N1 , соединяющие z с z + Δz и w сw + Δw.
Этим векторам соответствуют комплексные числа Δz иΔw. Таким образом, отношение длин этих векторов будет|M1 N1 ||Δw|=|M N ||Δz|или, принимая во внимание, что модуль частного равен частномумодулей,|M1 N1 | Δw =.|M N |ΔzВ пределе при стремлении N к M точка N1 будет стремиться кM1 , и мы получим|M1 N1 |= |f (z)|,lim|M N |т. е. модуль производной f (z) характеризует изменение линейныхразмеров в точке z при преобразовании, совершаемом функциейf (z). Если, например, f (z) = z 2 + z + 3, то при преобразованиилинейные размеры в точке z = 1 увеличиваются в три раза.24Гл.
I. Основы теории функций комплексного переменного[3Перейдем теперь к выяснению геометрического смысла аргумента производной. Положим, что точка N стремится к точке Mвдоль некоторой линии l, и пусть l1 — соответствующая линия вобласти B1 (рис. 2). Аргумент комплексного числа Δz дает угол,образованный вектором M N с вещественной осью, и точно так жеarg Δw дает угол, образованный вектором M1 N1 с вещественнойРис. 2.осью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
