1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 10
Текст из файла (страница 10)
I. Основы теории функций комплексного переменного[10положительное число. Составим новую функцию:ϕ(z) =1.f (z) − βОна регулярна в круге C (кроме, может быть, z = a) и ограничена по модулю:11|ϕ(z)| = .|f (z) − β|mСледовательно, по доказанному выше, она регулярна и в точкеz = a, и, значит, при z → a функция ϕ(z) стремится к конечномупределу.
При этом1f (z) = β +ϕ(z)при z → a также должна была бы стремиться к конечному пределу,если предел ϕ(z) отличен от нуля, или к бесконечности, если пределϕ(z) равен нулю, но обе эти возможности противоречат определению существенно особой точки.Можно доказать более точную теорему, а именно:Т е о р е м а П и к а р а. Если z = a — существенно особая точкаf (z), то в любом сколь угодно малом круге с центром a функцияf (z) принимает бесчисленное множество раз всякое комплексноезначение, кроме, может быть, одного.Доказательство этой теоремы гораздо более сложно, чем доказательство предыдущей теоремы, и мы не будем его приводить.1Мы только проверим теорему для функции e z , имеющей z = 0существенно особой точкой.Возьмем любое комплексное число α, отличное от нуля, и напишем уравнение:1e z = α.(46)Вспоминая правило логарифмирования комплексного числа, получим корни уравнения (46):z=1,ln |α| + i(ϕ + 2kπ)11]Бесконечные ряды с комплексными членами55где ϕ — аргумент числа α, заключающийся в промежутке (0, 2π), иk — любое целое число.
Беря его сколь угодно большим по абсолютной величине, будем получать корни уравнения (46), сколь угодноблизкие к нулю. Таким образом, функция e1/z в любом сколь угодно малом круге с центром в начале принимает бесчисленное множество раз любое наперед заданное значение, кроме нуля. Нетруднопоказать, что функция sin (1/z) — в любом круге с центром в начале принимает бесчисленное множество раз любое комплексноезначение без всякого исключения.Полюсы и существенно особые точки являются изолированными особыми точками, т. е. в некоторой окрестности этих точекфункция регулярна. В дальнейшем при исследовании многозначных функций мы встретимся еще с одним типом изолированныхособых точек, а именно с точками разветвления.11. Бесконечные ряды с комплексными членами.
Выяснив основные вопросы, связанные с понятием об интеграле, перейдем к рассмотрению бесконечных рядов. Пусть имеется бесконечный ряд с комплексными членами(a1 + ib1 ) + (a2 + ib2 ) + . . . + (an + ibn ) + . . .(47)Он называется сходящимся, если сумма его первых n слагаемыхSn = (a1 + a2 + . . .
+ an ) + i(b1 + b2 + . . . + bn )(48)стремится к конечному пределу при беспредельном возрастании n.Из этого определения непосредственно следует, что ряд (47) будетсходящимся тогда и только тогда, когда будут сходиться ряды свещественными членамиa1 + a2 + . . .и b1 + b2 + . . . ,(49)составленные из вещественных и мнимых частей членов ряда (47).Если обозначить через A и B суммы рядов (49), то конечная сумма(48) будет, очевидно, стремиться к пределу A + iB, который и будетпредставлять собою сумму ряда (47).56Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[11Выясним теперь понятие об абсолютной сходимости ряда (47).Заменяя в ряде (47) каждый член его модулем, получим ряд с положительными членамиa21 + b21 + a22 + b22 + . . .(50)Покажем, что если этот ряд сходится, то и основной ряд (47)также сходится.
Действительно, из очевидного неравенстваa2n + b2n |an | и |bn |непосредственно следует [I, 120 и 124], что из сходимости ряда (50)вытекает сходимость (даже абсолютная) рядов (49) и, следовательно, сходимость ряда (47).Если ряд (50) сходится, то сходящийся ряд (47) называетсяабсолютно сходящимся. Такие абсолютно сходящиеся ряды обладают свойствами, аналогичными свойствам абсолютно сходящихсярядов с вещественными членами.Если ряд (47) сходится абсолютно, то, как мы только что видели, ряды (49) сходятся абсолютно, и их сумма не зависит от порядкаслагаемых [I, 137].
Следовательно, то же самое можно сказать и осумме ряда (47).Совершенно так же, пользуясь рассуждениями, аналогичнымирассуждениям из [I, 138], можно доказать и теорему об умноженииабсолютно сходящихся рядов, а именно: если имеются два абсолютно сходящихся ряда с комплексными членами:S = α1 + α2 + .
. .и T = β1 + β2 + . . . ,то рядα1 β1 + (α1 β2 + α2 β1 ) + (α1 β3 + α2 β2 + α3 β1 ) + . . .абсолютно сходится, и его сумма равна ST . На подробном доказательстве этой теоремы мы не останавливаемся. Поскольку длякомплексного переменного справедлив признак Коши существования предела, то этот признак, как и для вещественного переменного[I, 125], дает необходимое и достаточное условие сходимости ряда с11]Бесконечные ряды с комплексными членами57комплексными членами, а именно: для сходимости ряда (47) необходимо и достаточно, чтобы при любом заданном положительном ε существовало такое положительное N , что n+p (ak + ibk ) < ε,k=n+1если только n > N и p — любое целое положительное число.Перейдем теперь к рассмотрению рядов с переменными членами, т.
е. рядов, члены которых содержат переменное z:u1 (z) + u2 (z) + . . .(51)Если такой ряд сходится при всех значениях z, принадлежащихнекоторой области B (или некоторой кривой l), то говорят, что ряд(51) сходится в области B (или на кривой l).Введем теперь понятие о равномерной сходимости совершеннотак же, как мы это делали для случая вещественного переменного[I, 143]. Ряд (51) называется равномерно сходящимся в области B(на кривой l), если при любом заданном положительном ε существует положительное N , одно и то же для всех z, находящихсяв B (на l), такое, что n+p uk (z) < ε,(52)k=n+1если только n > N и p — любое целое положительное число. Равномерно сходящиеся ряды в случае комплексного переменного обладают теми же свойствами, что и равномерно сходящиеся ряды вещественного переменного [I, 146]. Мы приведем два основных свойства, которые доказываются совершенно так же, как и в случаевещественного переменного.Если члены ряда (51) суть непрерывные функции z в некоторойобласти B (на кривой l), и ряд сходится равномерно в этой области(на этой кривой), то и сумма ряда будет непрерывной функцией.Если ряд (51), состоящий из непрерывных функций, сходитсяравномерно на некоторой кривой l, то его можно интегрироватьвдоль этой кривой почленно.58Гл.
I. Основы теории функций комплексного переменного[12Укажем, наконец, достаточное условие абсолютной и равномерной сходимости ряда (51), совершенно аналогичное тому, котороемы имели и в случае вещественного переменного [I, 147]. Если длявсех z из области B (на кривой l) члены ряда (51) удовлетворяютнеравенствам|uk (z)| mk (k = 1, 2, . . .),где mk — положительные числа, образующие сходящийся ряд, торяд (51) сходится в области B (на кривой l) абсолютно и равномерно.Отметим еще одно обстоятельство, непосредственно вытекающее из предыдущего, а именно, если ряд (51) сходится равномернона некоторой кривой l и если мы умножим все его члены на некоторую функцию v(z), которая на этой кривой остается ограниченнойпо модулю, например непрерывна, то и новый ряд будет равномерно сходящимся.
Действительно, в результате такого умножения мывместо ряда (51) будем иметь рядu1 (z)v(z) + u2 (z)v(z) + . . . ,где |v(z)| < N . Из неравенства (52) непосредственно вытекает длянового ряда n+p n+p uk (z)v(z) = |v(z)|uk (Z) < N ε,k=n+1k=n+1откуда и следует равномерная сходимость этого ряда, так как N —определенное положительное число и ε — сколь угодно малое прибольших n.Выяснив простейшие понятия, относящиеся к рядам с комплексными членами, мы переходим теперь к доказательству основнойтеоремы, касающейся рядов, члены которых суть регулярные функции от z.12. Теорема Вейерштрасса.
Если члены ряда (51) суть регулярные функции в некоторой замкнутой области B с контуромl, и этот ряд равномерно сходится на контуре l, то он равномерносходится во всей замкнутой области B, его сумма есть регулярная12]Теорема Вейерштрасса59функция внутри области B, и этот ряд можно почленно дифференцировать сколько угодно раз.Обозначим через z переменную точку контура l. Рядu1 (z ) + u2 (z ) + .
. .(53)по условию равномерно сходится, и, следовательно, мы имеем неравенство вида n+p uk (z ) < ε (при n > Nи любом p > 0).k=nНаписанная конечная сумма регулярных функций есть такжерегулярная функция в замкнутой области B, и, следовательно, согласно принципу модуля, из предыдущего неравенства вытекает такое же неравенство, справедливое для всей области [9]: n+puk (z) < ε(при n > Nи любом p > 0),k=nоткуда и следует, что ряд (51) равномерно сходится во всей замкнутой области.Обозначая сумму ряда (53) через ϕ(z ) (непрерывная функцияна l), помножим все члены ряда на11,2πi z − zгде z — некоторая точка внутри области B:1 u1 (z )1 u2 (z )1 ϕ(z )=++ ...2πi z − z2πi z − z2πi z − zЭтот ряд также равномерно сходится на контуре l, и, интегрируяего по этому контуру почленно, будем иметь111ϕ(z ) u1 (z ) u2 (z ) dzdzdz + .
. .=+2πiz −z2πiz −z2πiz − zlll60Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[12Но для регулярных функций uk (z) мы имеем формулу Коши, и,следовательно, последнюю формулу можем переписать в виде1ϕ(z ) dz = u1 (z) + u2 (z) + . . .2πiz − zlОтсюда видно, что сумма ряда (51) внутри области B представляется интегралом типа Коши и, следовательно, есть регулярнаяфункция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
