1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Разность указанных аргументов, т. е.arg Δw − arg Δz,представляет собою угол, образованный направлением вектораM1 N1 с направлением вектора M N , причем этот угол отсчитывается от вектора M N противоположно часовой стрелке. Принимаяво внимание, что аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя, можем написатьarg Δw − arg Δz = argΔw.ΔzВ пределе направление вектора M N совпадает с направлениемкасательной к кривой l в точке M , а направление вектора M1 N1совпадает с направлением касательной к кривой l1 в точке M1 .3]Конформное преобразование25Переходя в предыдущей формуле к пределу, мы видим, что аргумент производной arg f (z) дает угол поворота в данной точке zв результате преобразования, совершаемого функцией f (z). Инымисловами, если провести через z какую-нибудь кривую l, имеющую вточке z определенную касательную, то в результате преобразованияполучится новая кривая l1 , касательная к которой в соответствующей точке w будет образовывать с вышеуказанной касательнойугол, равный аргументу производной.
Если мы возьмем в областиB две кривые, пересекающиеся в точке z под некоторым углом, то врезультате преобразования касательные к этим кривым повернутсяна один и тот же угол, равный аргументу производной, и, следовательно, угол между преобразованными кривыми будет прежнимкак по величине, так и по направлению, т.
е. преобразование, совершаемое регулярной функцией, сохраняет углы во всех точках, гдепроизводная этой функции отлична от нуля. Такое преобразование, сохраняющее углы, называется обычно конформным.Если мы нанесем в области B плоскости XY некоторую сетку кривых, то в результате преобразования получим также сеткукривых, но уже, конечно, других, причем углы между кривымисохраняются, кроме тех точек, где производная равна нулю. Еслимы возьмем, например в области B, сетку прямых, параллельныхосям, то в области B1 получим уже криволинейную, вообще говоря,сетку, но углы между кривыми останутся по-прежнему прямыми,т. е. сетка останется ортогональной. Больше того, если мы покроем область B малыми одинаковыми квадратами, то каждый такойквадрат превратится в области B1 в малый криволинейный прямоугольник, стороны которого приближенно будут равны произведению длины стороны квадрата на модуль производной в какой-либоиз точек этого квадрата, т.
е. упомянутый выше криволинейныйпрямоугольник будет также с точностью до малых высших порядков квадратом, но так как значение |f (z)| в разных точках будетразное, то эти криволинейные квадраты, заполняющие B1 , будутиметь различные по длине стороны.Пусть точка z = z0 принадлежит области регулярности B функции f (z) и f (z0 ) = 0.
При этом можно утверждать, как будет потомдоказано, что w = f (z) преобразует некоторую окрестность B0 точки z0 в некоторую окрестность B0 точки w0 = f (z0 ) (w0 находится26Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[4внутри B0 ), так что в B0 существует однозначная обратная функция z = ϕ(w), преобразующая B0 в B0 . При этом ϕ(w) регулярна вB0 , и имеет место правило дифференцирования обратной функцииϕ (w) =1f (z).Окрестность B0 точки z0 во всяком случае должна быть такой, чтово всех ее точках f (z) = 0. В дальнейшем мы исследуем и тот случай, когда f (z) обращается в нуль, и более подробно рассмотримвопрос об обратной функции.Остановимся кратко на понятии сложной функции F (w), гдеw = f (z).
Пусть f (z) регулярна внутри некоторой области B ипреобразует ее в некоторую область B плоскости w. Положим, далее, что F (w) регулярна в B . При этом сложная функция F (w) —регулярная функция от z в B, и для нее имеет место правило дифференцирования, выражаемое формулой (6).Отметим, что это правило справедливо и в том случае, когдафункция w = f (z) такова, что в B нет однозначной обратной, т.
е.при различных z из B могут получаться одинаковые w из B ипод B подразумевается множество значений f (z), когда z меняетсяв B. Как мы увидим в дальнейшем, B есть некоторая открытаяобласть на плоскости w. В упомянутых случаях обычно не говорят,что w = f (z) преобразует B и B . Этот вопрос будет выяснен вдальнейшем.4.
Интеграл. Пусть l — некоторая направленная линия на плоскости z. В дальнейшем, если не оговорено особо, всегда будем предполагать, что линии l гладкие или кусочно гладкие. Это значит, чтоl имеет параметрическое представление x = x(t), y = y(t), где x(t) иy(t) — непрерывные функции с непрерывными производными, причем[x (t)]2 + [y (t)]2 > 0(это гарантирует в каждой точке l определенную касательную), иличто l состоит из конечного числа кусков, каждый из которых вплотьдо своих концов обладает вышеуказанным свойством. Любая дугатакой линии имеет определенную длину [I, 103], или, как говорят,4]Интеграл27l спрямляема.
Если за параметр t принять длину дуги s линии l,отсчитываемую от фиксированной точки в направлении, указанном на l, то производные x (s), y (s) суть направляющие косинусыкасательной к l [I, 70], и имеет место равенство[x (s)]2 + [y (s)]2 = 1.Для линии указанного типа вычисление криволинейного интегралаP (x, y)dx + Q(x, y)dylнепосредственно сводится к вычислению обычного определенногоинтеграла. Достаточно лишь в подынтегральном выражении заменить x, y на x(t), y(t) и положить dx = x (t)dt, dy = y (t)dt.
Делосведется к интегрированию по tв пределах, соответствующих линии l.Положим, что на l задана некоторая непрерывная функция f (z).Определим понятие контурного интеграла по контуру l (рис. 3). Разобьем l на части промежуточнымиточками M1 , M2 , . . . , Mn−1 , и пустьzk (k = 1, 2, . . . , n − 1) — комплексРис.
3.ные координаты Mk , а z0 и zn — координаты концов A и B. Пусть, далее, ζk — некоторая точка на дугеMk−1 Mk , ζ1 — на дуге AM1 и ζn — на дуге Mn−1 B. Составим суммупроизведенийnf (ζk )(zk − zk−1 ).k=1Предел этой суммы при беспредельном возрастании n и беспредельном уменьшении каждой из частных дуг называется контурныминтегралом от функции f (z) по l:nf (z)dz = limf (ζk )(zk − zk−1 ).(15)lk=1Гл. I.
Основы теории функций комплексного переменного28[4Напомним, что написанное равенство равносильно следующему:при любом заданном ε > 0 существует такое η > 0, чтоn f (z)dz −f(ζ)(z−z)kkk−1 < ε,k=1lесли наибольшая из длин частичных дуг < η.Обозначим zk = xk + yk i и ζk = ξk + ηk i. Отделяя вещественнуюи мнимую части у f (z), можем написатьnf (ζk )(zk − zk−1 ) =k=1=n[u(ξk , ηk ) + v(ξk , ηk )i][(xk − xk−1 ) + (yk − yk−1 )i],k=1илиnf (ζk )(zk − zk−1 ) =k=1=nu(ξk , ηk )(xk − xk−1 ) − v(ξk , ηk )(yk − yk−1 ) +k=1+inv(ξk , ηk )(xk − xk−1 ) + u(ξk , ηk )(yk − yk−1 ).k=1При сделанных предположениях о линии l и при непрерывностиf (z) обе суммы, стоящие в правой части, стремятся к пределам,равным соответствующим криволинейным интегралам по l, и мыполучаем выражение для интеграла (15) в виде суммы обычныхкриволинейных вещественных интегралов:f (z)dz = u(x, y)dx − v(x, y)dy +llv(x, y)dx + u(x, y)dy.+il(16)4]Интеграл29Выше мы для определенности считали, что линия l имеет концы,но очевидно, что данное определение годится и при интегрированиипо замкнутым контурам.Контурный интеграл (15) обладает совершенно такими же свойствами, как и обычный криволинейный вещественный интеграл [II,69].
Упомянем основные из этих свойств. Постоянный множительможно выносить за знак интеграла. Интеграл от суммы равен сумме интегралов от слагаемых. При перемене направления у контураинтегрирования величина интеграла меняет лишь знак. Если разбить контур интегрирования на несколько частей, то величина интеграла по всему контуру равна сумме интегралов по отдельнымего частям.Выведем теперь одно важное неравенство, дающее оценку величине интеграла (15).
Положим, что на контуре l модуль подынтегральной функции не превышает положительного числа M , т. е.|f (z)| M(z на l),(17)и пусть s — длина контура l. При этом для интеграла (15) имеетместо следующая оценка: f (z)dz M s.(18)lДействительно, обратимся к сумме (15), дающей в пределе интеграл. Принимая во внимание, что модуль суммы меньше или равенсумме модулей слагаемых, получим n nf(ζ)(z−z)|f (ζk )||zk − zk−1 |,kkk−1 k=1k=1или в силу (17) nnf(ζ)(z−z)M|zk − zk−1 |.kkk−1 k=1k=1Сумма, стоящая множителем при M , представляет собою, очевидно, периметр ломаной линии, вписанной в контур l, и, переходяв последнем неравенстве к пределу, будем иметь неравенство (18).30Гл.
I. Основы теории функций комплексного переменного[5Можно указать более точную оценку для интеграла (15), а именно, если обозначить через ds дифференциал дуги кривой l, то имеетместо формула f (z)gz |f (z)|ds.(19)llЭто неравенство может быть непосредственно получено, если вподынтегральномвыражении заменить f (z) на |f (z)| и dz = dx+idyна |dz| = (dx)2 + (dy)2 = ds.5. Теорема Коши. В дальнейшем мы постоянно будем иметьдело с функциями, регулярными в некоторых областях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
