1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Действительно, рассмотрим интеграл11dz (42)F (z) =2πiz (z − z)lи покажем, что он равен нулю при любом положении z внутри l,причем напомним, что по условию начало также находится внутриl. Разлагая рациональную дробь на простейшие, можем написать111=− +z (z − z)zzz(z − z)и, следовательно,F (z) = −12πizldz 1+z2πizldz .z − zПринимая во внимание пример из [6], получим1 1F (z) = − + ≡ 0.z z9]Следствия формулы Коши49Итак, интеграл типа Коши (42) дает также нуль внутри l.
Добавляя этот интеграл к некоторому интегралу типа Коши (39), дающему регулярную функцию F (z), мы получим другой интегралтипа Коши, дающий ту же самую функцию F (z). Таким образом,из равенства двух интегралов типа Коши1ω1 (z ) ω2 (z ) 1dzdz (z — внутри l)=(43)2πiz −z2πiz − zllпри всяком z внутри l нельзя все же заключить, что «плотности»этих интегралов совпадают.
Но это будет так, если мы наложим на«плотности» некоторые добавочные условия. Так, например, имеетместо следующая теорема Гарнака: если ω1 (z ) и ω2 (z ) — непрерывные вещественные функции и l есть окружность, то равенство (43)равносильно тождеству ω1 (z ) ≡ ω2 (z ).В конце этой главы мы рассмотрим вопрос о предельных значениях интегралов типа Коши при приближении к контуру области.9. Следствия формулы Коши. Пусть f (z) — функция, регулярная в замкнутой области B с контуром l или регулярная внутриобласти и непрерывная в замкнутой области.
Рассмотрим регулярную функцию [f (z)]n , где n — некоторое целое положительное число, и применим к этой функции формулу Коши:[f (z )]n 1[f (z)]n =dz .2πiz − zlПусть M — максимум модуля |f (z )| на контуре l, и обозначимчерез δ минимум модуля |z − z|, т. е.
наименьшее расстояние точкиz от контура l.Применяя обычные оценки, будем иметь|f (z)|n M nS,2πδгде S — длина контура l. Предыдущее неравенство можно переписать так:1/nS|f (z)| M.2πδ50Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[9При стремлении целого положительного числа n к бесконечностиполучаем в пределе неравенство|f (z)| M,(44)т. е. если f (z) — функция, регулярная в области и непрерывная взамкнутой области, то максимум ее модуля достигается на контуре, т.
е. ее модуль в любой внутренней точке области не больше,чем максимум ее модуля на контуре.Можно показать, что в формуле (44) может иметь место знакравенства только в том случае, когда f (z) есть постоянная. Доказанное выше свойство называется обычно принципом модуля.Перейдем теперь ко второму следствию из формулы Коши.Функция ez или полином от z дают примеры функций, регулярныхна всей плоскости. Покажем, что такие функции не могут бытьограничены по модулю, за исключением того неинтересного случая, когда f (z) есть постоянная величина. Иными словами, имеетместо следующая теорема, которая называется обычно теоремойЛиувилля: если f (z) регулярна на всей плоскости и ограничена,т. е. существует такое положительное число N , что при всяком z|f (z)| N,(45)то f (z) есть постоянная.Применим формулу Коши для f (z):f (z )1f (z) =dz .2πi(z − z)2lТак как f (z) регулярна на всей плоскости, то за контур l мыможем взять любой контур, содержащий z внутри себя.
Возьмемза l окружность с центром z и некоторым радиусом R, который мызатем будем беспредельно увеличивать. Мы имеем, очевидно,|z − z| = Rи, следовательно,|f (z )|1 maxна l|f (z)| 2πR.2πR210]Изолированные особые точки51Принимая во внимание (45), получаем следующую оценку:|f (z)| N.RЛевая часть этого неравенства не зависит от выбора R, а правая стремится к нулю при беспредельном возрастании R. Отсюданепосредственно следует, что f (z) ≡ 0, и, следовательно, f (z) естьпостоянная [6].В связи с теоремой Лиувилля отметим, что функция f (z) =cos z, регулярная на всей плоскости, остается ограниченной привещественном z, но, например, при чисто мнимых значенияхz = yi она равна (e−y + ey ) : 2, откуда видно, что она стремится к бесконечности при |y| → ∞.Пользуясь теоремой Лиувилля, нетрудно доказать основнуютеорему алгебры: всякий полиномf (z) = z n + a1 z n−1 + . . .
+ an−1 z + anимеет по крайней мере один корень. Доказываем от противного.Предположим, что написанный полином не имеет ни одного корня,т. е. не обращается в нуль на всей плоскости z. Составляем функциюϕ(z) =11,= n−1z n +a1 z n−1 +. . . + an−1 z +an z n 1+ az1 +. . .+ azn−1+ aznnрегулярную по предположению на всей плоскости.
При |z| → ∞,как видно из ее выражения, она стремится к нулю, и, следовательно, существует такое R > 0, что |ϕ(z)| 1 при |z| R, а в круге|z| R она как непрерывная функция ограничена, т. е. |ϕ(z)| Mпри |z| R, где M — определенное число. Следовательно, регулярная на всей плоскости функция ϕ(z) ограничена, и, следовательно, по теореме Лиувилля, ϕ(z) есть постоянная. Из |ϕ(z)| → 0 при|z| → ∞ следует, что эта постоянная равна нулю, т.
е. ϕ(z) ≡ 0, аэто противоречит тому, что ϕ(z) есть частное от деления единицына полином.10. Изолированные особые точки. Мы обращаемся теперьк исследованию возможных изолированных особых точек регуляр-52Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[10ных функций. Положим, нам известно, что f (z) однозначна и регулярна лишь в окрестности точки z = a.
Например, функцииf1 (z) = 1/z и f (z) = e1/z на всей плоскости, кроме z = 0, регулярны,а в точке z = 0 уже не регулярны и даже теряют непрерывность.Особые точки указанного выше типа называются изолированнымиособыми точками. Мыслимы три случая: 1) при всех значениях z,близких к a, функция f (z) ограничена; 2) |f (z)| → ∞ при z → a;3) f (z) не остается ограниченной при z, близких к a, но |f (z)| ине стремится к ∞ при z → a. Примером для второго случая является f1 (z) = 1/z в точке z = 0. Примером для третьего случаяявляется f2 (z) = e1/z .
Эта функция стремится к нулю, если z, принимая отрицательные значения, стремится к нулю, т. е. z → −0, иf2 (z) → +∞, если z → +0.Остается рассмотреть первый случай. Мы докажем, что в этомслучае f (z) стремится к определенному пределу при z → a, и еслиэтот предел принять за f (a), то f (z) будет регулярной и в самойточке z = a.1Действительно, окружим точку z = a двумя окружностями радиусов ρ и R с центрами z = a, причем ρ < R. Если z находитсявнутри кольца, образованного этими окружностями, то по формулеКоши мы будем иметь11f (z ) f (z ) f (z) =dzdz .+2πiz − z2πiz − zCRCρПокажем теперь, что второе слагаемое в правой части стремится к нулю, если ρ стремится к нулю.
Отсюда, как и при доказательстве формулы Коши, будет вытекать, что это второе слагаемоепросто равно нулю. Условие ограниченности модуля функции f (z)в окрестности z = a дает нам |f (z)| N , где N — некоторое положительное число.Мы имеем z −z = (z −a)−(z−a); заменим модуль этой разностименьшей величиной:|(z − a) − (z − a)| |z − a| − |z − a| = |z − a| − ρ,1 Изолированные особые точки такого типа называются стираемыми особенностями.10]Изолированные особые точки53причем |z − a| = ρ на Cρ . Таким образом, имеем для упомянутогослагаемого следующую оценку: 1f (z ) 1NNρdz ·· 2πρ =; 2πiz −z2π |z − a| − ρ|z − a| − ρCρотсюда непосредственно и следует, что это слагаемое стремится кнулю при ρ → 0.
Таким образом, предыдущая формула дает нам1f (z ) f (z) =dz ,2πiz − zCRт. е. при всех z, близких к a, f (z) выражается интегралом типаКоши и, следовательно, f (z) представляет собою функцию, регулярную везде, включая и точку z = a.Особые точки второго типа называются полюсами, т. е. еслиf (z) однозначна и регулярна в некоторой окрестности z = a и|f (z)| → ∞ при z → ∞, то точка z = a называется полюсом f (z).Особые точки третьего типа называются существенно особыми точками, т. е. если f (z) однозначна и регулярна в окрестности точкиz = a, но не ограничена в этой окрестности и |f (z)| не стремится к бесконечности при z → a, то точка z = a называетсясущественно особой точкой f (z).Докажем одну теорему, касающуюся значений функции вокрестности существенно особой точки. Она впервые была доказана Ю. В.
Сохоцким.Т е о р е м а. Если z = a — существенно особая точка f (z), топри изменении z в произвольном малом круге с центром z = aесть значения f (z), сколь угодно близкие к любому наперед заданному комплексному числу.Утверждение теоремы заключается в следующем. Пусть γ —произвольное заданное комплексное число и ε — произвольное заданное положительное число. При этом в любом малом круге сцентром a существуют такие точки z, в которых |f (z) − γ| < ε.Будем доказывать теорему от обратного. Пусть существует такоекомплексное число β, что во всех точках некоторого круга C с центром a выполняется неравенство |f (z) − β| m, где m — некоторое54Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
