1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Пусть R — радиуссходимости ряда (62). Возьмем в формуле (621 ) за CR1 окружностьс центром в точке b и радиусом (R − ε), где ε — фиксированное малое положительное число. На этой окружности наша функция f (z)регулярна, и ее модуль не превышает некоторого положительногочисла M , и, кроме того, очевидно, |z − b| = R − ε. Обычная оценкаинтеграла даетM|ak | .(64)(R − ε)kЧисло ε можно брать сколь угодно близким к нулю, но, очевидно,значение числа M зависит от выбора ε.Применим теорему Вейерштрасса, доказанную в [12], к случаю степенных рядов. Пусть имеются функции, регулярные внутринекоторого круга CR с центром b:(k)(k)(k)uk (z) = a0 + a1 (z − b) + a2 (z − b)2 + . .
. ,и положим, что ряд∞uk (z)k=1равномерно сходится внутри этого круга. При этом, согласно теореме Вейерштрасса, его сумма будет также регулярной функциейГл. I. Основы теории функций комплексного переменного68[15внутри этого круга и будет, следовательно, представляться степенным рядом∞(k)(k)(k)[a0 + a1 (z − b) + a2 (z − b)2 + . . .] =k=1= a0 + a1 (z − b) + a2 (z − b)2 + . . .Мы можем, согласно теореме Вейерштрасса, почленно дифференцировать этот ряд сколько угодно раз. Совершая дифференцирование и полагая затем z = b, получим следующие выражения длякоэффициентов суммы ряда:a0 =∞k=1(k)a0 ;a1 =∞(k)a1 ;a2 =k=1∞(k)a2 , .
. . ,k=1т. е. при сделанных предположениях эти бесконечные ряды складываются как обычные полиномы.15. Ряд Лорана. Нетрудно получить результаты, аналогичныепредыдущим, и для степенных рядов более общего типа:. . . + a−2 (z − b)−2 + a−1 (z − b)−1 + a0 + a1 (z − b)++ a2 (z − b)2 + . . . , (65)содержащих не только целые положительные, но и целые отрицательные степени (z − b).
Ряд вида (65) называется обычно рядомЛорана. Займемся прежде всего вопросом определения его областисходимости. Ряд (65) состоит из двух рядов:иa0 + a1 (z − b) + a2 (z − b)2 + . . .(661 )a−2a−1++ ...,z − b (z − b)2(662 )и нам надо определить ту область, где оба последних ряда сходятся; она и будет областью сходимости ряда (65). Ряд (661 ) естьобычный степенной ряд рассмотренного выше типа, и его область15]Ряд Лорана69сходимости есть некоторый круг с центром в b. Пусть это будеткруг |z − b| < R1 . Для рассмотрения ряда (662 ) введем вместо zновую переменную z по формуле z = (z − b)−1 . После этого ряд(662 ) превратится в обычный степенной ряд видаa−1 z + a−2 z 2 + . .
.Его область сходимости на плоскости z есть некоторый кругс центром в начале (роль числа b играет нуль). Обозначим радиус этого круга через 1/R2 , так что область сходимости последнегоряда будет |z | < 1/R2 , или 1/|z | > R2 . Возвращаясь к прежней переменной z, получим область сходимости вида |z − b| > R2 . Такимобразом, область сходимости всего ряда (65) определяется двумянеравенствами:|z − b| < R1 , |z − b| > R2 .(67)Первое неравенство определяет внутреннюю часть круга с центром b и радиусом R1 , и это есть область сходимости ряда (661 ).Второе из неравенств (67) определяет часть плоскости, находящуюся вне круга с центром b и радиусом R2 , и это есть область сходимости ряда (662 ).
Если R1 R2 , то неравенства (67) не определяютникакой области. Если R1 > R2 , то неравенства (67) определяюткруговое кольцоR2 < |z − b| < R1 ,(68)ограниченное концентрическими окружностями с центром b, радиусами R2 и R1 . Таким образом, область сходимости ряда вида (65)есть круговое кольцо (68).Выше мы разбили ряд (65) на два степенных ряда, и из теориистепенных рядов непосредственно следует, что ряд (65) сходитсявнутри своего кольца сходимости абсолютно и равномерно, суммаряда есть регулярная функция, и ряд можно почленно дифференцировать. Заметим, что в неравенстве (68), определяющем размеры кольца, внутренний радиус R2 может оказаться равным нулю,и при этом ряд (65) будет сходиться при всех z, достаточно близких к b. Точно так же внешний радиус R1 может оказаться равнымбесконечности, и при этом ряд (65) будет сходиться при всех z,удовлетворяющих условию |z − b| > R2 .
Если кольцо определяется70Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[15неравенством 0 < |z−b| < ∞, то ряд (65) сходится на всей плоскостиz за исключением точки z = b.Отметим еще, что часть ряда Лорана (65), содержащая положительные степени (z − b), сходится не только в кольце (68), новезде внутри внешней окружности, т.
е. при |z − b| < R1 , а частьряда, содержащая отрицательные степени (z − b), сходится вездевне внутренней окружности, т. е. при |z − b| > R2 . Если, например,в ряде конечное число членов с отрицательными степенями, то обязательно R2 = 0, а если конечное число членов с положительнымистепенями, то обязательно R1 = ∞. Отметим еще раз, что мы рассматриваем только такие ряды Лорана, для которых R2 < R1 , ибов противном случае у них нет никакой области сходимости.Совершенно так же, как и для степенных рядов, докажем предложение, обратное предыдущему, а именно: если f (z) регулярнавнутри кольца (68), то она может быть представлена внутриэтого кольца рядом Лорана и притом единственным образом.Немного сжимая внешнюю окружность кольца и немного расширяя внутреннюю окружность, мы можем считать, что f (z) регулярна и на обоих контурах кольца.Обозначим эти контуры черезCR2 и CR1 .
Для любой точки zвнутри кольца будем иметь формулу Коши (рис. 10):1f (z ) f (z) =dz +2πiz − z+12πiC R2Рис. 10.C R1f (z ) dz .z − z(69)При интегрировании по окружности CR1 мы имеемz−b z − b < 1и так же, как и при выводе формулы Тейлора, можем представить15]Ряд Лорана71дробь, входящую под знак интеграла, в виде ряда, равномерно сходящегося на окружности CR1 :∞ (z − b)k1=.z − z(z − b)k+1k=0Умножая на1f (z )(70)2πiи интегрируя по CR1 , мы получим для первого слагаемого правойчасти формулы (69) представление в виде степенного ряда по положительным степеням (z − b):1f (z ) dz = a0 + a1 (z − b) + a2 (z − b) + . .
. ,2πiz − zCR1гдеak =12πiCR1(z f (z )dz .− b)k+1При интегрировании по CR2 , наоборот, будем иметь z − b z − b < 1,и для упомянутой выше дроби мы должны написать уже другоеразложение, равномерно сходящееся на окружности CR2 :∞(z − b)k111=−·=−, −bzz −zz − b 1 − z−b(z − b)k+1k=0откуда, умножая опять на множитель (70), получим представлениевторого слагаемого правой части формулы (69) в виде степенногоряда по целым отрицательным степеням (z − b):1f (z ) dz = a−1 (z − b)−1 + a−2 (z − b)−2 + . .
. ,2πiz − zCR272Гл. I. Основы теории функций комплексного переменногогдеa−k = −12πi[15(z − b)k−1 f (z )dz .CR2Соединяя оба слагаемых вместе, получим для функции f (z)внутри кольца (68) представление в виде ряда Лоранаf (z) =+∞ak (z − b)k .(71)k=−∞Остается показать, что такое разложение единственно. Для этого, как и в случае ряда Тейлора, покажем, что из формулы (71)получаются вполне определенные выражения для коэффициентовразложения ak . Пусть l — некоторый замкнутый контур, обходящийвокруг b внутри кольца (68). На этом контуре ряд (71) сходится равномерно.
Выберем некоторое целое число m, помножим обе частиравенства (71) на (z −b)−m−1 и проинтегрируем по l против часовойстрелки:−m−1(z − b)f (z)dz =+∞k=−∞l(z − b)k−m−1 dz.aklМы знаем [6], что все интегралы, стоящие в правой части, будутравны нулю, кроме одного, который будет содержать под знакоминтеграла (z − b)−1 . Такой интеграл получится в члене, соответствующем k = m, и его величина, как известно, будет равна 2πi.Таким образом, предыдущая формула дает нам(z − b)−m−1 f (z)dz = 2πiam ,lоткуда и получаются определенные выражения для коэффициентов1am =(z − b)−m−1 f (z)dz (m = 0, ±1, ±2, . . .).(72)2πil16]Примеры7316. Примеры. Применяя разложение в ряд Тейлора к элементарным трансцендентным функциям, мы получим для них известные из дифференциального исчисления разложения в степенныеряды, причем теперь эти ряды будут уже годиться и для комплексных значений независимого переменного.П р и м е р I.
Для функции f (z) = ez мы имеем, очевидно,(n)f (z) = ez , и, следовательно, f (n) (0) = 1. Формула (63) дает нампри b = 0 (ряд Маклорена)ez = 1 +z2z++ ...1!2!(73)Наша функция ez регулярна на всей плоскости, и, следовательно, разложение (73) верно на всей плоскости.Точно так же получаем справедливые на всей плоскости разложения для тригонометрических функций:zz3z5−+− ...,1!3!5!z4z2+− ...cos z = 1 −2!4!sin z =(74)(75)П р и м е р II. Формула геометрической прогрессии1= 1 + z + z2 + . . .1−zдает пример ряда с кругом сходимости |z| < 1.Заменим в этом ряде z на −z и проинтегрируем от 0 до z:zϕ(z) =0dzz z2z3= −+− ...1+z123(76)Мы получили новый степенной ряд с тем же кругом сходимости |z| < 1.
При вещественных значениях z его сумма равна, какизвестно [I, 132], ln(1 + z). Покажем, что то же самое будет и привсех комплексных z из круга |z| < 1, т. е., точнее говоря, покажем,74Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[16что сумма нашего рядаzϕ(z) =0dz1+z(77)удовлетворяет уравнениюeϕ(z) = 1 + z.(78)Возьмем регулярную в круге |z| < 1 функцию eϕ(z) = f (z) исоставим ее разложение в ряд Маклорена.
Для этого определимпроизводные от этой функции. Принимая во внимание, что ϕ (z) =1/(1 + z) имеем, очевидно,f (z) = eϕ(z) ·11+z(79)и, далее,f (z) = eϕ(z) ·11− eϕ(z)≡ 0,(1 + z)2(1 + z)2т. е. f (n) (z) ≡ 0 при всяком n 2. Кроме того, из формул (77)и (79) непосредственно вытекает, что f (0) = e0 = 1 и f (0) = 1.Разложение f (z) в ряд Маклорена действительно дает намf (z) = eϕ(z) = 1 + z.Мы видим, таким образом, что сумма ряда (76) есть одно из возможных значений ln(1+z). Эта последняя функция является функцией многозначной, но степенной ряд (76) выделяет из этой многозначной функции однозначную ветвь, регулярную в круге |z| < 1:ln(1 + z) =zz2z3−+− ...123(80)Значения логарифма, определяемые этой формулой, называютиногда главными значениями логарифма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
