1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Следовательно, существенно особой точкой будет такая точка, вблизи которой разложение функции f (z) в рядЛорана содержит бесчисленное множество членов с отрицательными степенями (z − b). Здесь как и в случае полюса, коэффициентпри (z − b)−1 называется вычетом f (z) в существенно особой точкеz = b.Отметим, что в разложении ϕ(z) должен обязательно встретиться коэффициент bm , отличный от нуля, ибо в противном случае ϕ(z)была бы равна тождественно нулю в некотором круге с центром вz = b, а это противоречит равенству ϕ(z) = 1/f (z), где f (z) поусловию регулярна в окрестности z = b.Введем один «несобственный» элемент плоскости — бесконечнодалекую точку плоскости [III1 , 62]. Окрестностью бесконечно далекой точки назовем часть плоскости, лежащую вне какой-либозамкнутой кривой на плоскости. Всякая такая окрестность содержит в себе часть плоскости, лежащую вне круга с любым центромb и достаточно большим радиусом R, т.
е. часть плоскости, координаты которой удовлетворяют неравенству |z − b| > R. В дальнейшем мы будем главным образом пользоваться окрестностямибесконечно далекой точки, определяемыми неравенством |z| > R.Плоскость с присоединенной к ней бесконечно далекой точкой называется обычно расширенной плоскостью. Бесконечно далекуюточку обозначают символом z = ∞. Пусть f (z) однозначна и регулярна в окрестности z = ∞ бесконечно далекой точки.
Мы можем рассматривать эту окрестность как круговое кольцо с центромz = 0, некоторым внутренним радиусом R > 0 и внешним радиусом, равным бесконечности. В этом кольце f (z) разлагается в рядЛорана+∞f (z) =a−k z k , |z| > R.(89)k=−∞Если вместо z ввести новое комплексное переменное t:z=1,tt=1,z82Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[17то окрестность |z| > R точки z = ∞ перейдет в окрестность |t| <1/R точки t = 0, и ряд (89) примет видf +∞1=a−k t−k .t(891 )k=−∞Как и выше, могут представиться три случая.
В качестве первоговозьмем тот, когда ряд (89) не содержит членов с положительнымистепенями z:a2a1f (z) = a0 ++ 2 + ...,(90)zzили 1= a 0 + a 1 t + a 2 t2 + . . . ,(91)ftоткуда следует, что f (1/t) → a0 при t → 0, т. е. f (z) → a0 при|z| → ∞. В этом случае говорят, что f (z) регулярна в точке z = ∞,причем полагают f (∞) = 0.Если разложение (90) начинается с члена, содержащего z −m , гдеm > 0 — целое, то z = ∞ называется корнем f (z) кратности m. Вэтом случае f (∞) = 0.Если разложение (89) содержит конечное число членов с положительными степенями z:f (z) = a−m z m + a−m+1 z m−1 + . .
. + a−1 z + a0 +a1+...z(a−m = 0),то, вынося за скобки z m , убедимся в том, что f (z) стремится кбесконечности при |z| → ∞, причем частное f (z)/z m → a−m при|z| → ∞. В этом случае точка z = ∞ называется полюсом f (z)порядка m, а сумма a−m z m + . . . + a−1 z называется бесконечнойчастью в этом полюсе. При этом полагают f (∞) = ∞. Наконец,если разложение (89) содержит бесконечно много членов с положительными степенями z, то z = ∞ называется существенно особойточкой f (z). При переходе к переменной t мы получим существенно особую точку t = 0. Отсюда и из [10] непосредственно следует,что если z = ∞ есть существенно особая точка f (z), то в области|z| > ρ, где ρ > 0 — сколь угодно большое число, есть значения f (z),сколь угодно близкие к любому наперед заданному комплексному17]Изолированные особые точки.
Бесконечно далекая точка83числу. Во всех указанных трех случаях вычетом в точке z = ∞называется коэффициент a1 при z −1 с обратным знаком, т. е. — a1 .Смысл такого определения будет выяснен нами позже.Из сказанного выше следует, что мы можем говорить об определенном значении f (z) в полюсе z = b, а именно f (b) = ∞, т. е.w = f (z) преобразует точку z = b в точку w = ∞. Если точка z = ∞есть регулярная точка, то f (∞) = a0 (см. выше), а если z = ∞ естьполюс f (z), то f (∞) = ∞. В первом случае точка z = ∞ переходитв w = a0 , а во втором w = f (z) преобразует точку z = ∞ в себя,т. е. оставляет ее на месте.Отметим еще, что если α — любое комплексное число, то окрестность точки z = ∞, где f (z) однозначна и регулярна, содержитобласти |z − α| > R, где R — достаточно большое число.
Таким образом, вместо ряда (89) мы могли бы написать ряд Лорана для f (z)по целым степеням (z − α):f (z) =+∞b−k (z − α)kk=−∞и получили бы тот же характер особенности f (z) при z = ∞ и те жезначения f (∞) в случае, если z = ∞ — регулярная точка или полюсf (z). Если в случае регулярности точки z = ∞ мы продифференцируем почленно ряд (90) по z, что сводится к дифференцированиюряда (91) по t с последующим умножением на (−1/z 2) = −t2 , тополучимa12a23a3f (z) = − 2 − 3 − 4 − . . .
,zzzоткуда следует, что если z = ∞ есть регулярная точка f (z), тоf (∞) = 0. Очевидно, что и производные любого порядкаf (m) (∞) = 0. Отметим, что выше мы всегда считали, что в исходных рядах Тейлора и Лорана не все коэффициенты равны нулю,т. е. что рассматриваемая функция не равна нулю тождественно всоответствующем круге или кольце.Возвращаясь к [7], мы видим, что условие применимости формулы Коши для области, содержащей бесконечно далекую точку,формулируемое в виде:f (z) → 0 равномерно приz → ∞,84Гл.
I. Основы теории функций комплексного переменного[18сводится к тому, что f (z) регулярна в бесконечно далекой точке ив разложении (89) a0 = 0, т. е. f (∞) = 0.П р и м е р I. Относительно функции ez мы говорили раньше,что она регулярна на всей плоскости. При этом мы исключали бесконечно далекую точку. Разложение этой функции ez годится вездеи, в частности, в окрестности бесконечно далекой точки. Оно содержит бесчисленное множество членов с положительными степенямиz, и, следовательно, бесконечно далекая точка будет существенноособой точкой для ez .
То же самое можно сказать, например, относительно sin z и cos z.П р и м е р II. Всякий полином будет регулярной функцией навсей плоскости и будет, очевидно, иметь на бесконечности полюс,порядок которого равен степени полинома.Рассмотрим рациональную функцию, т. е. частное двух полиномов:ϕ(z)= f (z),ψ(z)причем будем считать дробь несократимой, т. е. корни числителя изнаменателя различными. Наша функция будет иметь на конечномрасстоянии особыми точками корни полинома ψ(z), и эти точки будут полюсами функции. Поведение функции в бесконечно далекойточке будет зависеть от степеней полиномов, стоящих в числителеи знаменателе.
Если степень ϕ(z) выше степени ψ(z) на m единиц,то f (z) будет стремиться к бесконечности при z → ∞, но отношение f (z)/z m будет стремиться к конечному пределу, отличному отнуля, т. е. наша функция будет иметь на бесконечности полюс порядка m. Если же степень ϕ(z) не выше степени ψ(z), то функциябудет регулярной на бесконечности.18. Аналитическое продолжение. Если некоторая функцияf (z) регулярна в некоторой области B, то естественно возникаетвопрос: нельзя ли расширить область определения функции, т. е.нельзя ли создать более широкую область C, содержащую B внутри себя, и в этой более широкой области определить регулярнуюфункцию F (z), которая бы в первоначальной области B совпадалас f (z)? Такое расширение области определения регулярной функции18]Аналитическое продолжение85или, как еще можно сказать, экстраполирование регулярной функции, называется аналитическим продолжением функции.
Оказывается, что если такое аналитическое продолжение возможно, тооно является вполне определенным, единственным. В этом отношении регулярные функции комплексного переменного существенным образом отличаются, например, от непрерывных функций вещественного переменного. Действительно, положим, что нам дананекоторая непрерывная функция ω(x) вещественного переменного x в некотором промежутке a x b. Мы можем, очевидно,не нарушая непрерывности, продолжить график этой функции ивне промежутка и при этом бесчисленным множеством способов.Для регулярных же функций комплексного переменного f (z) значения в первоначальной области B вполне определяют и значенияфункции вне этой области, если только расширение области, т.
е.аналитическое продолжение, вообще возможно. Надо только заметить, что, совершая аналитическое продолжение, мы можем прийтии к многозначным функциям. Целью настоящего номера является выяснение всех обстоятельств, которые могут встретиться прианалитическом продолжении и, главным образом, доказательствоединственности такого продолжения.Выясним предварительно некоторые свойства регулярныхфункций.Пусть точка z = b является корнем регулярной функции f (z).При этом в ряде Тейлора с центром b будет отсутствовать свободный член и, может быть, еще несколько следующих членов. Положим, что первый член, отличный от нуля, будет порядка (z − b)m ,т.
е.f (z) = am (z − b)m + am+1 (z − b)m+1 + . . .(am = 0),(92)или, иначе,f (z) = (z − b)m [am + am+1 (z − b) + . . .].(93)В этом случае z = b называется корнем кратности m. Обратимся к формуле (93) и положим, что z равно некоторому числу,близкому к b, но отличному от b. При этом множитель (z − b)mбудет отличен от нуля, и сумма, стоящая в квадратных скобках,86Гл.
I. Основы теории функций комплексного переменного[18будет близкой по величине к числу am , отличному от нуля, т. е.также будет отлична от нуля. Иначе говоря, во всех точках, достаточно близких к корню регулярной функции, эта функция уже отлична от нуля. Другими словами, корни регулярной функции сутьизолированные точки. В предыдущем рассуждении мы предполагали, конечно, что разложение Тейлора (92) содержит хоть одинчлен, отличный от нуля.
В противном случае мы должны, очевидно, считать функцию тождественно равной нулю, хотя бы втом круге, для которого имеем разложение Тейлора. Основываясьна нашем рассуждении, докажем теперь теорему, которая является основной в вопросе единственности аналитического продолжения.Т е о р е м а. Если f (z) регулярна внутри некоторой области Bи обращается в нуль в некоторой области β, составляющей частьB, то f (z) равна нулю тождественно во всей области B.Будем доказывать от противного. Положим, что f (z) отличнаот нуля в некоторой точке c области B. Возьмем внутри β некоторую точку b и соединим ее с кривой l, принадлежащей области B.На некотором участке этой кривой, примыкающем к точке b, нашафункция равна нулю, а на участке, примыкающем к точке c, онаот нуля отлична.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
