1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Такая точка разветвленияназывается√точкой разветвления первого порядка (функции z или двулистной области T ).Совершенно аналогично точка z =√∞ будет также точкой разветвления первого порядка функции z. При этом в качестве контура l, обходящего вокруг точки z = ∞, мы можем брать любойпростой замкнутый контур, содержащий точку z = 0 внутри (точка z = ∞ будет содержаться вне l). Отметим, что если мы возьмемконтур таким, что и z = 0 находится вне l, то естественно считать,что контур l обходит две точки разветвления z = 0 и z = ∞ сточки зрения расширенной плоскости (обе точки вне l). При таком19]Примеры многозначных функций97√обходе z вернется к прежнему значению, а на T мы вернемся наисходный лист.В данном случае нам удалось просто получить область T , на которой функция (100) является однозначной и регулярной, так какэта функция является обратной для весьма простой функции (99).В дальнейшем мы уточним понятие точки разветвления функции.На рис.
16 намечен вид двулистной плоскости близ точки разветвления.Вообще, если функцияz = ϕ(w)(102)есть рациональная функция w(частное двух полиномов без общих корней или просто полином), то в результате преобразования (102) плоскость w переходит в многолистную плоскостьz во всех случаях, кроме следующих элементарных случаев [30и 31]:Рис. 16.z = aw + b (a = 0);aw + bz=(c = 0, ad − bc = 0),cw + dкогда расширенная плоскость w переходит в расширенную плоскость z. В общем случае обратная функцияw = f (z)(103)на всей многолистной плоскости T (кроме точек разветвления T иполюсов f (z)) регулярна.
Точки разветвления T получаются: 1) притех конечных значениях w, при которых ϕ (w) = 0; 2) при значенииw = ∞, если в этой точке ϕ(w) имеет корень или полюс выше первой кратности; 3) при значении z = ∞, если в разложении (90) призамене z на w после a0 следует член am /wm при m > 1. При этомполучается координата z = z0 точки ветвления. При m = 1 точка98Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[19z = z0 есть простой полюс f (z). Число листов T равно наибольшей степени полиномов, входящих в рациональную функцию (102).Многолистные плоскости, которые получаются не только указанным выше приемом, но и из более общих соображений, называютсяобычно римановыми поверхностями (Риман — немецкий математиксередины XIX века).Рассмотрим следующий пример многозначной функции:f (z) = √1.z+2(104)Многозначность√ этой функции проистекает лишь от наличия в еевыражении z, и, следовательно, на двулистной плоскости T , которую мы построили выше, функция (104) однозначна.
Она, как ифункция (100), имеет точки разветвления z = 0 и z = ∞, а такжеполюс в одной из точек z = 4. Таких√ точек мы будем иметь√ две (налистах T1 и T2 ). На одном листе 4 = 2, и на другом 4 = −2,и именно последняя точка будет полюсом функции (104). Если бымы не пользовались двулистной плоскостью T и совершали бы аналитическое продолжение функции (104), например, от точки z = 1считая f (1) = 1/3, то мы приходили бы к различным значениямf (z) в зависимости от пути продолжения.
В частности, точка z = 4будет√ полюсом f (z) при таком пути продолжения, который приводит z при z = 4 к (−2).Функцию (104) можно рассматривать как функцию, обратнуюфункции(2w − 1)2z=,w2которая регулярна на всей расширенной плоскости, кроме точкиw = 0. Эта точка является полюсом второго порядка ϕ(w), и онадает точку ветвления z = ∞ (первого порядка). Далее, ϕ (1/2) = 0,и точка w = 1/2 дает вторую точку ветвления z = 0. Точка w = ∞дает точку z = 4 на одном листе, и точка w = 1/4 дает z = 4 надругом листе.Рассмотрим функцию видаw = f (z) = (z − a)(z − b).(105)19]Примеры многозначных функций99Для этой функции точками разветвления будут точки a и b.Обход по замкнутому контуру вокруг одной из этих точек будетменять знак у выражения (105), но одновременный обход вокругобеих этих точек a и b оставляет функцию неизменной.
Действительно, положимz − a = ρ1 eiϕ1 ;откудаf (z) =z − b = ρ2 eiϕ2 ,ϕ1 +ϕ2√ρ1 ρ2 e i 2 .Если мы обойдем по замкнутому контуру l против часовойстрелки вокруг обеих точек, то к аргументам ϕ1 и ϕ2 добавится2π, сумма (ϕ1 + ϕ2 ) получит приращение 4π, а аргумент выражения (105) получит приращение 2π, т.
е. функция не изменит своейвеличины. Чтобы сделать функцию (105) однозначной, нам достаточно провести разрез из точки a в точку b. Такой разрез являетсякак бы запрещением обходить в отдельности вокруг точек a и b.Функция (105) имеет во всех точках, кроме z = a и b, два значения,и, чтобы получить все значения этой функции, мы должны взятьдва экземпляра разрезанной вышеуказанным способом плоскости.На каждом из них (105) будет однозначной функцией, и значенияэтой функции на разных экземплярах будут отличаться друг отдруга только знаком. Если мы наложим один экземпляр на другойи мысленно соединим берега разрезов крест-накрест, то получимдвулистную риманову поверхность с точками разветвления a и bпервого порядка, на которой функция (105) однозначна и регулярна (кроме точек разветвления). Бесконечно далекая точка не будет точкой разветвления, и на каждом листе будет своя бесконечнодалекая точка.
Вблизи этой бесконечно далекой точки мы можемпереписать функцию (105) в виде1/2 1/2abf (z) = ±z 1 −1−.zzРазлагая разности по биному Ньютона2, что возможно, ибо вокрестности бесконечно далекой точки |a/z| и |b/z| меньше едини2 Имеетсяв виду разложение в формулу Маклорена для степени бинома.100Гл.
I. Основы теории функций комплексного переменного[19цы, мы получим для нашей функции следующее представление вокрестности бесконечно далекой точки:1 a21a1 · 3 a3−f (z) = ±z 1 −−−...×2z2 · 4 z22 · 4 · 6 z31 b21 · 3 b31b−−−...,× 1−2 z 2 · 4 z22 · 4 · 6 z3т. е., перемножая ряды, увидим, что бесконечно далекая точка наобоих листах будет полюсом первого порядка.Отметим, что, решая уравнение (105) относительно z, мы получим многозначную функцию w, т. е. функция (105) не являетсяобратной функцией от функции, однозначной на всей плоскости.
Еериманова поверхность, на которой она однозначна, имеет две точкиразветвления, z = a и z = b, первого порядка. Можно получить этуриманову поверхность при помощи преобразованияz=bw2 − aw2 − 1на плоскости w, и функция, обратная написанной,z−a,w=z−bбудет иметь ту же риманову поверхность, что и функция (105).Рассмотрим функцию√f (z) = n z − a,(106)где n — некоторое целое положительное число. Для этой функциивсякий обход вокруг z = a меняет значение функции, и, лишь совершив n обходов вокруг z = a в одном и том же направлении, мывернемся к исходному значению функции, т. е. для функции (106)точка a будет точкой разветвления n−1-го порядка.
Действительно,обозначая через ρ и ϕ модуль и аргумент z − a, получим√√ ϕnz − a = n ρei n .19]Примеры многозначных функций101Совершив n раз обход вокруг z = a в положительном направлении,мы добавим к ϕ слагаемое 2nπ, и, следовательно, аргумент√nz − a получит приращение 2π, от чего значение функции не изменится.Перейдем теперь к рассмотрению другой важной в теории функций многозначной функции, а именно логарифма. Эта функция получается в результате обращения показательной функцииz = ew .(107)Выясним сначала некоторые свойства показательной функции.Нетрудно видеть, что она имеет чисто мнимый период 2πi. Действительно:ew+2πi = ew e2πi = ew (cos 2π + i sin 2π) = ew .Разделим всю плоскость w = u + iv на полосы шириною 2πпрямыми, параллельными вещественной оси (рис.
17, а). За исходную полосу возьмем, например, полосу U0 , ограниченную прямымиv = 0 и v = 2π. Мы можем перевести эту основную полосу в любую другую, добавляя к w слагаемые вида 2nπi, где n — некотороецелое число. При этом в силу указанной периодичности значенияРис. 17.102Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[19функции (107) не будут меняться, т. е.
значения этой функции вкаждой из полос будут такими же, что и в основной полосе. Посмотрим теперь, во что преобразует функция (107) эту основнуюполосу. Проведем в этой полосе отрезок λu0 , параллельный мнимой оси, с абсциссой u = u0 . Вдоль этого отрезка будем иметьu = u0(0 v 2π)и, следовательно,ew = eu0 eiv(0 v 2π),т. е. наш отрезок перейдет в полную окружность с центром в начале и радиусом eu0 , причем концам этого отрезка λu0 будет соответствовать одна и та же точка окружности. Если мы возьмем частьполосы U0 , заключенную между двумя отрезками, параллельнымиоси u = 0, с абсциссами u = u1 и u2 , то в результате преобразования(107) получим на плоскости z круговое кольцо с центром в началеи радиусами eu1 и eu2 (рис.
17, б). Окончательно вся полоса U0 перейдет в плоскость z с исключенным началом координат. Верхняяи нижняя границы полосы перейдут в положительную часть вещественной оси. Совершим разрез вдоль этой части вещественнойоси. Мы можем тогда сказать, что верхний берег этого разреза соответствует нижней границе полосы, а нижний — верхней границеполосы. Обозначим, через T1 плоскость с исключенным началом ипроведенным нами разрезом. В этой области T1 функция, обратная(107):w = ln z,(108)будет однозначной и регулярной, и ее производная будет определяться по обычному правилу дифференцирования обратных функций:dw111= w = w = .(109)dz(e )ezКак известно, мы имеемln z = ln |z| + i arg z.19]Примеры многозначных функций103При аналитическом продолжении этой функции вдоль некоторого контура мы должны следить за непрерывным изменением аргумента arg z.В построенной нами области T1 изменение аргумента ограничено пределами 0 arg z 2π, и мы получаем однозначное определение для функции (108).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
