1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 21
Текст из файла (страница 21)
. .(am = 0), (130)т. е.am+1am+2w − a0 = am (z − b)m 1 +(z − b) +(z − b)2 + . . . .amamРассмотрим корень m-й степени из последнего множителясправа: m1am+1am+221+(z − b) +(z − b) + . . .,amamпричем мы берем то значение этого корня (степени с показателем1/m), которое равно единице при z = b.
Существует такое положительное число ρ, что при |z − b| ρ степенной ряд, стоящий вквадратной скобке, сходится и его сумма по модулю меньше некоторого наперед фиксированного числа q, меньшего единицы. Приэтом ко всей фигурной скобке в степени 1/m можно применить23]Обращение степенного ряда121формулу бинома Ньютона: m1 11++=1+m1 1m m−12! 2+ ...При |z − b| < ρ члены этого ряда — регулярные функции, и рядсходится равномерно, ибо модуль квадратной скобки меньше числаq, где 0 < q < 1.
Пользуясь теоремой Вейерштрасса [12], получим m1am+1am+221+(z − b) +(z − b) + . . .=amam= 1 + c1 (z − b) + c2 (z − b)2 + . . . ,где |z − b| < ρ, и можно переписать (130) в виде√mw − a0 = m am (z − b)[1 + c1 (z − b) + c2 (z − b)2 + . . .] ,где√am — какое-либо фиксированное значение корня, илиmw − a0 = [d1 (z − b) + d2 (z − b)2 + . . .]m ,√√где d1 = m am = 0 и dk = m am ck−1Функция(131)(k > 1).w = d1 (z − b) + d2 (z − b)2 + .
. .(d1 = 0)преобразует однолистную окрестность точки z = b в однолистнуюокрестность точки w = 0, и при этом преобразовании углы в точкеz = b не меняются. Преобразование (131) может быть записано ввиде w − a0 = wm , откуда следует, что при преобразовании (131)или, что то же, при преобразовании (130) окрестность точки z = bпереходит в m-листную окрестность точки w = a0 , и углы вточке w = a0 при этом преобразовании в точке m увеличиваютсяв m раз. Формула (131) равносильна формулеw =√w − a0 = d1 (z − b) + d2 (z − b)2 + . . .m(d1 = 0;|z − b| < ρ),(132)122Гл. I.
Основы теории функций комплексного переменного[23√где слева надо брать все значения корня. Формула w = m w − a0m-листную окрестность точки w = a0 преобразует в однолистнуюокрестность w = 0. В силу доказанного выше обращение степенного ряда (132) имеет видz =b+∞en wn(e1 = 0)n=1или, возвращаясь к переменной w, получаем обращение степенногоряда (130) в видеz =b+∞√en (m w − a0 )n(e1 = 0),(133)n=1и справа надо брать все значения корня.Выше рассмотрен случай, когда точки z и w находятся на конечном расстоянии.
Аналогичные результаты получаются и в томслучае, когда одна из точек или обе находятся на бесконечности.Положим, например, b = ∞ и a0 — на конечном расстоянии. Вместо(130) будем иметь разложениеamam+1w − a0 = m + m+1 + . . . (m > 1; am = 0).(134)zzПри этом однолистная окрестность точки z = ∞ переходит вm-листную окрестность точки w = a0 , и обращение ряда (134) имеет вид∞en√z=(e1 = 0).(135)m( w − a0 )nn=1В случае w = ∞ и z — на конечном расстоянии функция имеетполюс в точке z = b:a−ma−m+1a−1w=+ a0 + a1 (z − b) + . .
.++ ...+(z − b)m(z − b)m−1z−b(m > 0; a−m = 0).(136)Однолистная окрестность z = b переходит в m-листную окрестность w = ∞, и обращение ряда имеет видz−b=∞en√ n( w)n=1m(e1 = 0).24]Принцип симметрии123Если z и w находятся на бесконечности, то w имеет при z = ∞полюс:w = a−m z m + a−m+1 z m−1 + . . . + a1 z +∞an z −n ,(137)n=1а обращение имеет видz = e−1∞√√w+en (m w)−nm(e−1 = 0).n=024. Принцип симметрии.
В [18] было определено аналитическое продолжение из области B1 в новую область B2 для тогослучая, когда эта новая область налегала на первоначальную, причем в общем случае не было дано никакого практического способа,как действительно осуществлять это аналитическое продолжение.Теперь укажем на одну из возможностей осуществить аналитическое продолжение в частном случае, причем в этом частном случаеновая область будет не налегать на старую, но лишь соприкасатьсясо старой областью вдоль некоторого контура. Предварительно мыдолжны доказать одну вспомогательную теорему.Т е о р е м а Р и м а н а.
Если f1 (z), регулярна с одной стороныот дуги кривой L и на самой этой кривой, а f2 (z) обладает темже свойством по другую сторону от кривой, и значения этихфункций на самой дуге L совпадают, то эти две функции совместно определяют единую регулярную функцию в области,содержащей упомянутую дугувнутри себя, или, иначе говоря,f2 (z) является аналитическимпродолжением f1 (z).Проведем контуры l1 и l2 с общими концами на L, из которыхпервый лежит в области регулярРис. 21.ности функции f1 (z), а второй —в области регулярности функции124Гл. I.
Основы теории функций комплексного переменного[24f2 (z), так что в областях B1 и B2 , ограниченных замкнутыми контурами l1 и L и l2 и L, наши функции f1 (z) и f2 (z) регулярны(рис. 21). Возьмем некоторую точку z внутри B1 . Она будет лежатьвне B2 , и мы, следовательно, можем написать [7]1f1 (z) =2πi0=12πil1 +Ll1 +Lf1 (z ) dz ,z − zf2 (z ) dz .z − zЕсли мы сложим эти два равенства, то в правой части нам придетсядва раза интегрировать по дуге L в противоположных направлениях, причем подынтегральные функции при обоих интегрированияхбудут одинаковыми, так как на указанной дуге значения f1 (z ) иf2 (z ) по условию совпадают. Таким образом, эти два интегралавзаимно сократятся и останутся лишь интегралы по дугам l1 и l2 .Для сокращения обозначим через f (z ) функцию, равную f1 (z ) надуге l1 и равную f2 (z ) на дуге l2 . Складывая предыдущие равенства, будем иметьf (z ) 1dz .f1 (z) =2πiz − zl1 +l2Совершенно так же, беря точку z в области B2 , мы получили бы1f2 (z) =2πil1 +l2f (z ) dz ,z − zт.
е. наши функции f1 (z) и f2 (z) выражаются одним и тем же интегралом типа Коши по замкнутому контуру (l1 + l2 ). Следовательно,первая из этих функций из области B1 аналитически продолжима вобласть B2 , а вторая из B2 — в B1 , и в результате этого аналитического продолжения они создают единую аналитическую функцию,что и доказывает теорему Римана.24]Принцип симметрии125Заметим, что в предыдущем доказательстве мы пользовалисьформулой Коши, которая справедлива и для того случая, когдафункция не регулярна на контуре, но лишь непрерывна в замкнутой области и регулярна внутри.
Таким образом, в условии теоремы Римана мы не обязаны считать данные функции f1 (z) и f2 (z)регулярными на самой дуге. Достаточно лишь, чтобы f1 (z) быларегулярна с одной стороны дуги L и непрерывна вплоть до самойдуги и то же для f2 (z) с другой стороны дуги, причем значенияэтих функций на самой дуге L должны совпадать. При этом теорема Римана доказывает возможность аналитического продолжениякаждой из этих функций через дугу и тот факт, что одна из этихфункций осуществляет это аналитическое продолжение для другой.Переходим теперь к установлению принципа симметрии.П р и н ц и п с и м м е т р и и. Если f1 (z) регулярна с одной стороны от некоторого отрезка (a, b) вещественной оси и непрерывнавплоть до этого отрезка, причем на самом отрезке ее значениявещественны, то эта функция аналитически продолжима черезупомянутый отрезок, и в точках, симметричных относительновещественной оси, эта функция будет иметь комплексные сопряженные значения.Положим для определенности,что наша функция f1 (z) регулярна в некоторой области B1 ,примыкающей к отрезку (a, b)и лежащей над этим отрезком(рис.
22). Построим область B2 ,симметричную с B1 относительно вещественной оси, и определимв этой области функцию f2 (z) последующему правилу: положим,Рис. 22.что в каждой точке A2 области B2функция f2 (z) имеет значение комплексное, сопряженное с тем значением, которое данная функция f1 (z) имеет в симметричной относительно вещественной оси точке A1 . Эти симметричные точкиимеют, очевидно, комплексные сопряженные координаты, и, обозначая, как всегда, через α комплексное число, сопряженное с α,126Гл.
I. Основы теории функций комплексного переменного[24мы можем написать определение нашей функции f2 (z) в областиB2 в видеf2 (z) = f1 (z)Эта вновь построенная функция будет регулярной в области B2 .Действительно, для нее приращения независимого переменного Δzи функции Δw будут величинами комплексными, сопряженными саналогичными величинами для функции f1 (z) в симметричной точке. То же можно сказать и про отношение этих приращений. Следовательно, это отношение для функции f2 (z) стремится к определенному пределу, равному величине комплексной сопряженнойс аналогичным пределом для f1 (z), т.
е. к пределу, равному f (z),и, следовательно, функция f2 (z) будет регулярной в области B2 .На самом отрезке (a, b) значения f2 (z) совпадают со значениямиf1 (z), так как на этом отрезке значения f1 (z) вещественны. Такимобразом, f2 (z) является, согласно теореме Римана, аналитическимпродолжением f1 (z) через отрезок, что и доказывает принцип симметрии.Мы можем формулировать принцип симметрии и геометрически, а именно: если f1 (z) регулярна с одной стороны отрезка (a, b)вещественной оси и преобразует этот отрезок тоже в отрезок вещественной оси, то она аналитически продолжима через этот отрезоки точки, симметричные относительно вещественной оси, преобразует в точки, тоже симметричные относительно вещественной оси.Можно формулировать принцип симметрии более общим образом, вводя понятие о точках,симметричных относительноокружности, а именно: назовем две точки симметричнымиотносительно окружности, еслиэти две точки находятся на одном и том же радиусе окружности (одна на самом радиусе,Рис.
23.а другая на его продолжении),причем произведение расстояний этих точек до центра окружности равно квадрату радиуса этой окружности (рис. 23).24]Принцип симметрии127Пусть A1 и A2 — две точки, симметричные относительно окружности C. Проведем через эти две точки какую-нибудь окружность C , и пусть M — одна из точек пересечения C с окружностью C.Принимая во внимание, что произведение секущей OA2 на еевнешнюю часть OA1 должно равняться квадрату касательной и,с другой стороны, по определению это произведение должно равняться квадрату радиуса OM 2 , мы можем утверждать, что радиус OM является касательной к окружности C , т. е. окружностьC ортогональна к окружности C. Отсюда нетрудно видеть, что идля двух точек A1 и A2 , симметричных относительно окружностиC, характерным является то обстоятельство, что всякая окружность, проходящая через них будет ортогональна с C, или, иначе говоря, пучок окружностей, проходящих через точки, симметричные относительно окружности C, будет состоять изокружностей, ортогональных к C.
Таким же характерным свойством обладают и две точки, симметричные относительно прямой,а именно: пучок окружностей,проходящих через эти две точки, будет состоять из окружностей, ортогональных к прямой (рис. 24).Принцип симметрии в общемвиде читается так: если f1 (z) регулярна с одной стороны некоторой дуги (a, b) окружности C1 ,непрерывна вплоть до этой дуги и преобразует эту дугу такжеРис. 24.в некоторую дугу другой окружности C2 , то f1 (z) аналитически продолжима за дугу (a, b), и точки, симметричные относительно окружности C1 , она преобразуетв точки, симметричные относительно окружности C2 . В этой формулировке принципа симметрии мы можем понимать под словом«окружность» как окружность в собственном смысле этого слова,так и прямую линию.Доказательство этой общей формулировки принципа симметриибудет нами дано в начале следующей главы.128Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
